Применение производной для отыскания наибольших и

Цель проекта:
Конструирование системы задач по теме:
«отыскание наибольших и наименьших
значений величин»
Задачи проекта:
1) Образовательные:
- отработка навыков нахождения наибольшего и
наименьшего значения функций на заданном
промежутке;
- усвоение обучающимися общей схемы решения
различных прикладных задач на оптимизацию
- подготовка обучающихся к сдаче ЕГЭ
2) Воспитательные:
- развитие интереса к знаниям и предмету
- развитие коммуникативных навыков при
коллективном способе обучения
- развитие интуиции, логического мышления
- развитие способности анализировать,
обобщать, делать выводы
- формирование навыков творческой
самостоятельной работы
Данная тема изучается в 10 классе и является важным
разделом темы «Применение производной к исследованию
функций и решению задач на оптимизацию». Изучение данного
раздела в нашей школе ведётся по учебнику
«Алгебра и начала анализа»
Авторы: А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин, Б.Н.
Ивлев, С.И. Шварцбурд.
По календарно-тематическому планированию на тему
«Отыскание наибольших и наименьших значений величин»
отводится 5 часов.
Использование производной для поиска оптимального
значения величины является ярким примером применения
аппарата математического анализа при решении прикладных
задач.
Надёжность
 Доступность
 Последовательность
 Системность
 Дифференцированный подход
 Использование задач прикладного
характера

Определение
производной
Определение
критической
точки
Определение
точки экстремума
Значение функции в
этой точке
Теорема Ферма:
«Если точка x0 является точкой экстремума функции а, и в этой
точке существует производная f, то она равна нулю f(x0)=0 ».
«Если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0
есть точка максимума».
«Если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0
есть точка минимума».
Теорема Вейештрасса:
«Непрерывная на отрезке [a; b]функция f принимает на этом
отрезке наибольшее и наименьшее значение»
1. Найти производную функции f’(x)
2. Найти точки, в которых f’(x)=0 или где f’(x) не существует
3. Отобрать из полученных точек те, которые лежат внутри заданного
отрезка [a; b]
4. Вычислить значение функции f(x) в найденных точках и на концах
отрезка.
5. Выбрать из начальных значений наибольшее или наименьшее на
[a; b]
При решении практических задач на оптимизацию.
1. Формализация – перевод исходной задачи на язык математики.
2. Средствами математического аппарата находится наибольшее
или наименьшее значение этой функции на некотором
промежутке.
3. Интерпретация найденного результата.
Задача №1
y=x3 -3x2 -45x+225 на [0; 6] D(y)=R
а) y’=3x2 - 6x – 45, y’=0 3x2 - 6x – 45=0
x2 – 2x -15=0
x1= -3; x2 = 5 - критические точки
б)  3 [0;6]
в) Найдём значение функции y в точке 5 и на концах
промежутка [0; 6]
y(0)  225
y(5) 53 352  455 22512575 225 22550
y(6) 63 362  456 225 216108 270 22563
Ответ: y(max) y(0)  225
y(min)  y(5)  50
[0;6]
Задача №2
Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была
наибольшей.
Решение:
Пусть одно число будет x, тогда другое 24-x, где 0<x<24
Составим функцию h( x)  x2  (23  x)2
Исследуем функцию h(x):
h( x)  x  576  48 x  x 2
h( x)  2 x  48 x  576
2
h' ( x)  4 x  48
h( x)  0, если 4( x  12)  0
x  12
x  (0;24)
Задача №2
Найдём знак производной
слева и справа от x=12 :
h' (10)  0
h' (14)  0
Точка x=12 – точка min на [0;24]
Ответ: 24 =12 +12
Задача №3
Пусть AD=x, тогда DC=100 - x. S(x)=x*(100-x)=
=100x-x2, где 0<x<100. Так как функция S(x) –
Непрерывная на всей числовой прямой, то
будем искать её наибольшее значение на
[0;100]
а) S ' ( x)  0
S '( x) 100 2 x
100 2 x 0
x 50
x [0;100]
б) Найдём значение функции на концах
отрезка и в критических точках:
S (0)  0
S (50)  50(100  50)  2500
S (100)  0
Значит наибольшей будет площадь участка 2500см2, а
стороны 50м. И 50м.
Ответ: 50м. И 50 м.
1. «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А.Н.
Колмогорова
2. «Алгебра и начала анализа 10-11» - А.Г. Мордкович
3. Тесты по алгебре и началам анализа –
Ю.А. Гладков, И.К. Варшавский,
М.Я. Гаиашвили
4. Интернет – ресурсы
5. Раздаточный материал: коробки различных размеров,
графики, геометрические тела.