Подготовка к ЕГЭ по математике

Вебинар для учителей математики Хабаровского края
17 мая 2013 года
Марина Геннадьевна Ким, учитель МАОУ СОШ №77, эксперт
региональной предметной комиссии,
город Хабаровск
Какие подходы и практические решения
целесообразно использовать для нивелирования
тех затруднений , которые испытывают
выпускники на ЕГЭ
У выпускников слабо развиты вычислительные навыки,
недостаточная подготовка в геометрии, невнимательное
прочтение условия заданий.
Следует обратить особое внимание на формирование у
учащихся навыков детального прочтения условия задач,
отработку вычислительных навыков, умения проводить по
известным формулам и правилам преобразования числовых
выражений, систематическое повторение основных формул и
правил планиметрии при решении стереометрических задач.
Традиционно сложными для выполнения остаются задания по темам
«Наибольшее и наименьшее значение функции», «Преобразование
выражений, содержащих степень», «Объемы многогранников». Также,
остаются проблемными задания, в которых необходимо применить умения
составления и исследования простейших математических моделей, решать
текстовые задачи на проценты, задачи физического характера. Низкий
процент выполнения заданий на выполнение действий с геометрическими
фигурами, координатами и векторами, что показывает низкий уровень
умения использовать при решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы.
Задачи B1
1.Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана
в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого
числа сантиметров.
2.Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1 фут
равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа
сантиметров.
3. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на
дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
4. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт
пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять
фунта
чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога,
рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.
5.Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует
пассажира о том, что полет проходит на высоте 37000 футов. Выразите высоту
полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.
6.Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке
скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель
дисконтной карты за эту книгу?
7.На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров
бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Какую сумму должен получить клиент
сдачи? Ответ дайте в рублях.
8.На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин
до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60
коп. Сколько литров бензина было залито в бак?
9.В квартире, где проживает Алексей, установлен прибор учёта расхода
холодной воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб.м воды,
а 1 октября — 114 куб.м. Какую сумму должен заплатить Алексей за холодную
воду за сентябрь, если цена 1 куб.м холодной воды составляет 19 руб. 20 коп.?
Ответ дайте в рублях.
10.Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества.
Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на
каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать
ребёнку весом в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
11.При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%.
Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет
своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму
она должна положить в приемное устройство данного терминала?
12.В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%.
Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?
13.Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в
милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36
км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)
Задачи В3
1.В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника
CDE равна 38. Найдите площадь треугольника ABC.
2.Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD
. Найдите площадь трапеции AECB.
3.Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь
параллелограмма A’B’C’D’ , вершинами которого являются середины сторон
данного параллелограмма.
4.Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E – середина стороны CD .
Найдите площадь треугольника ADE .
5.Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная
стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE .
6.На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна
51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
7.На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга
равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
8.На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга
равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
9.На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь
заштрихованного сектора.
10.На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь
заштрихованного сектора равна 32?
11.Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
12.Найдите (в см2) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .
13.Площадь параллелограмма ABCD равна 3. Точка E — середина стороны CD
. Найдите площадь треугольника ADE .
14.Площадь параллелограмма ABCD равна 11. Точка E — середина
стороны CD . Найдите площадь треугольника ADE .
15.Периметры двух подобных многоугольников относятся как 2:11 . Площадь
меньшего многоугольника равна 10. Найдите площадь большего
многоугольника.
16.Периметры двух подобных многоугольников относятся как 4:7 . Площадь
меньшего многоугольника равна 56. Найдите площадь большего
многоугольника.
17.Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 164, а
отношение соседних сторон равно 4:37 .
18.Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 64, а
отношение соседних сторон равно 3:13 .
19.Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как , а другая сторона
равна 80. Найдите площадь прямоугольника 21:29.
20.Периметр прямоугольника равен 64, а площадь равна 31,5. Найдите
диагональ этого прямоугольника.
21.Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найдите
диагональ этого прямоугольника.
Задачи В12
m (t)
20
10
5
t
10
10
10
В
планиметрических заданиях С4 по сравнению
с ЕГЭ-2011 и ЕГЭ-2012 изменения минимальны с точки
зрения структуры задач, постановки вопросов и
критериев оценивания выполнения этих задач.
 По фактическим данным выполнения, задание С4
является своего рода границей, разделяющей высокий
и повышенный уровень подготовки участников ЕГЭ.
Практика проверки работ на ЕГЭ–2010-2012 показала,
что экспертам задание С4 проверять было, пожалуй,
легче всего. По крайней мере, количество спорных
ситуаций и неоднозначных, пограничных способов
трактовки критериев оценивания было меньше всего.
Критерии
Баллы
Рассмотрены
все
возможные
геометрические
конфигурации, и получен правильный ответ
3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация,
для которой получено правильное значение искомой
величины
2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая
конфигурация, в которой получено значение искомой
величины, неправильное из-за арифметической ошибки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
Как и во всякой геометрической, и особенно,
достаточно сложной геометрической задаче весьма
деликатным является вопрос о степени и характере
обоснованности построений и утверждений.
Излишняя требовательность к обоснованиям в
принципе ведет к необходимости текста, изложение в
котором начинается, грубо говоря, с аксиом,
продолжается формулировками теорем, приведением
нужных формул, и в котором только после этого
происходит собственно решение задачи.
Позиция разработчиков КИМ ЕГЭ–2012 состоит в том,
что в задании С4 невозможно от выпускников школ на
ЕГЭ требовать изложения, приближающегося к стилю
учебников и научно-методических статей.
Достаточным является наличие ясного понимания
возможности разных геометрических конфигураций
искомых объектов, верного описания(предъявления)
этих
конфигураций
и
грамотно
проведенных
вычислений.
Обратим также внимание на то, что часто при
решении геометрических задач школьники ссылаются
на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж
вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке
карандашом, то эта область не сканируется). Снижать
оценку только за это не рекомендуется.
Наконец,
специально
отметим,
некоторую
несогласованность единственного и множественного
числа в постановке вопроса задачи и в ответе на этот
вопрос.
Традиции
отечественного
геометрического
образования
таковы,
что
вопрос
«Найти
геометрический объект, удовлетворяющий некоторым
условиям», всегда трактовался как полное решение, то
есть отыскание всех объектов, удовлетворяющих
условиям задачи.
Мы следуем традиционному подходу и считаем
нецелесообразным вопрос «Найти радиус окружности,
вписанной в…» приводить в формулировке, типа,
«Найти радиусы всех окружностей, …».
1. Две прямые пересекаются под углом 30° . От точки пересечения 𝐴
на одной из прямых отложен отрезок 𝐴𝐵 = 1, на другой прямой
отложен отрезок 𝐴𝐶 = 3 . Найти длину радиуса окружности,
описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶.
I вариант.
По теореме косинусов найдем
BC= AC2 +AB 2 −2AC∙ cos ∠𝐶𝐴𝐵 = 1
Радиус окружности найдем из теоремы синусов
𝐵𝐶
𝑅 = 2 sin 30° = 1 .
II вариант.
Следует из чертежа
Ответ.
1; 7
2. На
двух параллельных прямых, расстояние между которыми
равно 12, расположены вершины треугольника, боковые стороны
которого равны 13. Найдите третью сторону треугольника.
I вариант.
Дано: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 13, 𝐴𝐷 = 12. По теореме
Пифагора найдем 𝐷𝐶 = 𝐴𝐶 2 − 𝐴𝐷2 = 5.
Сторона треугольника 𝐵𝐶 = 10.
II вариант.
Пусть теперь треугольник расположен так, что
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 13
Ответ.
10; 4 13
3. В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 длины катетов 𝐵𝐶
= 4 и 𝐴𝐶 =
12. На прямой 𝐴𝐶 взята точка 𝐷 так, что 𝐴𝐷 ∶ 𝐷𝐶 = 3. Найдите
sin ∠𝐴𝐵𝐷
I вариант.
По теореме Пифагора найдем 𝐴𝐵 = 4 10.
Найдем 𝐷𝐶 = 3, затем 𝐷𝐵 = 5.
Т.к. 𝛼 = ∠𝐵 − 𝛽,
sin 𝛼 = sin ∠𝐵 ∙ cos 𝛽 − cos ∠𝐵 ∙ sin 𝛽.
9
Получаем sin 𝛼 = 5 10.
Заметим, что можно было из треугольника 𝐴𝐵𝐷
по теореме косинусов найти cos 𝛼, затем sin 𝛼.
II вариант.
Рассмотрите другой вариант положения точки 𝐷
Ответ.
9
9
;
5 10 130
4. Высоты
треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐻. Известно, что
𝐶𝐻 = 𝐴𝐵. Найдите угол ∠𝐴𝐶𝐵.
I вариант.
Треугольники 𝐴𝐵𝐹 и 𝐶𝐻𝐹 равны, т.к. оба они
прямоугольные, имеют по условию равные
гипотенузы и угол ∠𝐹𝐴𝐵 = ∠𝐻𝐶𝐹 как два острых
угла со взаимно перпендикулярными
сторонами. Следовательно, 𝐴𝐹 = 𝐶𝐹, и
треугольник 𝐴𝐹𝐶 прямоугольный и
равнобедренный, откуда ∠𝐴𝐶𝐵 = 45°.
II вариант.
Рассмотрите вариант тупого угла 𝐶. Докажите
равенство треугольников 𝐹𝐴𝐵 и 𝐻𝐶𝐹, затем
докажите, что 𝐹𝐴 = 𝐶𝐹.
Ответ.
45°; 135°
5. В
треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена прямая, параллельная 𝐴𝐶 и
пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно.
Прямая 𝐸𝐹 делит треугольник 𝐴𝐵𝐶 на две фигуры, площади
которых относятся как 1: 3. Найдите отношение длин отрезков 𝐴𝐶 и
𝐸𝐹.
I вариант.
Пусть 𝑆𝐸𝐵𝐹 ∶ 𝑆𝐴𝐸𝐹𝐶 = 1: 3. Тогда 𝑆𝐸𝐵𝐹 ∶ 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1: 4.
Треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐸𝐵𝐹 подобны, причем
коэффициент подобия 𝑘 2 = 4 или 𝑘 = 2.
Следовательно, 𝐴𝐶 ∶ 𝐸𝐹 = 2.
II вариант.
Рассмотрите случай 𝑆𝐸𝐵𝐹 ∶ 𝑆𝐴𝐸𝐹𝐶 = 3: 1.
Ответ.
2
2;
3
6. Площадь
прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐶 = 90°) равна 8,
длина катета 𝐵𝐶 равна 2. Прямая проходит через точку 𝐵 и
образует угол 45° с прямой 𝐵𝐶. Найдите расстояние от точки 𝐴 до
указанной прямой.
I вариант.
Из формулы площади следует, что 𝐴𝐶 = 8, по
теореме Пифагора найдем 𝐴𝐵 = 68. Найдем
sin 𝛽 = sin(135° − 𝛼) = sin 135° cos 𝛼 −
cos 135° sin 𝛼, получаем
sin 𝛽 =
5 2
.
68
Затем 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 ∙ sin 𝛽 = 5 2
II вариант.
Рассмотрите другой вариант положения точки
прямой
Ответ.
3 2; 5 2
7. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 13, а 𝐴𝐶 = 10. В треугольник вписан
прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне 𝐴𝐶, а
две другие на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 . Известно, что одна сторона
прямоугольника вдвое больше другой. Найдите диагональ
прямоугольника.
I вариант.
По теореме Пифагора найдем 𝐵𝐷 = 12. Из
12
треугольника 𝐵𝐷𝐶 найдем tg∠𝐶 = 5 = 2,4 . Пусть
𝑥
𝑀𝑁 = 𝑥, тогда 𝐹𝑁 = 2𝑥, а 𝑁𝐶 = 5 − 2. Из
треугольника 𝐹𝐶𝑁 следует, что 𝐹𝑁 = 𝐶𝑁 ∙ tg∠𝐶
𝑥
или 2𝑥 = 5 − 2 ∙ 2,4. Получаем 𝑥 = 3,75.
Диагональ равна 4𝑥 2 + 𝑥 2 = 𝑥 5 = 3,75 5.
II вариант.
Рассмотрите другой вариант расположения
прямоугольника
Ответ.
60 5
3,75 5 ;
17
1. Длина
окружности равна 20𝜋. Диаметр 𝐴𝐵 и хорда 𝐶𝐷 лежат на
параллельных прямых. Расстояние между указанными прямыми
равно 19. Найдите длину хорды 𝐵𝐶.
I вариант.
Длина окружности 20𝜋 = 2𝜋𝑅, откуда 𝑅 = 10. Из
треугольника 𝐶𝑂𝐾 следует, что 𝐶𝐾 =
𝐶𝑂2 − 𝑂𝐾 2 = 9. Из треугольника 𝐶𝑂𝐾 находим
cos ∠𝑂𝐶𝐾 = 0,9. Далее cos ∠𝐶𝑂𝐴 = cos ∠𝑂𝐶𝐾 =
0.9. По теореме косинусов находим 𝐶𝐴 = 2 5.
Из прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 найдем
𝐵𝐶 = 2 95.
II вариант.
Поменяйте местами точки 𝐶 и 𝐷.
Ответ.
2 5; 2 95.
круга, ограниченного некоторой окружностью, равна 12𝜋,
2. Площадь
𝐴𝐶 – диаметр этой окружности, тока 𝑂 – ее центр. Точка 𝐵 лежит на
окружности, причем площадь треугольника 𝐴𝑂𝐵 равна 3. Найдите
величину угла ∠𝐶𝐴𝐵.
I вариант.
Пусть 𝐴𝑂 = 𝑅. Тогда 𝜋𝑅2 = 12𝜋 и 𝑅 = 12.
Треугольник 𝐴𝑂𝐵 равнобедренный, его площадь
1
1
𝑆 = 2 𝑅2 sin 𝛽, откуда sin 𝛽 = 2. При данном
расположении точки 𝐵 угол 𝛽 тупой,
следовательно, 𝛽 = 150°, откуда следует 𝛼 = 15°.
II вариант.
Рассмотрите вариант острого угла 𝛽
Ответ.
15°; 75°.
3. Площадь
круга с центром в точке 𝑂 равна 144𝜋 . Точки 𝐴 и 𝐵
расположены на расстоянии 12,5 и 26 соответственно от точки 𝑂.
Длина хорды, лежащей на прямой 𝐴𝐵 равна 4 11 . Найдите
площадь треугольника 𝐴𝑂𝐵.
I вариант.
Длина 𝑅 = 12. Из треугольника 𝐶𝑂𝐾 следует, что 𝑂𝐾 =
10. Из треугольника 𝐴𝑂𝐾 находим 𝐴𝐾 = 7,5, а из
треугольника О𝐵𝐾 находим 𝐵𝐾 = 24.
1
Далее 𝑆𝐴𝑂𝐵 = 2 𝐴𝐵 ∙ 𝑂𝐾 = 157,5
II вариант.
Рассмотрите случай, когда точки 𝐴 и 𝐵 лежат по
одну сторону от хорды 𝐶𝐷
Ответ.
82,5; 157,5.
4. На
окружности с радиусом 𝑅 = 3 последовательно поставлены
точки 𝐾, 𝑀, 𝑁 и 𝑃 так, что дуги 𝐾𝑀 = 40° и 𝑀𝑁 = 100°, а хорды 𝐾𝑁 и
𝑀𝑃 пересекаются под углом 70° . Найдите длину наибольшей
стороны четырехугольника 𝐾𝑀𝑁𝑃.
I вариант.
Сначала надо доказать, что наибольшей стороной
является 𝐾𝑃, для этого найдем величину дуги 𝐾𝑃.
Вписанный угол ∠𝐾𝑁𝑀 = 20°, угол ∠𝑁𝑂𝑀 = 110°,
следовательно, угол ∠𝑃𝑀𝑁 = 50°, а дуга 𝑃𝑁 = 100°.
Дуга 𝐾𝑃 = 360° − 100° − 100° − 40° = 120° является
наибольшей, следовательно хорда 𝐾𝑃 является также
наибольшей. Треугольник 𝐾𝑁𝑃 вписан в окружность и
𝐾𝑃
по теореме синусов sin ∠𝐾𝑁𝑃 = 2𝑅. Получаем 𝐾𝑃 = 3
II вариант.
Рассмотрите другой вариант расположения
хорды 𝑀𝑃
Ответ.
2 3; 3.
1. В треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписана окружность. Точка касания окружности
стороны 𝐴𝐶 делит ее на отрезки с длинами 6 и 4. Периметр
треугольника равен 24. Найдите sin ∠𝐵𝐴𝐶.
I вариант.
Пусть 𝐶𝐾 = 𝐶𝑀 = 6, 𝐴𝐾 = 𝐴𝐿 = 4, а 𝐵𝐿 = 𝐵𝑀 = 𝑥. Тогда
2 ∙ 4 + 2 ∙ 6 + 2𝑥 = 24 и 𝑥 = 2. Длины треугольника
таковы, что он является прямоугольным с
𝐵𝐶
гипотенузой 𝐴𝐶. Получаем sin ∠𝐵𝐴𝐶 =
= 0,8.
𝐴𝐶
II вариант.
Пусть 𝐶𝐾 = 𝐶𝑀 = 4, 𝐴𝐾 = 𝐴𝐿 = 6
Ответ.
0,6; 0,8.
2. Треугольник
𝐴𝐵𝐶 вписан в окружность радиуса 12. Известно, что
𝐴𝐵 = 6 и 𝐵𝐶 = 4. Найдите 𝐴𝐶.
I вариант.
Из теоремы синусов следует, что
1
𝐵𝐶
sin ∠𝐴
= 2𝑅, откуда
1
sin ∠𝐴 = 6 . Аналогично найдем sin ∠𝐶 = 4. Очевидно,
35
что ∠𝐴 острый. Тогда cos ∠𝐴 = 6 . Угол ∠𝐶 может быть
и острым, и тупым. Рассмотрим вариант острого угла,
15
тогда cos ∠𝐶 = 4 .
Найдем sin 𝛼 = sin ∠𝐴 cos ∠𝐶 + cos ∠𝐴 sin ∠𝐶, т.е. sin 𝛼 =
35+ 15
.
24
По теореме синусов найдем
𝐴𝐶 = 35 + 15.
II вариант.
Пусть ∠𝐶 тупой, тогда cos ∠𝐶 = −
Ответ.
35 ± 15.
15
.
4
3. Угол
между радиусом 𝐴𝑂
окружности, описанной около
треугольника 𝐴𝐵𝐶 и со стороной 𝐴𝐶 равен 45°. Найдите угол 𝐴
треугольника 𝐴𝐵𝐶, если угол 𝐶 равен 25°.
I вариант.
Проведем радиус 𝑂𝐶. Треугольник 𝐴𝑂𝐶
равнобедренный, следовательно, ∠𝑂 = 90°, а ∠𝐵 =
45°. Получаем ∠𝐴 = 180° − 25° − 45° = 110°.
II вариант.
Рассчитайте самостоятельно
Ответ.
110°; 20°.
4. Около
треугольника 𝐴𝐵𝐶 описана окружность с центром 𝑂, угол
∠𝐴𝑂𝐶 = 60°. В треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписана окружность с центром 𝑀.
Найдите угол ∠𝐴𝑀𝐶.
I вариант.
Пусть ∠𝐵 острый, тогда ∠𝐵 = 30°. Точка 𝑀 лежит на
пересечении биссектрис, значит, 2𝛼 + 2𝛽 = 180° −
30° = 150°, откуда 𝛼 + 𝛽 = 75°.
Далее ∠𝐴𝑀𝐶 = 180° − 𝛼 + 𝛽 = 105°.
II вариант.
360°−60°
Пусть ∠𝐵 тупой, тогда ∠𝐵 =
= 150°.
2
Ответ.
165°; 105°.
5. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки с длинами 3 и 4.
Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон
угла.
I вариант.
Пусть 𝐶𝐵 = 4 и 𝐴𝐶 = 3, тогда 𝐴𝐵 = 5. Обозначим 𝐵𝐸 =
𝐵𝐹 = 𝑥 и 𝐴𝐹 = 𝐴𝐷 = 𝑦. Тогда 𝑥 + 𝑦 = 5 и 𝑥 + 4 = 𝑦 + 3,
т.к. 𝐶𝐷𝑂𝐸 квадрат. Находим 𝑥 = 2, 𝑅 = 𝑥 + 4 = 6.
II вариант.
Совсем простой, т.к. получается окружность,
вписанная в египетский треугольник
Ответ.
1; 6.
6. В
треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 10, 𝐴𝐶 = 12. В треугольник вписана
окружность. Касательная к этой окружности, параллельная высоте
𝐵𝐷, пересекает стороны треугольника в точках 𝐹 и 𝐸 . Найдите
длину радиуса окружности, описанной около треугольника 𝐶𝐹𝐸.
I вариант.
Найдем 𝐵𝐷 = 100 − 36 = 8. Площадь 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 48,
𝑆
полупериметр 𝑝 = 16. Тогда 𝑟 = 𝑝 = 3 и
𝑂𝐷 = 𝐷𝐹 = 𝑟 = 3. Тогда 𝐹𝐶 = 𝐷𝐶 − 𝐷𝐹 = 3.
Треугольник 𝐷𝐵𝐶 подобен треугольнику 𝐹𝐸𝐶 с
коэффициентом подобия 𝑘 = 2. Следовательно,
треугольник 𝐹𝐸𝐶 – египетский, и длина искомого
𝐸𝐶
радиуса 𝑅 = 2 = 2,5.
II вариант.
Рассчитайте второй вариант согласно чертежу
Ответ.
2,5; 0,5 97.
7. Площадь
квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 16. Окружность проходит через
вершину 𝐴 и касается прямых 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 . Найдите радиус этой
окружности.
I вариант.
Сторона квадрата равна 4. Диагональ 𝐴𝐶 = 4 2. Пусть
𝑂𝐹 = 𝑂𝐸 = 𝑅. Тогда 𝐴𝐶 = 𝐴𝑂 + 𝑂𝐶 = 𝑅 + 𝑅 2. Отсюда
𝑅=
4 2
2+1
=4 2
2−1 .
II вариант.
Рассчитайте второй вариант согласно чертежу
Ответ.
4 2
2−1
;4
2
2+1
.
1. В
параллелограмме
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 2
.
Площадь параллелограмма равна 4 3. Круг, с центром в точке 𝐴
касается прямой 𝐵𝐷. Найдите площадь части круга, расположенной
внутри параллелограмма.
I вариант.
Площадь параллелограмма 𝑆 = 𝐴𝐷 ∙ 𝐴𝐵 ∙ sin ∠𝐴,
3
откуда sin ∠𝐴 = 2 . По чертежу ∠𝐴 острый,
следовательно, ∠𝐴 = 60° и cos ∠𝐴 = 0,5. В
треугольнике 𝐴𝐵𝐷 по теореме косинусов найдем
𝐵𝐷 = 2 3. Проведем в точку касания радиус 𝐴𝐾,
который является высотой треугольника 𝐴𝐵𝐷.
1
Площадь 𝑆𝐴𝐵𝐷 = 2 ∙ 𝐵𝐷 ∙ 𝐴𝐾, откуда 𝐴𝐾 = 2.
Площадь круга 𝜋 ∙ 𝐴𝐾 2 = 4𝜋. Внутри
1
параллелограмма находится 6 часть круга.
II вариант.
Рассчитайте вариант тупого угла ∠𝐴.
Ответ.
2𝜋 4𝜋
;
.
3
7
2. В
параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 биссектрисы при стороне 𝐴𝐷 делят
сторону 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 так, что 𝐵𝑀: 𝑀𝑁 = 1: 5. Найдите длину
стороны 𝐵𝐶, если 𝐴𝐵 = 3.
I вариант.
Треугольник 𝐴𝐵𝑁 равнобедренный,
следовательно, 𝐵𝑁 = 3, и 𝐵𝑀 = 0,5. Треугольник
𝐷𝑀𝐶 также равнобедренный и 𝐶𝑀 = 3.
Получаем 𝐵𝐶 = 𝐵𝑀 + 𝑀𝐶 = 3,5.
II вариант.
Рассчитайте другой вариант расположения
биссектрис.
Ответ.
3,5; 21 .
3. В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 основание 𝐵𝐶 = 10,1 а боковые стороны 𝐴𝐵 = 36 и
𝐶𝐷 = 34. Известно, что cos ∠𝐴𝐵𝐶 = − . Найдите 𝐵𝐷.
3
I вариант.
1
Т.к. ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐴𝐷 = 180°, то cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 3,
sin ∠𝐵𝐴𝐷 =
2 2
.
3
В треугольнике 𝐴𝐵𝐸 найдем 𝐵𝐸 =
24 2 и 𝐴𝐸 = 12. По теореме Пифагора найдем
𝐷𝐹 = 2. Получаем 𝐸𝐷 = 𝐸𝐹 + 𝐹𝐷 = 12. В
треугольнике 𝐵𝐸𝐷 по теореме Пифагора найдем
𝐵𝐷 = 36
II вариант.
Рассчитайте другой вариант трапеции
Ответ.
36; 8 19 .
4. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25.
Найдите высоту трапеции
I вариант.
Пусть центр окружности расположен внутри
трапеции. Проведем высоту трапеции через
центр окружности 𝑂. Т.к. перпендикуляр к хорде
делит ее пополам, то 𝑀𝐶 = 7, а 𝐾𝐷 = 20. По
теореме Пифагора найдем 𝑀𝑂 = 24 и 𝐾𝑂 = 15.
Следовательно 𝑀𝐾 = 39.
II вариант.
Рассчитайте вариант расположения центра
окружности вне трапеции
Ответ.
9; 39 .
5. Дана
трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 , основания которой 𝐵𝐶 = 44 и 𝐴𝐷 = 100 .
Боковые стороны 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 35. Окружность, касающаяся прямых
𝐴𝐷 и 𝐴𝐶, касается стороны 𝐶𝐷 в точке 𝐾. Найдите длину отрезка 𝐶𝐾.
I вариант.
Найдем высоту трапеции 𝐵𝑁 = 21. Из
треугольника 𝐴𝐵𝑁 найдем cos ∠𝐷 = cos ∠𝐴 = 0,8.
По теореме косинусов найдем 𝐴𝐶 = 75. Пусть
𝐶𝐾 = 𝑥, 𝐷𝐾 = 𝑦, а 𝐴𝐸 = 𝑧. Получаем систему 𝑥 +
𝑦 = 25, 𝑧 + 𝑦 = 100 и 𝑥 + 𝑧 = 75. Из системы
получаем 𝐶𝐾 = 5
II вариант.
Рассчитайте вариант расположения окружности
вне трапеции. Воспользуйтесь равенством
треугольников 𝐴𝐸𝑂 и 𝐴𝐹𝑂.
Тогда 𝑥 + 75 = 𝑦 + 100, а 𝑥 + 𝑦 = 35
Ответ.
5; 30 .
𝐴𝐵𝐶𝐷 основание 𝐵𝐶 = 10, а боковые стороны 𝐴𝐵 = 30 и
6. В𝐶𝐷трапеции
= 25, диагонали пересекаются в точке 𝑂. Высота трапеции равна
24. Найдите площадь треугольника 𝐴𝑂𝐵.
I вариант.
Найдем 𝐴𝐸 = 18 и 𝐹𝐷 = 7. Следовательно, 𝐴𝐷 = 35.
Треугольники 𝐴𝑂𝐷 и 𝐵𝑂𝐶 подобны с коэффициентом
35
подобия 𝑘 = 10 = 3,5. Следовательно, 𝑆𝐴𝑂𝐷 = 𝑘 2 ∙ 𝑆_𝐵𝑂𝐶.
Обозначим 𝑆𝐴𝑂𝐵 = 𝑆0 . Из подобия треугольников 𝐴𝑂𝐷 и
𝐵𝑂𝐶 легко доказать, что 𝑆𝐶𝑂𝐷 = 𝑆𝐴𝑂𝐵 = 𝑆0 . Пусть 𝑆𝐵𝑂𝐶 = 𝑆1 ,
а 𝑆𝐴𝑂𝐷 = 𝑆2 . Площади 𝑆0 , 𝑆1 и 𝑆2 удовлетворяют
отношению 𝑆02 = 𝑆1 𝑆2 или 𝑆0 = 𝑘𝑆1 . Найдем площадь
трапеции 𝑆 = 540. Составим уравнение 2𝑆0 + 𝑆1 + 𝑆2 =
540. Учитывая предыдущие соотношения, найдем 𝑆1 =
80
280
,
𝑆
=
0
3
3
II вариант.
Рассчитайте другой вариант трапеции
Ответ.
280 2520
;
.
3
31
1. Найдите
длину отрезка общей касательной к двум окружностям,
заключенного между точками касания, если радиусы окружностей
равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.
I вариант.
Радиусы 𝑂1 𝐴 и 𝑂2 𝐵 перпендикулярны
касательной 𝐴𝐵. Проведем 𝐴𝐶 параллельно
𝑂1 𝑂2 . Очевидно, что 𝐴𝐶 = 34, а 𝐵𝐶 = 16. По
теореме Пифагора найдем 𝐴𝐵 = 30.
II вариант.
Другой вариант общей касательной рассчитайте
самостоятельно.
Ответ.
16; 30 .
2. Расстояние
между центрами двух окружностей равно 20, длина
радиуса одной из них равна 10. Окружности пересекаются в точках
𝐴 и 𝐵, причем 𝐴𝐵 = 12. Найдите длину радиуса второй окружности.
I вариант.
Пусть 𝐴𝐶 = 10. Из треугольника 𝐴𝑂1 𝐶 найдем
𝑂1 𝐶 = 8, тогда 𝑂2 𝐶 = 12. По теореме Пифагора
найдем 𝐴𝑂2 = 6 5.
II вариант.
Другой вариант расположения окружностей
рассчитайте самостоятельно
Ответ.
6 5; 2 205 .
3. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵 = 3 + 1, ∠𝐴𝐵𝐶 = 30°, ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°. Найдите
длину радиуса окружности с центром в точке 𝐴 касающейся
окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶.
I вариант.
Найдем 𝐴𝐶 =
𝑆
𝑝
3+1
2
и 𝐵𝐶 =
3+3
.
2
По формуле 𝑟 =
1
найдем радиус вписанной окружности 𝑟 = 2.
Обозначим искомый радиус 𝑅. В треугольнике
1
3
𝐴𝑂𝑀 𝑂𝐴 = 𝑅 + 𝑟, 𝑂𝑀 = 2 и 𝐴𝑀 = 2 . Запишем
теорему Пифагора для этого треугольника
𝑅+
1 2
2
3
1
= 4 + 4. Откуда 𝑅 = 0,5.
II вариант.
Другой вариант расположения окружностей
рассчитайте самостоятельно
Ответ.
0,5; 1,5 .
4. В
треугольнике 𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐵 = 8 , а 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 = 5 . Вершина 𝐶 служит
центром окружности радиуса 2. Найдите длину радиуса
окружности, касающейся данной окружности и проходящей через
концы стороны 𝐴𝐵.
I вариант.
Рассмотрим вариант внутреннего касания
окружностей. Найдем по теореме Пифагора
𝐶𝑀 = 3. По теореме о пересекающихся хордах
𝑀𝐸 ∙ 𝑀𝐷 = 𝐴𝑀 ∙ 𝑀𝐵 или 2𝑅 − 5 ∙ 5 = 4 ∙ 4.
Получаем 𝑅 = 4,1.
II вариант.
Пусть окружности касаются внешне. Радиус
можно найти из треугольника 𝐸𝑀𝐵.
Ответ.
8,5; 4,1 .
круга, площадь которого равна 𝜋, описана равнобедренная
1. Около
трапеция, площадь которой равна 5. Найдите длину большего
основания трапеции.
2. В
Ответ.
4
равнобедренной трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 длины оснований 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶
равны соответственно 4 и 3. Найдите расстояние от точки 𝐴 до
прямой 𝐷𝐵, если длина стороны 𝐴𝐵 = 2.
Ответ.
0,5 15
3. Длина радиуса2 окружности 𝑅 = 6. На окружности взяты точки 𝐴 и 𝐵,
причем 𝐴𝐵 = 𝑅. Точка 𝐶 принадлежит диаметру 𝐴𝐷, причем 𝐴𝐶 =
3
Ответ.
1,5𝑅. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶.
12 2
4. Отношение длин катетов в прямоугольном треугольнике равно 2: 1.
Найдите отношение площади треугольника к площади описанного
круга.
Ответ.
4
5𝜋
высоты равнобедренного треугольника равна
5 .
5. Длина
Окружность, центр которой лежит на основании, касается боковых
сторон. Найдите площадь треугольника, если длина радиуса
окружности равна 1.
Ответ.
2,5
6. Из одной точки окружности проведены две хорды с длинами 4 и 6.
найдите длину радиуса окружности, если расстояние между
Ответ.
серединами хорд равно 7.
2 7
3
7. В
прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 на гипотенузе 𝐴𝐵 выбрана
точка 𝐾 так, что 𝐵𝐾 = 2𝐴𝐾. Найдите площадь этого треугольника,
если 𝐴𝐶 = 6, а 𝐵𝐶 = 2𝐶𝐾.
Ответ.
72
5
8. Из одной
точки к окружности проведены две касательные. Длина
4 7
каждой касательной равна
. Расстояние между точками касания
3
равно 2 7 .
окружностью.
Найдите
площадь
круга,
ограниченного
этой
Ответ.
16𝜋
9. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 3 2, sin ∠𝐴𝐵𝐶 = . Найдите 𝐴𝐶.
1
3
Ответ.
2;
66
10. В
треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 15, 𝐵𝐶 = 8, 𝐴𝐶 = 9 . Точка 𝐷 лежит на
прямой 𝐵𝐶 так, что 𝐵𝐷: 𝐷𝐶 = 3: 8 . Окружности, вписанные в
треугольники 𝐴𝐷𝐶 и 𝐴𝐷𝐵, касаются стороны 𝐴𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹.
Найдите длину отрезка 𝐸𝐹.
Ответ.
7;
53
11
окружности равна 10𝜋, 𝐴𝐶 – диаметр этой окружности. Точка
11. Длина
𝐵 лежит на окружности, причем площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶
равна 15. Найдите величину угла ∠𝐶𝐴𝐵.
Ответ.
arctg 3; arctg 0,3
12. Окружности с центрами в точках 𝑂1 и 𝑂2 пересекаются в точках 𝐴 и
𝐵. Известно, что ∠𝐴𝑂1 𝐵 = 90°, ∠𝐴𝑂2 𝐵 = 60°, 𝑂1 𝑂2 = 3 + 1. Найдите
длины радиусов окружностей.
Ответ.
2; 2 или
2 2+ 3 ; 2 2+ 3
13. В
трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 боковые стороны 𝐴𝐵 = 27 и 𝐶𝐷 = 28. Верхнее
2
основание 𝐵𝐶 = 5. Известно, что cos ∠𝐵𝐶𝐷 = − . Найдите 𝐴𝐶.
7
Ответ.
28; 2 181
Длины оснований трапеции равны 4 и 6. Прямая, параллельная
14. основаниям делит трапецию на две трапеции, площади которых
относятся как 2: 3 . Найдите длину отрезка этой прямой,
заключенного внутри трапеции.
Ответ.
2 6; 2 7
Через середину стороны 𝐴𝐵 квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена прямая,
15. пересекающая прямые 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑀 и 𝑇 соответственно.
Прямая 𝑀𝑇 образует с прямой 𝐴𝐵 угол 𝛼, причем 𝑡𝑔 𝛼 = 3. Найдите
площадь треугольника 𝐵𝑀𝑇, если 𝐴𝐵 = 4.
Ответ.
2; 10
Площадь трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 135, одно основание вдвое больше
16. другого. Диагональ трапеции пересекаются в точке 𝑂 . Отрезки,
соединяющие середину основания 𝐴𝐷 с вершинами 𝐵 и 𝐶 ,
пересекаются с диагоналями трапеции в точках 𝑀 и 𝑁. Найдите
площадь треугольника 𝑀𝑂𝑁.
Ответ.
3,75; 2,4
Диагонали 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐸 .
17. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника 𝐴𝐸𝐷 равна
9, а точка 𝐸 делит одну из диагоналей в отношении 1: 3.
Ответ.
16; 48; 144
конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса,
1. Сечением
является треугольник с углом 120° и противолежащей стороной,
равной 12 . Найдите градусную меру угла между плоскостями
основания и сечения. если высота конуса равна 3.
2. Сечение,
проходящее через вершину конуса, пересекает
окружность его основания в точках А и В и наклонено к плоскости
основания под углом 30°. Объем конуса равен 16𝜋, а расстояние от
центра основания конуса до плоскости сечения равно 1,5 3 .
Найдите длину образующей конуса.
3. Объем конуса равен 3 𝜋, а радиус его основания равен 4. Сечение,
проходящее через вершину конуса М, пересекает окружность его
основания в точках А и В . Расстояние от центра основания конуса
до плоскости сечения равно 3 . Найдите градусную меру угла
наклона плоскости сечения МАВ к плоскости основания конуса.
32
проходящая через две взаимно перпендикулярные
4. Плоскость,
образующие конуса, наклонена к плоскости его основания под
углом 45°. Найдите градусную меру угла между образующей конуса
и его высотой.
5. Секущая
плоскость проходит через вершину конуса. Сечение
конуса – треугольник, бóльший угол которого равен 120°. Найдите
градусную меру угла между плоскостями основания и сечения, если
высота конуса в 4 раза меньше его образующей.
6. Объем
конуса равен 13𝜋 , а радиус его основания равен 13 .
Сечение, проходящее через вершину конуса 𝑀 , пересекает
окружность его основания в точках 𝐴 и 𝐵. Расстояние от центра
основания конуса до плоскости сечения равно 1,5 2 . Найдите
градусную меру угла наклона плоскости сечения 𝑀𝐴𝐵 к плоскости
основания конуса.
7. Высота конуса равна 4 . Плоскость сечения, проходящая через
вершину конуса, наклонена к плоскости основания под углом 30°.
Сечение конуса – треугольник, площадь которого равна 64 .
Найдите градусную меру бóльшего угла между сторонами сечения.
отрезка 𝐴𝐵 лежат на окружностях оснований цилиндра.
1. Концы
Высота цилиндра 12 3, радиус основания равен 10, а угол между
прямой 𝐴𝐵 и плоскостью основания цилиндра равен 60°. Найдите
расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью,
проходящей через точки и 𝐴, и 𝐵.
2. Через точки 𝐾 и 𝑃, лежащие на окружностях оснований цилиндра,
проведена плоскость, параллельная его оси. Высота цилиндра
равна 16, угол между прямой 𝐾𝑃 и плоскостью основания равен
45°, расстояние между осью цилиндра и плоскостью, проходящей
через точки 𝐾 и 𝑃, равно 6. Найдите радиус основания цилиндра.
3. Концы
отрезка 𝐾𝑃 лежат на окружностях оснований цилиндра.
Высота цилиндра равная 16, радиус основания равен 10, а угол
между прямой КР и плоскостью основания цилиндра равен 45°.
Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей
плоскостью, проходящей через точки 𝐾 и 𝑃.
пересекает окружности оснований цилиндра в точках 𝐵 и 𝐷
4. Прямая
и наклонена к плоскости основания под углом 30° . Плоскость,
содержащая прямую 𝐵𝐷, параллельна оси цилиндра и удалена от
этой оси на расстояние 3. Найдите высоту цилиндра, если радиус
его основания равен 6.
5. Через точки 𝐴 и 𝐵. лежащие на окружностях оснований цилиндра,
проведена плоскость. параллельная его оси. Высота цилиндра
равна 12 3 , угол между прямой 𝐴𝐵 и плоскостью основания
цилиндра равен 60° , расстояние между осью цилиндра и
плоскостью, проходящей через точки 𝐴 и 𝐵 , равно 8. Найдите
радиус окружности основания цилиндра.
6. Концы
отрезка 𝐴𝐶 лежат на окружностях оснований цилиндра.
Высота цилиндра равна 6 3, радиус основания 5, угол между
прямой АС и плоскостью основания равен 60°. Найдите расстояние
между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей
через точки 𝐴 и 𝐶.
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся
в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.
Доказательство.
Докажем,
что
медианы AA1 и CC1 в точке
пересечения M делятся в отношении
2:1.
Пусть D – середина отрезка BA1. Тогда
C1D – средняя линия треугольника
ABA1. Следовательно, прямые AA1 и
C1D параллельны.
Так как CA1:A1D = 2:1, то по теореме о пропорциональных отрезках
получим: CM:MC1 = 2:1.
Аналогично доказывается, что медианы BB1 и CC1 в точке пересечения
делятся в отношении 2:1. Значит, все медианы пересекаются в одной точке
и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.
Упражнение 1
Докажите, что если для сторон в треугольнике ABC выполняется
неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC,
т.е. угол ACM меньше угла BCM.
Доказательство.
Продолжим
медиану CM и отложим отрезок
MD, равный CM. Треугольники
AMD и BMC равны по двум
сторонам и углу между ними.
Следовательно, AD = BC. Так как
против
меньшей
стороны
треугольника лежит меньший угол,
то угол ACD меньше угла ADC.
Значит, угол ACM меньше угла
BCM.
Упражнение 2
Докажите, что медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы
сторон AC и BC.
Доказательство.
Продолжим
медиану CM и отложим отрезок
MD, равный CM. Треугольники
AMD и BMC равны по двум
сторонам и углу между ними.
Следовательно, AD = BC. В силу
неравенства треугольника, сторона
CD меньше суммы сторон AC и AD.
Значит, медиана CM треугольника
ABC меньше полусуммы сторон AC
и BC.
Упражнение 3
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите
медиану этого треугольника, проведенную из вершины прямого
угла.
Ответ. 2,5.
Упражнение 4
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Доказательство следует из того, что центром окружности,
описанной около прямоугольного треугольника, является середина
гипотенузы.
Упражнение 5
Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что
для медианы mc, проведенной из вершины C, имеет место формула
1
mc 
2a 2  2b2  c 2 .
2
Доказательство. По теореме косинусов,
примененной к треугольникам ACD и
BCD, имеем:
2
c
c
2
2
a   mc  2 mc cos BDC.
4
2
2
c
c
2
2
b   mc  2 mc cos ADC ,
4
2
2
c
Складывая эти равенства, получим равенство a 2  b 2 
 2mc2 ,
2
из которого непосредственно следует искомая формула.
Упражнение 6
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов всех его сторон.
Доказательство. Отрезок CO является медианой треугольника BCD.
Из предыдущей задачи следует равенство c 2  d 2  2a 2  2b2 .
Что и требовалось доказать.
Упражнение 7
Стороны треугольника равны 11, 12 и 13. Найдите медиану,
проведенную к большей стороне.
Ответ. 9,5.
Упражнение 8
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4.
Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная
к боковой стороне, равна 3.
Ответ.
10.
Упражнение 9
Докажите, что медиана треугольника делит его площадь пополам,
а три медианы треугольника делят его на шесть треугольников
одинаковой площади.
Упражнение 10
Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь
треугольника, стороны которого равны медианам треугольника
ABC.
Решение. На продолжении отрезка
MC1 отложим равный ему отрезок C1D.
Стороны треугольника ADM равны
две трети медиан, а его площадь равна
одной третьей. Следовательно,
площадь треугольника, стороны
которого равны медианам
треугольника ABC, равна три
четвертых.
Ответ. 0,75.
Биссектрисы треугольника
Теорема.
Биссектриса
противоположную сторону
прилежащим сторонам.
угла
треугольника
делит
на части, пропорциональные
Доказательство. Пусть CD – биссектриса
треугольника ABC. Докажем, что AD :
DB = AC : BC. Проведем прямую BE,
параллельную CD. В треугольнике BEC
угол B равен углу E. Следовательно, BC
= EC. По теореме о пропорциональных
отрезках, AD : DB = AC : CE = AC : BC.
Упражнение 1
В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, угол A равен
30о. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM этого
треугольника.
Ответ. 15о.
Упражнение 2
Угол C треугольника ABC равен 60о. Найдите угол между
биссектрисами AA1 и BB1 этого треугольника.
Ответ. 120о.
Упражнение 3
Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для
биссектрисы lc, проведенной из вершины C, имеет место формула
lc  ab  c ' c '',
где c’, c’’ – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB
Доказательство. По теореме косинусов,
примененной к треугольникам ACD и
BCD, имеем:
b2  c '2  lc2  2c ' lc cos ADC ,
a 2  c ''2  lc2  2c '' lc cos BDC.
Умножим первое равенство на c’’, второе на c’ и сложим
полученные равенства. Делая тождественные преобразования,
получим равенство
.
Упражнение 4
В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5. Найдите биссектрису
CD.
Ответ:
12 2
.
7
Упражнение 5
В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 5, Найдите биссектрису
AD.
Ответ: 6.
Упражнение 6
В треугольнике ABC AC = 12, BC = 15, AB = 18, Найдите
биссектрису СD.
Ответ: 10.
Упражнение 7
В треугольнике ABC AC = BC, AD – биссектриса, AB = CD = 1.
Найдите AC.
Ответ:
1 5
.
2
Упражнение 8
Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его площадь
на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. У треугольников AC1C и BC1C высота,
проведенная из вершины C, общая, а стороны AC1 и BC1
относятся как стороны AC и BC. Следовательно, площади
треугольников AC1C и BC1C относятся как стороны AC и BC.
Упражнение 9
В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5, CD – биссектриса.
Найдите площадь треугольника ACD.
Ответ:
4
2 .
7
Упражнение 10
Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что
биссектриса CС1 делится точкой пересечения биссектрис в
отношении (a+b):c, считая от вершины.
Доказательство. Проведем прямую C1C’, параллельную AA1.
Тогда A1C’: C’B = AC1: C1B = b : a. Пусть A1C’ = bx, C’B = ax. Так
как CA1: A1B = b : c, то CA1: A1C = b(a+b)x/c. Следовательно, CO :
OC1 = (a + b)/c.
Высоты треугольника
Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр,
опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее
геометрическое проекций катетов на гипотенузу.
(Средним геометрическим двух положительных чисел a
и b называется положительное число c, квадрат которого
равен ab, т.е. c = a  b ).
Доказательство. Треугольники ADC и CDB подобны.
AD CD
Следовательно, CD  BD , или CD2 = ADBD, т.е. CD
является средним геометрическим AD и BD.
1
В треугольнике ABC AB = 5, BC = 4, AC = 3.
Найдите высоту CH.
Упражнение
Ответ. 2,4.
2
В треугольнике ABC AB = 6, AC = BC = 5.
Найдите высоту AH.
Упражнение
Ответ. 4,8.
3
В треугольнике ABC AB = 6, AC = 5, BC = 4.
Найдите высоту CH.
Упражнение
Ответ. 5 7 .
4
4
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что треугольники A1AC и B1BC
подобны.
Упражнение
Доказательство. Треугольники A1AC и B1BC
прямоугольные и имеют общий угол C.
Следовательно, они подобны по двум углам.
5
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что углы A1AC и B1BC равны.
Упражнение
Доказательство. Окружность с
диаметром AB пройдет через точки
A1 и B1. Вписанные углы A1AC и
B1BC опираются на одну дугу AB1.
Следовательно, они равны.
Для доказательства равенства углов
можно было бы воспользоваться
тем, что стороны данных углов
перпендикулярны.
6
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Упражнение
Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет
через точки A1 и B1. Вписанные углы AA1B1 и ABB1
опираются на одну дугу AB1. Следовательно, они равны.
7
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что углы BAC и B1A1C равны.
Упражнение
Доказательство. Угол BAC равен 90о минус угол ABB1.
Угол B1A1C равен 90о минус угол AA1B1. Так как углы
AA1B1 и ABB1 равны (см. предыдущую задачу), то равны и
углы BAC и B1A1C.
8
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
BB1. Докажите, что треугольник ABC подобен
треугольнику A1B1C.
Упражнение
Доказательство. Углы BAC и B1A1C равны (см.
предыдущую задачу). Угол C треугольников ABC и A1B1C
общий. Следовательно, данные треугольники подобны по
двум углам.
Упражнение
9
В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Докажите, что угол A1C1C равен углу B1C1C, т.е.
биссектриса треугольника A1B1C1 лежит на высоте
треугольника ABC.
Доказательство. Имеют место равенства:
A1C1C  A1 AC  B1BC  B1C1C.
Упражнение
10
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты
AA1, BB1 и CC1. Его углы равны , , . Найдите углы
треугольника A1B1C1.
Ответ.   2,   2,   2.
Упражнение
11
Теорема. Для радиуса r окружности, вписанной в
треугольник, имеет место формула
1 1
1 1
   ,
r ha hb hc
где ha, hb, hc – высоты треугольника.
Доказательство. Пусть стороны треугольника ABC равны
a, b, c. Для площади S треугольника имеют место
равенства: 2S  a  ha  b  hb  c  hc ; 2S  (a  b  c)r ,
Из которых следует требуемая формула.
Упражнение
12
Докажите, что точки, симметричные точке пересечения
высот треугольника относительно его сторон, лежат на
окружности, описанной около этого треугольника.
Доказательство. Для точки C’,
симметричной точке H
пересечения высот треугольника
ABC, имеем
AC ' B  AHB  A1HB1  180  C.
Следовательно, точка C’ принадлежит описанной
окружности. Аналогично, описанной окружности
принадлежат остальные две симметричные точки.
Окружность 1
Теорема 1. Угол с вершиной внутри круга измеряется
полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и
вертикальный с ним угол.
Доказательство. Рассмотрим угол АСВ с вершиной С внутри круга
и точками А и В на окружности. Пусть А1, В1 – точки пересечения с
окружностью сторон вертикального к нему угла. Проведем хорду
BB1. Угол АСВ является внешним углом треугольника B1СВ.
Следовательно, ACB = AB1B + B1BA1. Углы,стоящие вправой
части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что
и завершает доказательство.
Окружность 2
Теорема 2. Угол между касательной к окружности и
хордой, проведенной через точку касания, измеряется
половиной дуги окружности, заключенной внутри этого
Доказательство. Пусть угол ACB образован
угла.
касательной AC и хордой BC окружности.
Если этот угол – прямой, то BC – диаметр
окружности и, следовательно, угол ACB
измеряется половиной дуги полуокружности,
заключенной внутри этого угла. Если угол
ACB – острый, то проведем диаметр CD.
Имеем ACB = ACD –  BCD. Угол ACD
измеряется половиной дуги CBD окружности.
Угол BCD измеряется половиной дуги BD
окружности. Следовательно, их разность
(угол ACB) измеряется половиной дуги CB
окружности, заключенной внутри этого угла.
Самостоятельно рассмотрите случай тупого угла.
Окружность 3
Теорема 3. Угол с вершиной вне круга, стороны которого
пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг
окружности, заключенных внутри этого угла.
Доказательство. Рассмотрим угол ACB с вершиной C вне
окружности и точками A и B на окружности. Пусть А1, В1 – точки
пересечения с окружностью сторон AC и BC. Проведем хорду AB1.
Угол АВ1B является внешним углом треугольника AB1С.
Следовательно,  ACB =  AB1B – B1AA1. Углы, стоящие в правой
части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что
и завершает доказательство.
Окружность 4
Теорема 4. Произведение отрезков любой хорды,
проведенной через внутреннюю точку круга,
равно
произведению
отрезков
диаметра,
проведенного через ту же точку.
Доказательство. Пусть дан круг с
центром в точке O, хорда AB и диаметр
CD пересекаются в точке E. Докажем,
что AB  AE  CE  DE. Треугольники
ACE и DBE подобны. Следовательно,
AE CE

, значит,
DE BE
AB  AE  CE  DE.
Окружность 5
Теорема. Произведение отрезков AE и BE секущей,
проведенной к окружности из внешней точки E, равно
квадрату отрезка CE касательной.
Доказательство. Треугольники EAC и ECB подобны.
Следовательно, AE:CE = CE:BE, значит, AE·BE = CE2.
Упражнение 1
Вписанные углы ACB и CAD равны
соответственно 36о и 20о. Найдите угол AQB,
образованный пересекающимися хордами AC и
BD.
Ответ: 56о.
Упражнение 2
Угол AQB, образованный пересекающимися
хордами AC и BD окружности, равен 54о.
Вписанный угол ACB равен 34о. Найдите
вписанный угол CAD.
Ответ: 20о.
Упражнение 3
Дуги AB и CD окружности составляют
соответственно 72о и 38о. Найдите угол AQB,
образованный пересекающимися хордами AC и
BD.
Ответ: 55о.
Упражнение 4
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и
DAE опираются на дуги окружности, градусные
величины которых равны соответственно 118о и
38о.
Ответ: 40о.
Упражнение 5
Угол ACB равен 42о. Градусная величина дуги AB
окружности равна 124о. Найдите угол DAE.
Ответ: 40о.
Упражнение 6
Угол ACB равен 42о. Градусная величина дуги DE
окружности равна 38о. Найдите угол ADB.
Ответ: 61о.
Упражнение 7
Найдите угол ACB, если вписанный угол ADB
равен 62о, а угол AQB равен 80о.
Ответ: 44о.
Упражнение 8
Хорда AB стягивает дугу окружности в 92о.
Найдите угол ABC между этой хордой и
касательной к окружности, проведенной через
точку B.
Ответ: 46о.
Упражнение 9
Угол между хордой AB и касательной BC к
окружности равен 32о. Найдите градусную
величину дуги, стягиваемую хордой AB.
Ответ: 64о.
Упражнение 10
Через концы A, B дуги окружности в 62о
проведены касательные AC и BC. Найдите угол
ACB.
Ответ: 118о.
Упражнение 11
Касательные CA и CB к окружности образуют
угол ACB, равный 122о. Найдите градусную
величину дуги AB, стягиваемую точками касания.
Ответ: 58о.
Упражнение 12
Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44о.
Найдите углы, которые образует эта хорда с
касательными к окружности, проведенными
через ее концы.
Ответ: 22о.
Упражнение 13
Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB
касаются окружности, а дуга ADB окружности,
заключенная внутри этого угла, равна 132о.
Ответ: 48о.
Упражнение 14
Угол ACB равен 52о. Его стороны CA и CB
касаются окружности. Найдите градусную
величину дуги ADB окружности, заключенной
внутри этого угла.
Ответ: 128о.
Упражнение 15
Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB
касаются окружности, а дуга ADB окружности,
заключенная внутри этого угла, равна 232о.
Ответ: 52о.
Упражнение 16
Угол ACB равен 48о. Его стороны CA и CB
касаются окружности. Найдите градусную
величину дуги ADB окружности, заключенной
внутри этого угла.
Ответ: 228о.
Упражнение 17
В угол АВС вписана окружность. Точки касания
делят окружность на дуги, градусные величины
которых относятся как 5:4. Найдите величину
угла АВС.
Ответ: 20о.
Упражнение 18
Окружность разделена точками А, В, С на дуги,
градусные величины которых относятся как 11 :
3 : 4. Через точки А, В, С проведены касательные
до их взаимного пересечения. Найдите углы
образовавшегося треугольника.
Ответ: 80о, 60о, 40о.
Упражнение 19
Найдите величину угла ACB.
Ответ: 45о.
Упражнение 20
Найдите величину угла ACB.
Ответ: 45о.
Упражнение 21
Найдите геометрическое место точек, из которых
данный отрезок АВ виден под данным углом, т. е.
таких точек С, для которых угол АСВ равен
данному углу.
Ответ: Дуги двух окружностей одинакового радиуса,
опирающихся на отрезок AB, без точек A и B.
Упражнение 22
Найдите геометрическое место вершин C
прямоугольных треугольников АВС с данной
гипотенузой АB.
Ответ: Окружность с диаметром AB, за исключением
точек A и B.
Упражнение 23
Для данных точек А и В найдите геометрическое
место точек С, для которых угол АСВ: а) острый;
б) тупой.
Ответ: а) ГМТ, лежащих вне
окружности с диаметром AB и
не принадлежащих прямой AB;
б) ГМТ, лежащих внутри
окружности с диаметром AB и
не принадлежащих отрезку AB.
Упражнение 24
На прямой c отметьте точку C, из которой
отрезок AB виден под наибольшим углом.
Ответ:
Упражнение 25
На прямой c отметьте точку C, из которой
отрезок AB виден под наибольшим углом.
Ответ:
Упражнение 26
Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в
точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE
подобны.
Доказательство: Угол A треугольника
ABE равен углу D треугольника CDE,
как вписанные углы, опирающиеся
на одну дугу окружности.
Аналогично, угол B равен углу C.
Следовательно, треугольники ABE и CDE подобны по
первому признаку.
Упражнение 27
На рисунке AE = 3, BE = 6, CE = 2. Найдите DE.
Ответ: 4.
Упражнение 28
На рисунке AB = 8, BE = 6, DE = 4. Найдите CD.
1
Ответ: 5 .
3
Упражнение 29
На рисунке CE = 2, DE = 5, AE = 4. Найдите BE.
Ответ: 10.
Упражнение 30
На рисунке CE = 4, CD = 10, AE = 6. Найдите AB.
Ответ: 15.
Упражнение 31
На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF,
вписанного в окружность. DL пересекает окружность в
точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и
F треугольника. Найдите подобные треугольники.
Ответ: DEK и DLF, DEK и ELK, DLF и ELK,
DFK и DLE, DFK и FLK, DLE и FLK.
Упражнение 32
В
окружность
вписан
остроугольный
треугольник ABC, AH – его высота, AD – диаметр
окружности, который пересекает сторону BC в
точке M. Точка D соединена с вершинами B и C
треугольника. Найдите подобные треугольники.
Ответ: ABH и ADC, ACH и ADB, ABM и CDM,
BMD и AMC.
Упражнение 33
Через внешнюю точку E окружности проведены две
прямые, пересекающая окружность соответственно в
точках A, C и B, D. Докажите, что треугольники ADE и
BCE подобны.
Доказательство: Угол D
треугольника ADE равен углу
C треугольника BCE, как
вписанные углы, опирающиеся
на одну дугу окружности. Угол
E этих треугольников общий.
Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по
первому признаку.
Упражнение 34
Через внешнюю точку E окружности проведены две
прямые, пересекающая окружность соответственно в
точках A, C и B, D. Докажите, что AE·CE = BE·DE.
Доказательство: Треугольники
ADE и BCE подобны. Значит,
AE : DE = BE : CE.
Следовательно, AE·CE = BE·DE.
Упражнение 35
На рисунке AE = 9, BE = 8, CE = 24. Найдите DE.
Ответ: 27.
Упражнение 36
Через внешнюю точку E окружности проведены
прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и
касательная EС (C – точка касания). Докажите, что
треугольники EAC и ECB подобны.
Доказательство. У треугольников
EAC и ECB угол E общий. Углы
ACE и CBE равны, как углы,
опирающиеся на одну хорду.
Следовательно, треугольники EAC
и ECB подобны.
Упражнение 37
На рисунке AE = 6, BE = 24. Найдите CE.
Ответ: 12.
Упражнение 38
Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B.
Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a,
причем r < R и r + R < a. Найдите AB.
Решение. Пусть O1 – центр окружности радиуса R, O2 – центр
окружности радиуса r. Возможны два случая: AB – внешняя
касательная, AB – внутренняя касательная.
В первом случае (рис. 1) через точку O2
проведем прямую, параллельную AB, и
обозначим P ее точку пересечения с прямой
O1A. Тогда AB = O1O2 2  O1 P 2  a 2  ( R  r ) 2 .
Во втором случае (рис. 2) через точку O2
проведем прямую, параллельную AB, и
обозначим P ее точку пересечения с прямой
O1A. Тогда AB = O1O2 2  O1 P 2  a 2  ( R  r ) 2 .
2
2
2
2
Ответ. a  ( R  r ) или a  ( R  r ) .
Упражнение 39
Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса
25. Найдите высоту трапеции.
Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и
радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены
по одну сторону от центра O, основания AB и CD расположены по разные
стороны от центра O.
В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую,
перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки
пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ
трапеции равна OQ – OP. Имеем OQ = 252  7 2  24, OP =
252  202  15. Следовательно, PQ = 9.
Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую,
перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки
пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ
трапеции равна OQ + OP. Имеем OQ = 252  7 2  24, OP =
252  202  15. Следовательно, PQ = 39.
Ответ. 9 или 39.
Упражнение 40
Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B.
Известно, что угол AO1B равен 90о, угол AO2B равен 60о, O1O2 = a.
Найдите радиусы окружностей.
Решение. Возможны два случая: точки O1, O2 расположены по разные стороны
от прямой AB, точки O1, O2 расположены по одну сторону от прямой AB.
Обозначим r радиус окружности с центром O1. Тогда радиус окружности с
центром O2 будет равен r 2 . Обозначим P точку пересечения прямых O1O2 и
AB. Тогда O1P = r 2 / 2, O2P = r 6 / 3 .
В первом случае (рис. 1) r 6 / 3  r 2 / 2  a
a( 6  2)
a( 12  2)
и, следовательно, r 
,R
.
2
2
Во втором случае (рис. 2) r 6 / 3  r 2 / 2  a
a( 6  2)
a( 12  2)
и, следовательно, r 
,R
.
2
2
a( 6  2)
, R  a( 3  1). или
2
a( 6  2)
r
, R  a( 3  1).
2
Ответ. r 
Упражнение 41
Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол
AOC равен 60о. В треугольник ABC вписана окружность с
центром M. Найдите угол AMC.
Решение. Возможны два случая расположения вершины B
треугольника ABC.
В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C
треугольника ABC равна 150о. Так как AM и
CM – биссектрисы этих углов, то сумма
углов CAM и ACM равна 75о и,
следовательно, угол AMC равен 105о.
Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C
треугольника ABC равна 30о. Так как AM и
CM – биссектрисы этих углов, то сумма
углов CAM и ACM равна 15о и,
следовательно, угол AMC равен 165о.
Ответ. 105о или 165о.
Упражнение 42
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно,
что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC.
6
4
1
1

 24. Откуда sin C  , sin A  .
sin C sin A
4
6
Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC.
Решение. По теореме синусов
Опустим перпендикуляр BH на прямую AC. Тогда BH = ABsinA = 1. По теореме
Пифагора AH = 62  1  35, CH = 42  1  15. В первом случае (рис. 1)
AC = 35  15. Во втором случае (рис. 2) AC =
Ответ. 35  15 или
35  15.
35  15.
Упражнение 43
Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в
точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB.
Решение. Пусть AA1, BB1 – высоты треугольника ABC. Опишем
окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через
точки A1 и B1. Возможны два случая расположения точки H.
В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA1, как вписанные
углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C
равен 45о. Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135о.
Ответ. 45о или 135о.
Упражнение 44
В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1, O – центр
вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B1C1 = 12. Найдите
радиус R окружности, описанной около треугольника BOC.
Решение. Возможны два случая расположения отрезка B1C1.
На BC, как на диаметре, опишем окружность с центром P.
Треугольник B1C1P равносторонний. Следовательно, сумма
углов BPB1 и CPC1 равна 120о. В первом случае (рис. 1)
треугольники
BPC1
и
CPB1
равнобедренные.
Следовательно, сумма углов B и C равна 120о. Так как BO и
CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120о. По теореме
синусов находим R = 8 3 .
Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60о.
Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150о.
По теореме синусов находим R = 24.
Ответ. 8 3 или 24.
 Презентация
составлена на основе материала,
разработанного
преподавателем
математики
подготовительных курсов Учебного центра «Азъ»
Трубецким Алексеем Петровичем
 Использовались
задания,
составленные
Смирновым Владимиром Алексеевичем, доктором
физико-математических
наук,
профессором,
заведующим кафедрой элементарной математики
Московского педагогического государственного
университета