Методы численного интегрирования Численные методы в оптике кафедра

Методы численного
интегрирования
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Численное интегрирование
Определенный интеграл от некоторой функции f x  :
b
I   f ( x )  dx
y
f(x)
a
S
x
Численное интегрирование:
a
b
N
I  c j  f (x j )
j 1


где c j – числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного
метода численного интегрирования
x j  a, b, j  1,, N – узлы интегрирования
3
Погрешность численного
интегрирования
Численное интегрирование применяется:


подынтегральная функция задана не аналитически, а таблицей значений
аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её
первообразная не выражается через аналитические функции
Погрешность численного интегрирования:
b
N
a
j 1
n   f ( x)  dx   c j  f ( x j )


уменьшение шага разбиения
повышения степени используемых интерполяционных многочленов
4
Метод прямоугольников
Левые
прямоугольники
Средние
прямоугольники
Правые
прямоугольники
x
x
x
x0
x1
xN
N
I   h  f ( x j 1 )
j 1
x0
xN
x1
N
I   f ( x j 0.5 )  h
j 1
x0
x1
xN
N
I   h  f (x j )
j 1
x j  0.5  x j  0.5h
Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки длиной h
Интеграл вычисляется как сумма вписанных в каждый частичный
отрезок прямоугольников


чем меньше длина отрезков h, тем точнее вычисленное значение интеграла
метод средних прямоугольников наиболее точный
5
Метод трапеций
b

x
x0
x1
a
N
f ( x)dx  
f x j   f x j 1 
2
j 1
h
xN
Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки
длиной h
Каждый отрезок функции [xj-1, xj] представляется в виде
трапеции:
f ( x) 

1
x  x j1  f ( x j )  x  x j  f ( x j1)
h

Интеграл вычисляется как сумма трапеций
6
Метод Симпсона
Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки
длиной h
Каждый отрезок функции аппроксимируется параболой
парабола проходит через три точки: узлы интегрирования x j 1, x j и
середину отрезка x j 0.5
2
f ( x)  2 x  x j 0.5 x  x j f ( x j 1 ) 2  x  x j 1 x  x j f ( x j 0.5 )  x  x j 1 x  x j 0.5 f ( x j )
h











Площадь параболы на отрезке [xj-1, xj]
xj

f ( x)dx 
x j 1
h
 f j1  4 f j0.5  f j 
6
Тогда интеграл функции на отрезке [a;b]:
b

a
N 1
N 0.5 
h
f ( x)dx   f1  f N  2   f j  4   f j 
6
j 1
j 1.5 
x
x0
x0.5
x1
xN
7
Метод Симпсона
Избавимся от дробных индексов, разобьем отрезок [a;b]
на N2 равных отрезков длиной h :
xj  a  h j
j  1,2, 2 N
h
ba
2N
Тогда формула Симпсона примет вид
b

a
f ( x)dx 
h
 f0  f 2 N  2 f 2  f 4    f 2 N  2   4 f1  f3  f5    f 2 N 1  
3
2 N 2
2 N 1 
h
  f0  f 2 N  2   f j  4   f j 
3 
j  2, 2
j 1, 2 

отрезок интегрирования всегда разбивается
на четное число интервалов
x
x0
x1
x2
x2N
8
Семейство методов
Ньютона-Котеса
Интегрируемая функция интерполируется на отрезке
[xj-1, xj] по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа
xj
n
ci f ( xi )
 f ( x)dx  
i 1
x j 1

где ci весовые коэффициенты



метод прямоугольников – многочлен Лагранжа 0й степени
метод трапеций – многочлен Лагранжа 1й степени
метод Симпсона – многочлен Лагранжа 2й степени
В общем виде формула Ньютона-Котеса:
b

a

nh
f ( x )dx 
Cn
N n
  cin f ( xi )
j 1i  0
Где N - количество частичных отрезков,
x j  x j 1
n - порядок метода
h
n
n
Cn   cin
i 0
xi  x j  i  h
Весовые коэффициенты метода
Ньютона-Котеса
c1n
c2n
c3n
c4n
n
Cn
c0n
n
0
1
1
i 0
1
2
1
1
2
6
1
4
1
3
8
1
3
3
1
4
90
7
32
12
32
7
5
288
19
75
50
50
75
Cn   cin
c5n
19
9
10
Метод Гаусса
Узлы интегрирования xi на отрезке [xj-1, xj] располагаются
не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы
правило было точным для полиномов наиболее высокой
степени
xj
n
ci f ( xi )
 f ( x)dx  
i 0
x j 1
 узлы xi являются корнями полинома Лежандра степени n
 веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра
b

a
a b N n
f ( x)dx 
cin f ( xi )

2 N j 1 i 0

N - количество частичных отрезков, n - порядок метода
11
Весовые коэффициенты
метода Гаусса


Приведенные в таблице данные
соответствуют отрезку [-1;1]
Для интегрирования на отрезке [xj-1, xj]
необходимо пересчитать значения узлов
для заданного отрезка:
1
2
3
4
xi  x j 1 
( xi 1;1  1)( x j 1  x j )
2
5
6
i
x i [-1;1]
ci
1
0
2
1
-0.5773503
1
2
0.5773503
1
1
-0.7745967
0.5555556
2
0
0.8888889
3
0.7745967
0.5555556
1
-0.8611363
0.3478548
2
-0.3399810
0.6521451
3
0.3399810
0.6521451
4
0.8611363
0.3478548
1
-0.9061798
0.4786287
2
-0.5384693
0.2369269
3
0
0.5688888
4
0.5384693
0.2369269
5
0.9061798
0.4786287
1
-0.9324700
0.1713245
2
-0.6612094
0.3607616
3
-0.2386142
0.4679140
4
0.2386142
0.4679140
5
0.6612094
0.3607616
6
0.9324700
0.1713245
12
Лабораторная работа №2
Вычислить определенный интеграл функции методами
Ньютона-Котеса (1-5 порядка) и Гаусса (1-6 порядка)
Вычислить функцию концентрации энергии (ФКЭ) по
заданному распределению интенсивности в функции
рассеяния точки (ФРТ).
Задание оценивается в баллах:



5 баллов - вычисление интеграла функции различными методами
+1 балл первому кто выполнит задание
3 балла - вычисление ФКЭ + 1 балл первому кто выполнит задание
+ 0.5 балла - выполнение работы в срок
Функция концентрации энергии
Функция концентрации энергии показывает, какая часть общей
интенсивности ФРТ укладывается в круге диаметром :
E d  
  h( x , y )d x d y
E
1
d
  h( x , y )d x d y

0.8
0.6
0.4
0.2
d
0
1
2
3
4
5
14
Узлы интегрирования
Разбиваем диапазон [a, b] на N узлов (N не меньше 100)
Внутри каждого интервала [xj-1, xj] разбиваем на нужное
число узлов n, в зависимости от порядка метода
Для формулы Гаусса значения узлов пересчитываются
для интервала [xj-1, xj]
xi  x j  i  h
x j  a  j  dx
h
x j  x j 1
xj-1
n
ba
dx 
N
xj
n узлов
а
N узлов
b