§1. Комплексные числа п.1. Основные определения. Комплексное число имеет вид: z x iy, x, y R, i 1, 2 i — мнимая единица. C — множество всех комплексных чисел. x Re z y Im z — действительная часть — мнимая часть z1 z2 Re z1 Re z2 , Im z1 Im z2 z x iy — число, комплексно сопряженное к z x iy Re z 0 z z Im z 0 z z z z zz Re z 2 zz Im z 2i Действия над комплексными числами Сложение x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 Умножение x1 iy1 x2 iy2 x1x2 ix1 y2 ix2 y1 i y1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 Деление x1 iy1 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1 y2 y1 x2 x1 y2 2 i 2 2 2 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2 x2 y2 x2 y2 п.2. Геометрическая интерпретация. M ( x, y ) y O x M ( x, y ) x iy OM ( x, y ) x iy Формы записи комплексных чисел Алгебраическая z x iy Тригонометрическая M ( x, y ) y r O x r cos y r sin z r (cos i sin ) x y r x O Число r называется модулем числа и обозначается r | z | . r x y 2 2 z x iy Угол между положительным направлением действительной оси и вектором z называется аргументом и обозначается Arg z. x cos r y sin r Значение аргумента, заключенное в границах (0 2 ), называют главным значением аргумента, и обозначают arg z. Arg z arg z 2k , k Z Замечание 1. | z1 || z2 |, z1 z2 arg z1 arg z2 Показательная i Формула Эйлера: e cos i sin , z r (cos i sin ) r e i R п.3. Свойства модуля и аргумента. 1) | z1 z2 || z1 | | z2 | Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 Доказательство. z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) z1 z2 r1 r2 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) r1 r2 cos(1 2 ) i sin( 1 2 ) Замечание 2. | z1 z2 ... zn || z1 | | z2 | ... | zn | Arg ( z1 z2 ... zn ) Arg z1 Arg z2 ... Arg zn Замечание 3. Пусть Тогда z1 z2 ... zn . | z || z | n Arg ( z ) n Arg z n n r (cos i sin ) n r (cos n i sin n ), n N — формула Муавра n Замечание 4. Пусть n N, n 2. z w z w n n z (cos i sin ) w r (cos i sin ) n (cos n i sin n ) r (cos i sin ) n n r r 2k n 2k , k Z , k Z n n 2k 2k r (cos i sin ) r cos i sin n n n k 0,1,...,n 1 2) z1 | z1 | z2 | z2 | Доказательство. Свойство 1) z1 Arg Arg z1 Arg z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1 | z1 | | z2 | z2 z1 Arg z1 Arg Arg z2 z2 3) | z1 | | z2 | z1 z2 | z1 | | z2 |, z1 , z2 C 4) Модуль разности z2 z1 равен расстоянию между z1 и z2 . y z1 z1 z2 | z1 z2 | | z1 | | z2 | O | z1 z2 | z2 x | z2 z1 | z2 z1 п.4. Последовательности комплексных чисел. zn n1 zn xn iyn , n 1,2,... Число z называется пределом последовательности zn , если 0 N N ( ) : n N zn z lim zn z n Теорема 1. zn xn iyn , n 1,2,... lim zn z n lim xn x n lim yn y n Замечание 5. | x || x iy || x | | y | z y O z x iy x | y || x iy || x | | y | Доказательство. Необходимость. lim zn z Пусть n 0 N N ( ) : n N zn z ( xn x) i ( yn y ) xn x n N Замечание 5 yn y lim xn x n lim yn y n Достаточность. Пусть lim x n n x lim yn y n N1 N1 ( ) : n N1 xn x 0 N 2 N 2 ( ) : n N 2 yn y N max{ N1 , N 2 } n N | zn z | ( xn x) i ( yn y ) | xn x | | yn y | 2 Замечание 5 lim zn z n п.5. Бесконечность и стереографическая проекция. € C {} C Последовательность zn называется сходящейся к , если M 0 N N (M ) : n N zn M lim zn n -окрестностью конечной точки z0 называется внутренность круга с центром в точке z0 и радиусом : ( z0 , ) | z z0 | -окрестностью точки z называется внешность круга с центром в начале координат и радиусом 1/ : Если 1 (, ) | z | 1 2 , то ( z1 , 1 ) ( z2 , 2 ), z . Точка z называется пределом последовательности zn , если для 0 все точки последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат окрестности точки z. z N M' y O x M N — полюс сферы; M ( x, y ) ; M ' — стереографическая проекция точки M; N — стереографическая проекция бесконечно удаленной точки. Установленное таким образом взаимно однозначное соответствие между € называется множествами точек сферы S и C стереографической проекцией. Сфера S называется комплексной числовой сферой или сферой Римана.