Тема : Определенный интеграл - приложения Преподаватель: Филипенко Николай Максимович доцент кафедры Высшей математики и математической физики ТПУ Приложения определенного интеграла Вычисление площадей Y y f 2 ( x) b y f1( x) b X a Y ( ) S ( f 2 ( x ) f1 ( x ))dx a 2 1 S 2 ( )d 2 1 2 1 X Вычисление площадей плоских фигур b S = y ( x) dx a d S = x( y ) dy c b S = [ y2 ( x) y1 ( x)] dx a d S = [ x2 ( y ) x1 ( y )] dy c 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 2, Строим фигуру. y = 2 x, y = 3. Для решения задачи воспользуемся формулой d S = [ x2 ( y ) x1 ( y )] dy. где ñ x1 ( y ) = 2/y, x2 ( y ) = y/2, Значение d = 3 определилось по построению Значение c = 2 получим, решая систему xy = 2, y = 2 x Искомая площадь y S = 2 2 3 y x , 2 y2 2, 2 y 2 4, y 2 y2 3 9 4 2 5 3 dy = 2 ln y |2 = 2(ln 3 ln 2) 2 ln . y 4 4 4 2 4 Рассмотрим вычисление площади фигуры, границы которой заданы параметрически x = x(t ) L: , y = y(t ) В таких случаях в интеграле для вычисления площади делается замена переменной t2 b Формула S = y ( x) dx a принимает вид S = y (t ) x(t ) dt t1 Таким образом , под знак интеграла подставляем выражение для y , ' находим дифференциал второй функции dx = x (t )dt , а также необходимо знать пределы изменения переменной t. 4. Найти площадь петли кривой x = t 2 1, y = t 3 t. Строим кривую по таблице значений. t x y t 2 3 6 1 0 0 x y 0 1 0 1 0 0 t x y 2 3 6 t2 При вычислении площади используем симметрию области Изменению x от 1 до 0 соответствует изменение параметра 1 1 t S = 2 y (t ) xt dt. t1 от 0 до 1 1 1 8 S=2 (t 3t ) (t 21) dt=2 (t 3t ) 2t dt=4 (t 4t 2 ) dt= 4 = . 5 3 15 0 0 1 0 Вычисление объемов тел ващения Вращение вокруг оси OX b b Vox = [ y2 2( x) y1 2( x)] dx Vox = y 2 ( x) dx a a x = x(t ) y = y(t ) t2 Vox = y 2 (t ) x(t ) dt t1 1. Найти объем тела вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = 2 x, y = 1, x = 0. Для нахождения объема воспользуемся формулой b Vox = [ y2 2( x) y1 2( x)] dx. a В нашем случае y2 ( x) = 1, y1 ( x) = 2 x . Находим пределы интегрирования из условия 2 x = 1, x = 1/4. Тогда 1/4 1/4 Vox = [1 (2 x ) ] dx = (1 4 x) dx = 0 2 2 0 ( x 2 x 2 ) |1/4 0 = . 8 Вращение вокруг оси OY d Voy = x 2 ( y ) dy c b Voy = 2 x y ( x) dx a d Voy = [ x2 2( y ) x1 2( y )] dy c 2. Найти объем тела вращения вокруг оси OY 2 y = x , фигуры, ограниченной линиями y = x. Для нахождения объема воспользуемся формулой d Voy = [ x2 2( y ) x1 2( y )] dy. c x2 2( y ) = y, x1 ( y ) = y, x1 2( y ) = y 2 , Пределы интегрирования находим из равенства x 2 = x x1 = 0, x2 = 1 y1 = c = 0, y2 = d = 1. 2 3 y y 1 1 2 1 Voy = ( y y ) dy = |0 = = . 3 2 3 6 0 2 1 4. Найти объем тела вращения вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, 0 x . При нахождении объема тела вращения по формуле d Voy = x 2 ( y ) dy c придется решать интеграл 2 Воспользуемся формулой V oy = 2 x y ( x) dx Voy = 2 x sin x dx = arcsin b a y dy, что не очень просто 0 x cos x |0 sin x |0 = cos( ) = (1) = . Интеграл решали по частям: u x, dv sin x dx du dx v cos x Приложения определенного интеграла Вычисление длин кривых b L : y f ( x), a x b l 1 f ' ( x) dx 2 a L : ( ), l ( ) ' ( ) d 2 2 x x(t ) L: , t1 t t2 y y (t ) t2 l t1 x' (t ) y' (t ) dt 2 2 x = 2 cos3 t , Найти длину части астроиды от значения t1 = 0 до t2 = /2. 3 y = 2 sin t Кривая задана параметрически, поэтому длину дуги вычисляем по формуле t2 L= xt2 yt2 dt. t 1 Причем параметр t должен меняться от меньшего значения к большему Предварительно находим xt = 6 cos2 t sin t , yt = 6 sin 2 t cost , xt2 yt2 = 36 cos 4 t sin 2 t 36 sin 4 t cos 2 t = 36 sin 2 t cos 2 (cos 2 t sin 2 t ) = = 36 sin 2 t cos 2 t = 9 sin 2 2t. xt2 yt2 = 9 sin 2 2t = 3 sin 2t . Так как cos t и sin t положительны в первой четверти, получим /2 L=3 sin 2t dt= 0 3 3 3 cos 2t |0/2 = cos cos0 = 11=3. 2 2 2 Вычисление длин кривых 4. Вычислить длину дуги кривой: y ln sin x , / 3 x 2 / 3 b l 1 y ' ( x) dx 2 a 2 / 3 l 1 y ' ( x) ( cos x) ctg x sin x 2 / 3 1 ctg x dx 2 /3 /3 2 / 3 1 dx sin x 2 / 3 dx sin x /3 x lntg lntg( / 3) lntg( / 6) 2 ln 3 2 /3 Несобственный интеграл I рода b f ( x)dx lim f ( x)dx b a a b b f ( x)dx lim f ( x)dx a a 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость: dx dx d ( x 2) 1) 2 lim 2 lim 2 x 4 x 5 b 0 x 4 x 5 b 0 ( x 2) 1 0 b b lim arctg( x 2) 0 lim arctg( b 2) arctg 2 arctg 2 b b 2 b 2) 0 b 1 d ( x 2 4) 2 lim lim x 4 2 2 0 x 4 b 2 0 x 4 b xdx b Несобственный интеграл II рода b b lim f ( x ) f ( x)dx lim f ( x)dx x b 0 a b f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x ) x a 2 1) 1 3 dx lim 2 x 0 a b 0 a 2 1 3 a 2 dx 33 2 lim (2 x ) 0 2 1 2 x 3 3 3 2 ( lim 1) 2 0 2 dx d ln x 1 1 1 2) lim 2 lim lim 2 0 0 0 x ln x ln x ln x 1 ln 2 ln( 1 ) 1 1 2 2 2 Исследование на сходимость 1 1) 0 1 dx 3 1 x4 3 1 x4 1 1 3 1 (1 x)(1 x)(1 x 2 ) dx 33 3 2 (1 x) 3 2 2 1 x 0 0 (2 x 3)dx 2) 2 3 x 7x 1 1 dx ln x 1 x 1 x 1 ~ 3 1 4(1 x) Сходится, следовательно, и исходный интеграл сходится 2 x 3 x 2 x 2 1 ~ 2 2 3x 7 x 1 3x 3 x Расходится, следовательно, и исходный интеграл расходится