МОДУЛЬ 3 механические колебания 2014

«КОЛЕБАНИЯ»
Механические колебания
•
•
•
•
•
•
•
•
•
две формы уравнения колебаний
энергия при колебательном
движении
затухающие колебания
вынужденные колебания
резонанс
сложение колебаний
физический маятник
крутильные колебания
колебания связанных систем
Электромагнитные колебания
•
•
•
•
•
•
•
•
Гармонические электромагнитные
колебания
Затухающие электромагнитные
колебания
Резонанс в различных контурах.
Метод диаграмм.
Переменный ток. Закон Ома.
Импеданс.
Мощность.
Последовательный и
параллельный колебательные
контура
Колебательное движение
Физические процессы, которые
характеризуются той или иной
степенью
повторяемости,
называются
колебательными
процессами.
Колебания называются
вынужденными, если они
происходят под действием
периодически изменяющейся
внешней силы.
Гармоническими колебаниями
называются колебания, при
которых колеблющаяся
физическая величина
изменяется по закону синуса
(или косинуса).
s  A cos t
Колебания называются свободными
(или собственными), если они
совершаются за счет первоначально
сообщенной энергии, без дальнейшего
внешнего воздействия на
колебательную систему.
Периодом колебаний T называется
наименьший промежуток времени, по
истечении которого повторяются
состояния колеблющейся системы и
фаза колебания получает приращение 2
Частотой колебаний n называется
величина обратная периоду
колебаний — число полных
колебаний, совершаемых в
единицу времени
Колебательное движение
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

ds
s 
  A sin t     A cos t    
2
dt
2
дифференциальным уравнением
гармонических колебаний

d s
s  2   A 2 cost     A 2 cost     
dt
2
d s
2
 s  0
2
dt
s  A cost   
Колебательное движение
Геометрическая интерпретация
колебательного движения
Такая зависимость от смещения
характерна для упругих сил и поэтому
силы, которые аналогичным образом
зависят от смещения, называются
квазиупругими.
Экспоненциальная форма записи
гармонических колебаний.
ei  cos   i sin 
i t  
~
s  Ae
Возвращающая
сила
xN  A cos   A cost  0 
Согласно
формуле
Эйлера для
комплексных
чисел
Re ~
s   A cost  0 
2
F  ma  mA 2 cos t   0   
d x
m 2  m 2 x
dt
F  mA cost   0   m x
уравнение линейного
осциллятора
Материальная точка,
колеблющаяся под
действие
возвращающей силы
2
называется линейным
осциллятором
2
F  kx
Колебательное движение
Гармонические колебания под действием упругой силы.
Кинетическая энергия
mv2 mA2 2
K

sin 2 t  0 
2
2
mA2 2
1  cos 2t  0 
K
4
Полная энергия остается
постоянной, с течением
времени происходит только
превращение кинетической
энергии в потенциальную и
обратно.
mA2 2
WКП 
2
mA2 2
К  П 
4
Потенциальная энергия
mA2 2
П   Fdx 
cos 2 t  0 
2
0
mA2 2
1  cos 2t  0 
П
4
x
Колебательное движение
Примеры колебательных систем.
1. Пружинный маятник — это груз массой m,
подвешенный на абсолютно упругой
пружине и совершающий гармонические
колебания под действием упругой силы
max  mg  k СТ  x 
d 2x k
 x0
2
dt
m
x  A cos0t  0  0 
k
m
 x0  A cos  0
2
v

2
0
A

x

0
v0   A0 sin  0
02
x( t  0 )  x0
v( t  0 )  v0
tg 0  
v0
x00
Колебательное движение
Примеры колебательных систем.
2. Математическим маятником называется
идеализированная система, состоящая из
материальной точки массой m, подвешенной
на невесомой нерастяжимой нити длиной l , и
колеблющейся под действием силы тяжести
без трения.
ma  mg sin 
dv
  g sin 
dt
d 2s g
 s0
2
dt
l
s  A cos0t  0 
0 
g
l
ds
s
v 
sin  
dt
l
2
l
T
 2
0
g
Колебательное движение
Сравните маятником называется твердое
3. Физическим
Математический
тело, совершающее
под действием силы маятник можно
g
0 колебания вокруг горизонтальнойпредставить
тяжести
оси
как
подвеса, не lпроходящей через центр масс
тела.(предельный)
частный
случай физического
маятника, вся масса
x
0
которого сосредоточена
в его центре масс.
2
0
2
Приведенная
x
длина
d
J
  mgl sin 
dt
d  mgl

 0
dt
J
  A cos0t  0 
физического
маятника
Jx
mgl0
T  2
0 
d
mgl0
Jx
 
sin   
g mgl0
dt
J
x

lпр 
lпр
Jx
ml0
Колебательное движение
Приведенная длина физического маятника — это
длина такого математического маятника, который
имеет такой же период колебаний, что и данный
физический маятник.
Теорема Гюйгенса:
2
Приведенные
длины
и
x
сx
0 периоды колебаний
cx
маятников,
подвешенных
на
параллельных
осях,
пр
0
0
расположенных на расстоянии приведенной
0
0
0
длины друг от друга одинаковы
Точка O1 на продолжении прямой OC , отстоящая
от оси подвеса на расстоянии приведенной длины
lпр , называется центром качаний физического
маятника.
J
J  ml
J
l L 

l 
ml
ml
ml
J x1 J сx  ml12
J cx
L1 

 l1 
ml1
ml1
ml1
J cx
l1  L0  l0 
ml0
J cx
L1  l0 
ml0
Колебательное движение
4. Тело, подвешенное на упругой нити или другом
упругом элементе, совершающее колебания в
горизонтальной плоскости, представляет собой
крутильный маятник
М   К
d 2
М J 2
dt
   0 cost   0 
d 2
J 2   K
dt

K
J
J
T  2
K
Если К известно, то, измерив Т, можно найти момент инерции тела, поэтому
метод крутильных колебаний часто используется для нахождения моментов
инерции тел.
Колебательное движение
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
одинаковой частоты (двумерный осциллятор)
 x  A1 cos t

 y  A2 cost  0 
x
 A  cos t
 1

2
y
x

 cos t cos 0  sin t sin  0
sin t  1  2
 A2
A
Уравнение
2
2
x
y
2 xy
эллипса
2
 2
cos 0  sin 0
2
A1 A2 A1 A2
 x  A1 cost  1 

 y  A2 cost  2 
Уравнения
двумерного
осциллятора
(эллиптически
поляризованные
колебания)
Колебательное движение
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
одинаковой частоты (частные случаи).
1.
 0  m
m  0 ,1,2 ,3,...
A2
y
x
A1
Такие колебания
называются линейно
поляризованными
A  A12  A22
такие колебания
называются
эллиптически
поляризованными
При равенстве амплитуд –
получаются колебания ,
поляризованные по кругу
2.
 0  2m  1 2
m  0 ,1,2 ,3,...
x2 y2
 2 1
2
A1 A2
Колебательное движение
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с
кратными частотами.
 x  A1 cosmt  1 

 y  A2 cosnt   2 
Фигуры Лиссажу
Лиссажу
Фигуры
Колебательное движение
Метод векторных диаграмм
Изменение угла
Длина вектора
равна амплитуде
Сумма двух гармонических колебаний одного определяется
частотой
направления и одинаковой частоты есть
Начальный угол
гармоническое колебание в том же
соответствует
направлении и с той же частотой, что и Проекции вектора
начальной фазе
на
складываемые колебания.
соответствующие
оси изменяются по
 x1  A1 cos t  1
гармоническому

закону
x  A cos t 

2
2
  
 2 
x  A cos t  

A  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  1 
A1 sin 1  A2 sin  2
tg 
A1 cos 1  A2 cos  2
Колебательное движение
Биения.
x1  A cos t
x2  A cos   t
  
x  A( t ) cos t
Результирующее колебание с
переменной амплитудой

A( t )  2 A cos
t
2
Биениями называются периодические
изменения амплитуды колебания,
возникающие при сложении двух
гармонических колебаний с близкими
частотами.
  4,5
Колебательное движение
Спектр колебательных частот. Разложение Фурье
1  
2  4
Любое сложное периодическое
колебание s = f (t) можно представить в
виде суммы простых гармонических
колебаний с циклическими частотами,
кратными основной циклической
частоте ω0 Такое представление
периодической функции f(t)
называется разложением ее в ряд
Фурье или гармоническим анализом
сложного периодического колебания.
n
0
m
0
m
m 1
A
s
  A cosm t  
2
Результирующее колебание с
частотой, равной наименьшей
частоте складываемых колебаний

Члены ряда Фурье, соответствующие
гармоническим колебаниям с
циклическими частотами ω0 , 2ω0, 3ω0 и т.
д., называются гармониками сложного
периодического колебания.
Колебательное движение
Затухающие механические колебания
Коэффициент
затухания


Частота
собственных
колебаний
2m

 

Fупр  ks Fсопр   
Дифференциальное уравнение
свободных затухающих колебаний
линейной системы
Затуханием колебаний называется
постепенное ослабление колебаний
с течением времени,
обусловленное потерей энергии
колебательной системой.
max  kx   x
d 2x
2

2



x
0x 0
2
dt
В случае малых затуханий
Система называется линейной, если
параметры, характеризующие те
физические свойства системы, которые
существенны для рассматриваемого
процесса, не изменяются в ходе
процесса.
x  Ae  t cost   0 
Циклическая частота
затухающих колебаний
  02   2
Колебательное движение
Затухающие механические колебания
A( t )  Ae
  02   2
T
Логарифмический
декремент затухания
   1
A( t )
e
 e 
A( t   )
Время релаксации (время жизни
колебаний),
в течение которого амплитуда
затухающих колебаний
уменьшается в e раз.
2


Амплитуда
затухающих
колебаний
 t
2
02   2
Частота и период
затухающих
колебаний

2
0
A( t )
Ae t
  ln
 ln   t T   T
A( t  T )
Ae
W( t )


Q  2

 N e  
W ( t  T ) T
T
Добротность колебательной
системы - безразмерная
величина, которая характеризует
диссипацию энергии во времени
0
Q
2
Колебательное движение
Вынужденные колебания
max  kx   x  F0 cos pt
d 2x
2

2



x
0 x  f 0 cos pt
2
dt
Быстро затухает
x  x  x*  Ae  t cos t   0   A cos pt   
*
x  A cos pt   


*
x   Ap sin  pt     Ap cos pt    
2



*
2
x   Ap sin  pt      Ap 2 cos pt     
2

Колебательное движение
Вынужденные колебания


Ap cos pt       2Ap cos pt     
2

2
 0 A cos pt     f 0 cos pt
2
A

f0
2
0
p

2 2
 4 2 p 2
2p
tg  2
0  p 2
Колебательное движение
Вынужденные колебания. Резонанс

Резонансом называется явление резкого
возрастания амплитуды вынужденных
колебаний при приближении частоты
вынуждающей силы к частоте, равной или
близкой собственной частоте
колебательной системы.
Aрез 

2
0
f0
p
  4
2
2
рез
p рез 

2
p 2рез


4 02  p 2 p  8 2 p  0
f0
20
 QA0
2
0
 2 2

Колебательное движение
Автоколебания, параметрические и ангармонические колебания
В автоколебательных
системах незатухающие
колебания возникают
(автоколебания) не за счет
периодического внешнего
воздействия, а в результате
имеющейся у таких систем
способности самой
регулировать поступление
энергии от постоянного
источника.
Ангармонические колебания
возникают под действием
возвращающей силы, которая
нелинейно зависит от координаты,
а сила сопротивления зависит не от
первой а второй или большей
производной
Величину амплитуды колебаний
можно изменять за счет изменения
параметров системы (длины подвеса,
жесткость системы). Такие колебания
называют параметрическими.
A

f0
2
0
p

2 2
Апериодическое
движение
характерно для сред
с большим
коэффициентом
сопротивления, т.е.
коэффициентом
затухания
 4 2 p 2
ВОПРОСЫ ВЫНОСИМЫЕ НА КОЛЛОКВИУМ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Две формы уравнения колебаний, примеры колебательных систем
Физический маятник. Приведенная длина.
Параметры колебательных систем. Энергия при колебательном
движении.
Затухающие колебания
Вынужденные колебания.
Резонанс, автоколебания и другие виды колебательных движений
Метод векторных диаграмм. Пример.
Сложение колебаний одинакового направления
Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
Метод разложения колебаний. Биения.
Гармонические электромагнитные колебания
Затухающие электромагнитные колебания
Резонанс в различных контурах. Метод диаграмм.
Переменный ток. Закон Ома. Импеданс.
Переменный ток. Мощность. Действующие значения.
Параметры и уравнение бегущей волны.
Свет – электромагнитная волна. Уравнение. Энергия.
Скорость распространения упругих волн. Групповая и фазовая
скорости. Дисперсия волн;
Энергия упругой волны. Вектор Умова.
Отражение и преломление упругих волн. Принцип Гюйгенса. Дифракция.
Интерференция волн. Стоячие волны.
Звуковые волны. Параметры. Эффект Доплера.