Решение систем линейных уравнений

МБОУ «Средняя общеобразовательная
школа №12 с углубленным изучением
отдельных предметов»
готовимся к экзаменам
_______________________________________________________
алгебра 9 класс
Решение систем
линейных уравнений
Учитель математики
Лобищева А. И.
г. Старый Оскол,
2011 год
Алгебра стоит на четырёх
китах
Число
число
тождество
уравнение
функция
Тождество
Функция
Алгебра щедра. Зачастую она дает
больше, чем у нее спрашивают
Ж.Даламбер
Цель урока
Продолжить формирование навыков
сознательного выбора способа
решения системы;
Развивать потребность в нахождении
рациональных способов решения;
Воспитывать умение контролировать
внимание на всех этапах урока;
План урока
Повторение темы «Решение систем
линейных уравнений»:
-уравнение и его свойства;
-система уравнений и ее решение;
Способы решения систем уравнений;
Первые итоги
Самостоятельная работа;
Практическое применение систем
линейных уравнений
Создать синквейн
Первые итоги урока
На каком уровне ( на Ваш взгляд ) Вы
усвоили материал этого урока?
средний
хороший
отличный
(Щелкните левой кнопкой мышки на выбранном уровне)
Ваша оценка
3
Спасибо за работу.
Попробуйте повысить оценку решением тестовых заданий
Ваша оценка
4
Спасибо за работу.
Ваш уровень достаточно высок, но можете попробовать
повысить его через решение тестовых заданий
Ваша оценка
5
Спасибо за работу.
Ваша оценка очень высока. Попробуйте подтвердить ее
решением тестовых заданий
Уравнение и его
свойства
Определение
Уравнение – это равенство, содержащее одну или
несколько переменных
Линейное уравнение с
ax=b
одной переменной
ax+by=c
Линейное уравнение с
двумя переменными
Свойства уравнений
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в
другую, изменив его знак, то получится уравнение,
равносильное данному
если обе части уравнения умножить или разделить на одно
и то же отличное от нуля число, то получится уравнение,
равносильное данному
Вопросы для размышления
Вопросы для размышления
a)
a)
b)
a)
b)
Являются ли данные выражения уравнениями?
5x + 4 = 0; b) 2 + 3x; c) 7x + 3 = 4y; d) 7x + 5y;
Равносильны ли эти уравнения?
2x + 3y = 10 и 2x = 10 – 3y;
10 – 2x = 5y и 10 = 5y – 2x;
Равносильны ли эти уравнения?
2x + y = 3 и 4x +2y = 6;
21x + 15 = 3y и 7x + 5 = 9y;
Выпишите буквы правильных ответов
Система уравнений и её
решение
Определения
Системой уравнений называется некоторое количество уравнений,
объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что
все уравнения должны выполняться одновременно
Каждая пара значений переменных, которая одновременно
является решением всех уравнений системы, называется
решением системы
Решением системы уравнений с двумя переменными называется
пара значений переменных, обращающая каждое уравнение
системы в верное равенство
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или
установить, что их нет
Контрольные вопросы
Контрольные вопросы
Что называется системой уравнений?
Что называется решением системы
уравнений?
Что значит – решить систему
уравнений?
Способы решения
систем уравнений
Решить систему уравнений
способом подстановки

y – 2x = 4 ,
7x – y = 1 .
Решить систему уравнений
способом сложения

7x = 2y = 1 ,
17x + 6y = -9 .
Решение системы
способом подстановки
Выразим у через х
у=2х+4,
7х - у=1;
у - 2х=4,
7х - у =1;
Подставим
у=2х+4,
х=1;
Подставим
у=6,
х=1.
Ответ: х=1; у=6.
у=2х+4,
7х - (2х+4)=1;
Решим
уравнение
7х - 2х - 4 = 1;
5х = 5;
х=1;
Способ подстановки
(алгоритм)
Из какого-либо уравнения выразить одну
переменную через другую
Подставить полученное выражение для
переменной в другое уравнение и решить
его
Сделать подстановку найденного
значения переменной и вычислить
значение второй переменной
Записать ответ: х=…; у=… .
Решение системы
способом сравнения
у - 2х=4,
7х - у =1;
у=2х+4,
7х - 1= у;
7х - 1=2х+4,
7х - 2х=4+1,
5х=5,
х=1.
Выразим у через х
Приравняем
выражения
для у
у=2х+4,
х=1;
у=2·1+4,
х=1;
у=6,
х=1.
Решим
уравнение
Ответ: (1; 6)
Подставим
Способ сравнения
(алгоритм)
Выразить у через х (или х через у) в
каждом уравнении
Приравнять выражения, полученные для
одноимённых переменных
Решить полученное уравнение и найти
значение одной переменной
Подставить значение найденной
переменной в одно из выражений для
другой переменной и найти её значение
Записать ответ: х=…; у=… .
Уравняем
модули
коэффициентов
перед у
Решение системы
способом сложения
7х+2у=1, ||·(-3)
17х+6у=-9;
-21х-6у=-3,
+ 17х+6у=-9;
____________
- 4х = - 12,
7х+2у=1;
х=3,
7х+2у=1;
Сложим уравнения почленно
Решим
уравнение
х=3,
7·3+2у=1;
х=3,
21+2у=1;
х=3,
2у=-20;
х=3,
у=-10.
Подставим
Ответ: (3; - 10)
Решим
уравнение
Способ сложения
(алгоритм)
Уравнять модули коэффициентов при
какой-нибудь переменной
Сложить почленно уравнения системы
Составить новую систему: одно
уравнение новое, другое - одно из старых
Решить новое уравнение и найти
значение одной переменной
Подставить значение найденной
переменной в старое уравнение и найти
значение другой переменной
Записать ответ: х=…; у=… .
Решение системы
у - х=2,графическим способом
у+х=10;
у=х+2,
у=10-х;
y
Выразим у
через х
Построим график
первого уравнения
6
у=х+2
х 0 -2
у 2 0
Построим график
второго уравнения
y=x+2
10
y=10 - x
2
1
-2
0
1
у=10 - х
х 0 10
у 10 0
Ответ: (4; 6)
4
10
x
Графический способ
(алгоритм)
Выразить у через х в каждом уравнении
Построить в одной системе координат
график каждого уравнения
Определить координаты точки
пересечения
Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)
Решение системы методом
определителей
Составим матрицу из коэффициентов
7х+2у=1,
17х+6у=-9;
при неизвестных 
Составим определитель x, заменив в определителе  первый столбец
на столбец свободных
членов
=
7
17
2 = 7·6 - 2·17 = 42 - 34 = 8
6
x=
1
-9
2 = 1·6 - 2·(-9) = 6 + 18 = 24
6
7
y=
17
х=
x

1 = 7·(-9) - 1·17 = - 63 -17=
-9
=
24
8
Найдем
хиу
= 3;
у=
y

=
Составим определитель y, заменив в определителе  второй столбец
-80 на столбец свободных
членов
-80
= -10.
8
Ответ: х=3; у= -10.
Метод определителей
(алгоритм)
Составить табличку (матрицу) коэффициентов
при неизвестных и вычислить определитель .
Найти - определитель x, получаемый из 
заменой первого столбца на столбец свободных
членов.
Найти - определитель y, получаемый из 
заменой второго столбца на столбец свободных
членов.
Найти значение переменной х по формуле x / .
Найти значение переменной у по формуле y / .
Записать ответ: х=…; у=… .
План самостоятельной
работы
Получить тест-лист с заданиями у
консультанта
Выполнить предложенные задания в
рабочей тетради
Выполненную работу представить
консультанту
Сравнить полученный результат с
самооценкой
Перейти к следующему разделу плана
урока
Применение систем уравнений
1. В настоящее время в компьютерной технологии
широко используются электронные таблицы для решения
задач управления в промышленности, бизнесе, финансовой
деятельности.
Электронная таблица легко позволяет реализовать один
из методов вычислительной математики - метод итераций.
Наибольшее применение итерационный метод нашел при
решении систем линейных уравнений. К таким системам
сводятся задачи анализа электрических цепей, расчета
энергий колебательных уровней двухатомных молекул и
др. Метод используется и для решения систем нелинейных
уравнений: система "хищник-жертва" и др.
2. Решение задачи о месте и времени встречи промыслового
рыболовецкого судна с перегрузчиком сводится по сути к
решению систем линейных уравнений, использующих
данные о координатах судов, их скоростях и метеоусловиях.
Создание синквейна
Напишите синквейн по теме урока
Правила написания синквейна:
- первая строка – одно слово (существительное)
- вторая строка – два слова (прилагательные)
- третья строка – три слова (глаголы )
- четвертая строка – одно слово
(существительное,отражающее Ваше отношение к тому,
что написано в первой строке).
Оформление – учитель математики
Лобищева А. И..