Плоскость в пространстве п2 2 п1 1 п1 п2 2 1 Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Уравнение плоскости, проходящей через три точки Задача. В тетраэдре SABC точка М – пересечение медиан треугольника АВС. Разложите вектор SB по векторам SA, SC и SM. SB 3SM SA SC Общее уравнение плоскости Выведем уравнение плоскости, проходящей через точки М(x; y; z) и М0 (х0; у0; z0) М 0 М x x0 ; y y0 ; z z 0 п М0 М п а; в; с М 0М п Значит п перпендикулярен плоскости и, следовательно, любому вектору, лежащему в плоскости . Условие перпендикулярности двух векторов: аx x0 в y y0 сz z 0 Нормальный 0 плоскости (1) вектор Уравнение (1) можно записать в виде: аx вy сz d 0 (2) Общее уравнение плоскости называется полным, если все Общее уравнение коэффициенты a; в; с; d отличны от нуля. плоскости В противном случае уравнение называется неполным. Общее уравнение плоскости Виды неполных уравнений: D 0; 2) A 0; 1) Ax By Cz 0 Плоскость проходит через точку О. By Cz D 0 ll (OX ) z 3) B 0; Ax Cz D 0 4) C 0; Ax By D 0 ll (OZ ) ll (OY ) A 0; B 0 Cz D 0 ll ( XOY ) 6) B 0; C 0 Ax D 0 ll (YOZ ) 5) By D 0 ll ( XOZ ) 8) B 0; C 0; D 0 Ax 0 x 0 7) A 0; C 0 A 0; C 0; D 0 10) A 0; B 0; D 0 9) By 0 y 0 Cz 0 z 0 0 x (YOZ ) ( XOZ ) ( XOY ) y Уравнение плоскости в отрезках Рассмотрим полное уравнение плоскости: Ax By Cz D 0 Ax By Cz 1 D D D Уравнение плоскости в отрезках Ax By Cz D x y z 1 aD bD cD A B C a c b Уравнение в отрезках используется для построения плоскости, при этом a, b и с – отрезки, которые отсекает плоскость от осей координат. z с 0 x a b y Угол между двумя плоскостями Пусть две плоскости заданы общими уравнениями: 1 : а1 x в1 y с1 z d1 0 2 : а 2 x в 2 y с2 z d 2 0 Углом между этими плоскостями называется угол между нормальными векторами к этим плоскостям. п1 а1 ; в1 ; с1 п 2 а2 ; в2 ; с2 п1 п2 2 cos 1 п1 п 2 п1 п 2 а1 а 2 в1 в 2 с1 с 2 а12 в12 с12 а 22 в 22 с22 Угол между двумя плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей аналогичны условию параллельности и перпендикулярности нормальных векторов: п2 2 а1 в1 с1 п1 ll п 2 а2 в 2 с2 п1 1 п1 п2 2 1 п1 п 2 а1 а2 в1 в2 с1 с2 0 Угол между прямой и плоскостью Пусть точка М1 – точка пересечения прямой р с плоскостью : аx вy сz d 0 п М1 М М 1 М , 90 0 Если угол между прямой и нормалью, тогда угол между прямой и плоскостью равен 90 0 Расстояние от точки до плоскости Пусть точка М1(x1; y1; z1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М0(x0; y0; z0) на плоскость : аx вy сz d 0 М0 l l расстояние от точки М 0 до плоскости М1 l M1M 0 k n l аx0 вy 0 сz 0 d a2 в2 c2 Решение задач Задача. Известны координаты точек А, В и С. Найдите уравнение плоскости, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точку С. 2x + 5y + 3z – 4 = 0 Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1 ), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 ) не лежат на одной прямой. Тогда векторы: M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1 и M1M3 x3 x1; y 3 y1; z3 z1 Точка М(х ; у ; z ) лежит в одной плоскости с точками М1 , М2 и М3 только в том случае, если векторы: M1M2 ; M1M3 и 1 2 не коллинеарны. М3 М1 М М2 M1M x x1; y y 1; z z1 компланарны. M M M M M M 1 1 3 Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки x x1 y y1 z z1 x2 x1 x3 x1 y 2 y1 y 3 y1 z2 z1 0 z3 z1