Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Методическая разработка урока по геометрии
преподавателя математики высшей категории ГАУ КО ПОО КСТ г. Калининграда
Пеховой Надежды Юрьевны
по теме: Двугранный угол. Перпендикулярность двух плоскостей.
Цели:
 ввести понятия: двугранный угол, линейный угол двугранного угла, определение
перпендикулярных плоскостей;
 изучение теоремы – признак перпендикулярности двух плоскостей;
 формировать навык построения линейного угла между пересекающимися
плоскостями, навык применения новых понятий в решении задач;
 продолжить развитие пространственного представления;
 формирование навыков взаимопомощи
Тип урока: урок изучения нового материала
Вид урока: традиционный
Методы проведения: наглядно-словесный
Оснащение урока: проекционная техника, компьютер, презентация к уроку, учебники
Ход урока:
1. Организационный момент. Сообщение темы, цели урока.
2. Актуализация опорных знаний.
а) проверка домашнего задания: №152 – учащийся готовит у доски;
б) № 163(б, в) – комментированный разбор с места;
в) фронтальный опрос на повторение:
- определение угла на плоскости (фигура, образованная 2-мя лучами, исходящими из
одной точки)
- определение перпендикулярных прямых в пространстве;
- определение перпендикулярности прямой и плоскости;
- определение угла между прямой и плоскостью;
- возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей;
3. Новый материал.
1) Учитель: наряду с углом между прямыми в пространстве рассматривается ещё один вид
углов – двугранные углы. Рассмотрим случай взаимного расположения 2-х плоскостей,
когда плоскости пересекаются. Прямая пересечения этих плоскостей ограничивает
плоскости с одной стороны, образуются две полуплоскости:
а
Такая фигура и является двугранным углом.
Определение: Двугранным углом называется фигура,
образованная прямой а и двумя полуплоскостями
принадлежащими одной плоскости.
с
общей
границей
а,
не
Полуплоскости называются гранями, общая прямая называется ребром двугранного угла.
Величина двугранного угла определяется его линейным углом. Рассмотрим способы
построения линейных углов для различных двугранных углов.
Все
линейные
углы
одного
двугранного угла равны между
собой.
Линейный угол обозначается,
например, так: FBCA или ABCF.
Упражнение: постройте двугранный угол при основании правильной четырехугольной
пирамиды.
2) Учитель: какие плоскости можно считать перпендикулярными? Учащиеся обсуждают
вопрос и делается вывод.
Определение: Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Легко найти перпендикулярные плоскости, не выходя за
пределы класса. Учащиеся приводят несколько примеров
перпендикулярных плоскостей.
Далее по учебнику под руководством учителя учащиеся разбирают теорему – признак
перпендикулярности двух плоскостей.
Формулировку теоремы учащиеся записывают в тетрадь.
𝛽
Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через
а
прямую, перпендикулярную к другой плоскости,
то такие плоскости перпендикулярны.
𝛼
а ∈ 𝛽, а ⊥ 𝛼 => 𝛽 ⊥ 𝛼
4. Решение упражнений.
1) Задача 1 – у доски
а) Учащиеся отмечают, что расстояние от точки до плоскости –
это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки на
плоскость => АВ ⊥ 𝛼 – расстояние от А до 𝛼, АВ = 4 см; АС ⊥ 𝛽
– расстояние от А до 𝛽, АС = 3 см.
б) АВ ∩ АС – определяют плоскость (АВС)
(АВС) ⊥ 𝛼 и (АВС) ⊥ 𝛽 по признаку перпендикулярности двух
плоскостей => (АВС) ⊥ m => AH ⊥ m – расстояние от А до
линии пересечения плоскостей. АВСН – прямоугольник.
в) ∆ АСН – прямоугольный, НС = АВ = 4 см. По теореме Пифагора АН2 = АС2 + НС2,
АН = √16 + 9 = 5 (см). Ответ: 5 см.
2) Задача 2 – самостоятельно.
3) № 172 – у доски
а) ∆АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора
АВ2 = АС2 + ВС2, ВС = √169 − 25 = 12 см.
б) ВС – наклонная к 𝛼, ВН ⊥ 𝛼, НС – проекция ВС на
плоскость 𝛼,
ВС ⊥АС => НС ⊥АС => ∠ВСН = 60° - угол между плоскостями
𝛼 и АВС.
в) ВН – расстояние от В до 𝛼, ∆ВНС – прямоугольный,
ВН
cos∠C = ВС , ВН = ВС ∙ cos∠C = 12 ∙ 0,5 = 6 (см). Ответ: 6 см.
5. Самостоятельная работа – работа группами.
Постройте чертежи согласно условиям задач:
№1
∆АВС, АС = ВС, АВ ∈ пл. 𝛼,
№2
∆АВС,∠С=90°, ВС ∈ пл. 𝛼,
№3
ABCD – прямоугольник, О –
С∉ 𝛼, СН ⊥ 𝛼. Построить
линейный угол двугранного
угла САВН.
А ∉ 𝛼, СН⊥ 𝛼.
Построить линейный угол
двугранного угла АВСН.
точка пересечения диагоналей,
МО⊥ ABCD. Построить
линейный угол двугранного
угла МСDА.
6. Подведение итогов урока. Комментирование оценок.
Рефлексия.
а) Дать определение двугранного угла;
б) Сформулировать алгоритм построения линейного угла двугранного угла;
в) Дать определение перпендикулярных плоскостей;
7. Домашнее задание:
Гл.2, §3, выучить теорию, разобрать самостоятельно п.25, №168, № 171
Для
желающих:
подготовить
презентацию
по
теме
«Двугранный
Перпендикулярность двух плоскостей».
угол.