Урок Повторение. Двугранный угол 1. Двугранный угол и его линейный угол Рассмотрим две пересекающиеся плоскости и , которые пересекаются по прямой . Из точки A прямой проводим в плоскости прямую , перпендикулярную . Аналогично, проведем в плоскости прямую , перпендикулярную . Угол, образованный двумя прямыми и ( ), – линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями и (рис. 1). Рис. 1 Определение: двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей. У двугранного угла есть линейный угол. Его можно найти, выбрав любую точку на линии пересечения и построить два перпендикуляра из этой точки, один из которых будет лежать в первой полуплоскости, а другой – во второй полуплоскости. Угол, образованный этими перпендикулярами к прямой пересечения, и будет линейным углом двугранного угла. 2. Другие способы построения двугранного угла Еще один способ построения двугранного угла: Есть две полуплоскости и , прямая их пересечения . Можно взять точку M, не лежащую в полуплоскостях, и опустить из нее два перпендикуляра: на полуплоскость – и на полуплоскость – . и образуют плоскость, которая рассечет прямую в некоторой точке A. Тогда можно будет либо найти линейный угол, либо его дополнение до (рис. 2). Рис. 2 Замечание: если двугранный угол равен перпендикулярны. , то плоскости, его образующие, 3. Признак перпендикулярности плоскостей Признак перпендикулярности плоскостей: Если есть прямая перпендикулярна плоскости , то любая плоскость , проходящая через прямую , перпендикулярна (рис. 3). Рис. 3 Рассмотрим более детально первое стандартное построение: Два перпендикуляра из одной точки образуют плоскость – плоскость линейного угла (рис. 4). Рис. 4 4. Свойства плоскости линейного угла Свойства плоскости линейного угла: Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла (двум полуплоскостям и ребру). Доказательство: 1. Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости . 2. Прямая лежит в плоскости и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости и перпендикулярны. 3. Прямая лежит в плоскости и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости и перпендикулярны. Задача №1: Двугранный угол равен на . Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла см. Найдите расстояние от данной точки до второй грани (рис. 5). Рис. 5 Решение Расстояние от точки до плоскости – это перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость. Построим в плоскости линейного угла перпендикуляр MH к прямой . Докажем, что перпендикуляр MH перпендикулярен всей плоскости : MH перпендикулярна – по построению; MH перпендикулярна , так как ребро перпендикулярно всей плоскости линейного угла. Так как прямые и лежат в плоскости , пересекаются и перпендикулярны MH, то прямая MH перпендикулярна плоскости . Значит MH – искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHM ( ): см, , нужно найти катет HM. см Ответ: расстояние от точки M до плоскости равно 9 см. Выводы: Было рассмотрено понятие двугранного угла, его линейный угол, рассмотрены свойства двугранного угла и плоскости линейного угла и решена задача, в которой используются эти свойства. Домашнее задание Сколько основных способов построения двугранного угла вы знаете? Всегда ли две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол? У двугранного угла всегда есть линейный угол? Можно ли, зная лишь значение линейного угла, быть уверенным насчет перпендикулярности плоскостей, его образующих? 5. Если двугранный угол равен , можно ли утверждать, что все три плоскости (две грани двугранного угла и плоскость линейного угла) взаимно перпендикулярны? 1. 2. 3. 4.