Условные обозначения ПУР Положение устойчивого равновесия кб

реклама
Условные обозначения
ПУР
кб
Положение устойчивого равновесия
Колебания
Наименование
Колебания
Определение
Движения или процессы, повторяющиеся с
течением времени
Система тел
Пружинный маятник
Группа тел, движение которых изучается
Груз, подвешенный на пружине, совершающий
механические кб
Рисунок
𝑚
𝑘
𝑇 = 2𝜋√
Математический
маятник
Точечная масса, подвешенная на
нерастяжимой невесомой нити, совершающая
механические кб
𝑙
𝑇 = 2𝜋√
𝑔
Внутренние силы
Механические кб
Свободные кб
Вынужденные кб
Силы, действующие между телами системы
Кб, при которых колеблющееся тело
систематически отклоняется от ПУР в
противоположных направлениях
Кб, происходящие в системе под действием
внутренних сил
Кб, происходящие в системе под действием
внешних периодически изменяющихся сил
Примеры решения задач
1) Дано уравнение 𝑥 = 0,1𝜋 2 cos 5𝜋(2𝑡 + 1) м
Найдите амплитуду 𝑥𝑚 , циклическую частоту ω, период T, частоту ν и начальную фазу 𝜑0
Резонанс
Резкое возрастание амплитуды вынужденных
колебаний при совпадении частоты изменения
внешней силы, действующей на систему, с
частотой свободных колебаний
Автоколебания
Незатухающие кб, которые могут существовать
в системе без воздействия на неё внешних
периодических сил
Периодические изменения физической
величины в зависимости от времени по закону
sin или cos
Гармонические кб
Период T
Частота ν
Циклическая частота
ω
Амплитуда Xmax
Минимальный промежуток времени, через
который движение тела полностью
повторяется. Единица измерения [T]= 1
с(секунда)
Число колебаний в единицу времени. Единица
измерения [ν]= 1 Гц(Герц)
Число колебаний тела, но не за 1 с, а за 2π с
𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0 )
1 𝑡 2𝜋𝑅
𝑇= = =
𝜈 𝑁
𝑉
1 𝑁
𝑉
= =
𝑇 𝑡 2𝜋𝑅
𝑉
𝑎
2𝜋
𝜔 = = √ = 2𝜋𝜈 =
𝑅
𝑅
𝑇
𝜈=
Модуль наибольшего смещения тела от
положения равновесия. Единица измерения
[Xmax]= 1 м(метр)
Фаза кб ϕ
Аргумент периодически изменяющейся
функции, описывающей колебательный
процесс. Единица измерения [ϕ]= 1 (радиан)
Начальная фаза кб ϕ0
Скорость V
Ускорение a
Фаза в момент времени t=0
Первая производная координаты
Вторая производная координаты
Решение:
Сперва раскроем скобки 𝑥 = 0,1𝜋 2 cos(10𝜋𝑡 + 5𝜋) м
𝑉 = 𝑥 ′ = −𝜔0 𝑥𝑚 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 )
𝑎 = 𝑉′ = −𝜔2 𝑥𝑚 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 )
𝑉2
𝑎 = 𝜔2 𝑅 =
𝑅
Теперь запишем уравнение 𝑥(𝑡) в общем виде 𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑0 )
Из сравнения этих уравнений следует, что выражение 0,1𝜋 2 , стоящее между знаком
равенства и обозначением cos, есть амплитуда 𝑥𝑚 .
Выражение 10𝜋 , стоящее между скобкой и временем 𝑡, есть циклическая частота
колебаний ω.
Так как 𝜔 =
2𝜋
𝑇
2
с = 0,2 с.
10
1
=
= 5 Гц
0,2
, то 𝑇 =
1
𝑇
Поскольку 𝜈 = , то 𝜈
Выражение 5π в скобках, в которое не входит текущее время t , есть начальная фаза
колебаний 𝜑0 .
2) Частица совершает гармонические колебания вдоль оси OX около положения равновесия.
Циклическая частота колебаний частицы ω = 4 рад/с. В какой момент времени t после
прохождения положения равновесия частица будет иметь координату x = 25 см и скорость
v = 100 см/с ?
Решение: начало отсчёта времени колебаний ведется от момента, когда координата
частицы равна нулю. Значит колебания частицы происходят по закону синуса.
𝑥 = 𝑥𝑚 sin 𝜔𝑡
Поскольку нам известна скорость частицы в момент времени t, запишем уравнение
скорости 𝑉 = 𝑥 ′ = 𝜔𝑥𝑚 cos 𝜔𝑡
𝑥
𝑥
Разделив первое уравнение на второе получим 𝑉 = 𝜔𝑥𝑚
sin 𝜔𝑡
𝑚 cos 𝜔𝑡
𝑡=
откуда 𝑡𝑔 𝜔𝑡 =
𝑥𝜔
𝑉
1
𝑥𝜔
1
25 ∗ 4
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
) = ≈ 0,2 с
𝜔
𝑉
4
100
8
3) Если к шарику массой 𝑚1 , колеблющемуся на пружине, подвесить снизу еще один шарик
массой 𝑚2 = 300г , то частота колебаний уменьшится в 𝑛 = 2 раза. Чему равно масса 𝑚1
первого шарика?
Решение:
𝑛=
𝜈1
,
𝜈2
𝑛=
где 𝜈1 =
1
𝑘
√
2𝜋 𝑚1
1
𝑘
√
2𝜋 𝑚1 + 𝑚2
1
𝑘
√
2𝜋 𝑚1
𝜈2 =
1
𝑘
√
2𝜋 𝑚1 + 𝑚2
(𝑚1 + 𝑚2 )
𝑘(𝑚1 + 𝑚2 )
=√
=√
𝑚1 𝑘
𝑚1
𝑛2 =
𝑚1 =
(𝑚1 + 𝑚2 )
𝑚2
=1+
𝑚1
𝑚1
𝑚2
0,3
=
= 0,1 кг
−1 4−1
𝑛2
Скачать