Элементы дифференциального исчисления

Элементы
дифференциального
исчисления
Лекция 4
Дифференциальное исчисление функций
одной переменной
1. Производные
2. Таблица производных
3. Дифференциал
4. Производные и дифференциалы
высших порядков
5. Некоторые теоремы о
дифференцируемых функциях
6.Применение производных к
исследованию функций
7. Общая схема исследования функции и
построение графика
Производная. Задача о
касательной
y
М
М0 
к
f ( x0  x)
f ( x0 )

0

y
x
x0
x0  x
Определение. Если существует предельное положение
секущей M 0 M при стремлении M  M 0 вдоль по кривой, то оно
называется касательной к графику функции в точке M 0 .
Производная. Задача о
касательной
Обозначим угол наклона касательной к
графику функции в точке M 0  .
y
x

0
,



Очевидно,
при
а tg 
x
стремится к tg
y
tg  lim tg  lim
.
x  0
x  0 x
Тогда угловой коэффициент
y
касательной равен k  lim
.
k  tg
x  0
x
Производная. Определение
Пусть функция у = f x определена в
интервале a, b  и пусть точка x0  a, b.
Рассмотрим далее точку x0  x  a, b.
В обеих точках вычислим значения
функции и разность y  f ( x0  x)  f ( x0 ).
Эту разность будем называть
приращением функции в
фиксированной точке x0 .
Производная. Определение
Если существует конечный (или
бесконечный)
y
f x0  x   f x0 
= lim
,
lim

x
x

0
x
x 0
то он называется конечной (или
бесконечной) производной функции f x 
в точке x0 и обозначается
'
символами у ' или f x0  ,
т.е.
y
y  lim
.
x  0 x
'
Примеры
Ясно, что угловой коэффициент
касательной равен производной в точке
касания. Приведем примеры.
y
y
f ' ( x0 )  0
y'  
в точке
0
x0
x0
Уравнение касательной
Касательную как прямую, проходящую
через точку касания M 0 ( x 0 ; y 0 ) , задают
уравнением y  y 0  y 0 ( x  x 0 ).
Например, уравнение касательной к
2
кривой y  x в точке (1;2) имеет вид
у-2=2(х-1) или 2х-у=0.
Теоремы о производных
Теорема 1. Если существуют
'
производные u x  и
v' x  функций u (x) и vx  , то
существуют
ux  vx'  u  v'  u'v' ;
u  v'  u' v  uv' ;

 u  u ' v  uv'
v  0.
  
2
v
v
Теоремы о производных
Следствие.
cy '  c' y  cy'  cy' , так как c'  0 ,
т.е. постоянный множитель
выносится за знак производной.
Теоремы о производных
Теорема 2. Если функция в
точке x0 имеет производную, то она
в этой точке непрерывна.
Обратное неверно. Возможен
случай, когда непрерывная функция
не имеет производной в точке
непрерывности.
Теоремы о производных
Например:
y
y x
y' не существует в точке
x0
x
Примеры
Выведем формулы некоторых
производных, применяя определение
производной:
1) y  x 2 имеет производную
y'  lim
x  x 2  x 2
x 0
x
x 2  2 xx  x 2  x 2
2 xx  x 2
 lim
 lim

x
x
x  0
x  0
 lim 2 x  x   2 x ;
x0
Примеры
 


x  x
x
x x
e

e
e
e 1
x
2) e '  lim
 lim

x
x
x  0
x  0
x
e
1
x
e  lim
 e x 1  e x .
x  0 x
Таким же образом можно получить
производные sin x '  cos x , cos x '   sin x , а
по правилу вычисления производных
сложных функций можно вычислить и
другие производные.
Производная обратной
функции
Теорема. Пусть функция х=f(y)
монотонна и дифференцируема в
некотором интервале (a,b) и имеет в
точке у этого интервала не равную нулю
f ( y ) в
производную
. Тогда
соответствующей точке х обратная
1
y

f
( x) имеет производную
функция
1
1
1
[ f ( x)] 
или y x 
.
f ( y )
xy
Примеры
Для функции y=arcsinx обратной
является функция x=siny , которая в
интервале (-π/2;π/2) монотонна и
дифференцируема. Ее производная в
этом интервале в нуль не обращается.
Поэтому
1
1
1
1
y x 



.
x y cos y
1  sin 2 y
1 x2
Примеры
Итак, (arcsin x) 
1
1 x2
.
Аналогично можно получить
(arccos x)  
1
1 x2
1
(arctgx) 
,
2
1 x
1
(arcctgx)  
.
2
1 x
,
Теорема о производной
сложной функции
Пусть функция u  u x  имеет
производную в точке x0 , а функция
y  f u  имеет производную в точке
u0  ux0  . Тогда сложная функция
y  f ux  имеет производную в точке x0 ,
причем y'  f ' u 0   u' x0  .
Или: y'  f 'u u ' x в произвольной точке
x.
Производная степенной
функции
Справедливо тождество
Тогда
x e
n
y  (e )  e (n ln x) 
n ln x
n ln x
n n ln x n n n1 n
n 1
 e  x  nx , ( x )  nx .
x
x
n ln x
.
Производные
гиперболических функций
Гиперболическими называют функции
x
e e
e e
shx 
; chx 
2
2
shx
chx
thx 
; cthx 
.
chx
shx
x
x
x
;
Производные
гиперболических функций
Поэтому
1 x
1 x
x
x
( shx )  (e  e )  (e  e )  chx.
2
2
(chx)  shx;
shx
ch 2 x  sh 2 x
1
(thx)  (
) 
 2 ;
2
chx
ch x
ch x
1
(cthx)   2
sh x.
Таблица производных
7. log a u ' 
1. c '  0,
2. (u )'  nu
n
n 1
 u' ,
1


3. u ' 
 u' ,
2 u
1
1
4.   '   2  u ' ,
u
u
 
5. a u '  a u ln a u ' ,
 
6. e u '  e u  u ' ,
1
 u' ,
u ln a
1
8. ln u '   u ' ,
u
9. sin u '  cos u  u ' ,
10. cos u '   sin u  u ' ,
11. tgu ' 
1
 u' ,
2
cos u
1
12. ctgu '  
 u' ,
2
sin u
Таблица производных
13. (arcsin u ) 
(arccos u )  
1
1 u2
14. ( shu)  chu  u .
.u 
1
1 u2
u ,
1
(arctgu ) 
u ,
2
1 u
1
(arcctgu )  
u .
2
1 u
(chu)  shu  u ;
1
u ;
2
ch u
1
(cthu)   2 u 
sh u.
(thu) 
Лекция 5
Дифференцируемая функция
Определение. Если функция f x  в
точке x имеет (конечную) производную, то
она называется дифференцируемой в этой
точке.
Если функция дифференцируема в
каждой точке некоторого промежутка, то
она называется дифференцируемой на
этом промежутке.
Дифференциал функции
Рассмотрим пример. Найдем
приращение функции y  x 2 в точке x0 .
Известно, что y  f x0  x   f x0  .
В нашем примере
f x0   x0 2 , f x0  x   x0  x 2 , а
приращение.
y   x0  x 2  x0 2  x0 2  2 x0 x  x 2  x0 2
Итак, y  2 x0 x  x 2 , где, как известно, 2x0
является производной функции x 2 в точке
x0 .
Определение дифференциала
Пусть приращение функции в точке
может быть представлено в виде
y  Ax  o(x) , где x приращение аргумента, А-величина, не
зависящая от x , o(x) -бесконечно
малая более высокого порядка ,
чем x при x  0.
Определение дифференциала
Тогда главная линейная относительно
x часть приращения функции
называется дифференциалом функции
в точке и обозначается dy .
Итак, по определению dy  Ax .
Теорема. Для того чтобы в точке х
функция имела дифференциал,
необходимо и достаточно, чтобы она в
этой точке имела производную.
Дифференциал функции
Приращение аргумента x в этом
случае принято обозначать dx и тогда
dy  f ' x0 dx , где dx  x . В
произвольной точке x dy  f ' x dx .
Замечание. Из последней формулы
получается еще одно обозначение
dy
производной f ' x  
.
dx
Дифференциал функции
Пример.
d sin x   cos xdx;
1
1
d tgx 
dx; d ln x   dx;
2
x
cos x

2
d x  2 xdx;
d x  a   dx
Дифференциал функции
Как и для производной, для
дифференциала функции имеют
место формулы:
1. d u  v   du  dv;
2. d uv  vdu  udv ;
 u  vdu  udv
v  0 ;
3. d   
2
v
v
4. d (cu)  cdu .
Инвариантность
дифференциала
По правилу дифференцирования
сложной функции
dy  yu u x dx  yu (u x dx)  y du.
Здесь форма дифференциала остается
неизменной, но под дифференциалом
аргумента понимается не приращение
этого аргумента, а его дифференциал.
Производные высших
порядков
Введем теперь понятие производной
второго порядка функции f x  .
Производную от первой производной
функции f x  , т.е.  y '' будем называть
производной второго порядка (тогда y ' производная первого порядка) и будем ее
обозначать y ' ' или f ' ' x  . Далее
 y ' '  y ' ' '  f ' ' ' x  - это производная


третьего порядка, … а y n 1 '  y n  - это
производная n-го порядка.
Дифференциалы высшего
порядка
Дифференциал от дифференциала
данной функции называется ее
дифференциалом второго порядка и
2
2
обозначается d y  d f ( x) . По
определению
d y  d (dy)  d ( f ( x)dx)  ( f ( x)dx)dx  f  ( x)dx .
2
2
2


d y  f ( x)dx ,
2
Итак,
d y  f ( x)dx
3
3
и т.д.
Дифференцирование функций,
заданных параметрически
Пусть функция у от х задана
параметрическими уравнениями
x  x(t ), y  y (t ), t  ( ,  ).
И пусть эти функции
dy ytdt yt


дифференцируемы. Тогда
dx xtdt xt
Если существует вторая производная,
то
( y x )t
y xx 
xt
Пример
Найти производную функции
Имеем
x  a (t  sin t ),
y  a (1  cos t ).
t
t
2 sin cos
a sin t
t
2
2
y x 

 ctg .
a(1  cos t )
2
2 t
2 sin
2
y xx  
1
t
2a sin
(1  cos t )
2
2

1
t
4a sin
2
4
.
Производные неявных
функций
Пусть значения х и у связаны
уравнением F(x,y)=0. Если функция
у=f(х), определенная на некотором
промежутке, при подстановке ее вместо
у в уравнение F(x,y)=0 обращает это
уравнение в тождество, то говорят, что
это уравнение задает функцию у=f(х)
неявно.
Пример
Продифференцируем функцию
y  x  ln y .
1
Имеем y   1  y.  Отсюда
y
1
y (1  )  1,
y
y
y 
.
y 1
Продолжение
Найдем вторую производную.
y
, то
Так как y  
y 1
y  
y ( y  1)  yy 

y ( y  1  y )
( y  1)
( y  1)
y
y


.
2
3
( y  1)
( y  1)
2
2

Логарифмическое
дифференцирование
Найти производную функции y  (cos x) .
Прологарифмируем обе части:
ln y  x cos x. Теперь берем
производную
y
 cos x  x sin x, y   y (cos x  x sin x).
y
x
Окончательно
y   (cos x) x (cos x  x sin x).