f `` (x)

Дифференциальное
исчисление
функции одной переменной
Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором
изучаются производные и дифференциалы функций и их
применение к исследованию функций.
§ Производная функции
Определение производной функции.
Необходимое условие существования производной
Пусть y = f(x) определена в точке x0 и некоторой её окрестности.
Придадим x0 приращение x такое, что x0 + xD(f) .
Функция при этом получит приращение
f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y = f(x) в точке x0
называется предел отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента x, при x  0 (если этот
предел существует и конечен), т.е.
 f ( x0 )
f ( x0   x)  f ( x0 )
lim
 lim
.
x  0 x
x  0
x
Обозначают:
y( x0 ) ,
dy( x0 )
,
dx
f ( x0 ) ,
df ( x0 )
.
dx
Производной функции y = f(x) в точке x0 справа (слева)
называется
 f ( x0 ) 
 f ( x0 ) 
lim
lim


 x  0  x
  x  0  x 
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают:
y ( x0 ) , f  ( x0 ) – производная y = f(x) в точке x0 справа,
y ( x0 ) ,
f  ( x0 ) – производная y = f(x) в точке x0 слева.
ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования производной).
Функция y = f(x) имеет производную в точке x0  в этой
точке существуют и равны между собой производные
функции справа и слева. Причем
f ( x0 )  f  ( x0 )  f  ( x0 ) .
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке).
Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0 , то
функция f(x) в этой точке непрерывна.
Замечание. Непрерывность функции в точке x0 не является
достаточным условием существования в этой точке
производной функции.
Например, функция y = | x | непрерывна на всей области определения, но не имеет производной в точке x0 = 0.
Определение. Пусть функция f( x ) определена на (a,b) и непрерывна в т. x0 из
этого промежутка (a,b). Тогда приращению  x отвечает приращение
 y = f( x0+x ) – f( x0 ) .
Если приращение  y может быть представлено
в виде суммы линейной относительно  x б.м.ф
и б.м.ф высшего порядка малости относительно  x:
 y = А . x + О ( x )
(А=const)
то функцию f( x ) называют дифференцируемой в точке x0 .
А . x – дифференциал функции f( x ) в точке x0
Обозначают:
dy  df ( x0 )  A  x
Теорема. Функция дифференцируема в точке т.
когда
она
имеет
производную
в
этой
Следствие. dy  df ( x0 )  f / ( x0 )  dx
и т.т.,
точке.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению
ординаты касательной, проведенной к графику функции
в этой точке, соответствующему приращению аргумента.
Соответствие x0  f (x0) является функцией, определенной на
множестве D1 D(f).
Операцию нахождения для функции y = f(x) её производной
функции называют дифференцированием функции f(x).
УПРАЖНЕНИЕ. Доказать по определению, что
(sinx)  = cosx, (cosx)  = –sinx, xℝ
(ex)  = ex , (ax)  = ax  lna , xℝ
(log a x) 
1
1

, (ln x)  , x  0 .
x ln a
x
Физический и геометрический смысл
производной
1) Физический смысл производной.
Если функция y = f(x) и её аргумент x являются физическими
величинами, то производная f (x) – скорость изменения
величины y относительно величины x .
ПРИМЕРЫ.
а) Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t.
Тогда производная S  (t0) – скорость в момент времени t0.
б) Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее
через поперечное сечение проводника в момент времени t.
Тогда q  (t0) – скорость изменения количества электричества
в момент времени t0, т.е. сила тока в момент времени t0.
в) Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x].
Тогда m  (x) – скорость изменения массы в точке x0, т.е.
линейная плотность в точке x0.
2) Геометрический смысл производной.
Пусть ℓ – некоторая кривая, M0 – точка на кривой ℓ.
Любая прямая, пересекающая ℓ не менее чем в двух точках,
называется секущей.
Касательной к кривой ℓ в точке M0 называется предельное
положение секущей M0M1, если точка M1 стремится к M0,
двигаясь по кривой.
M1

M0
Очевидно, что если касательная к кривой в точке
существует, то она единственная.
M0
Рассмотрим кривую y = f(x).
Пусть в точке M0(x0 ; f(x0)) она имеет невертикальную касательную M0N.
M1
N
 y ( x0 )
M0

K

x0
x0  x
Таким образом, получили: f (x0) – угловой коэффициент
касательной к графику функции y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)).
(геометрический смысл производной функции в точке).
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0))
можно записать в виде
y  f ( x0 )  f ( x0 )  ( x  x0 )
Замечания.
1) Прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно
касательной, проведенной к кривой в точке M0, называется
нормалью к кривой в точке M0.
Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых
справедливо равенство k1  k2 = –1 , то уравнение нормали к
y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) будет иметь вид
1
y  f ( x0 )  
 ( x  x0 ) , если f (x0)  0.
f ( x0 )
Если же f (x0) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в точке
M0(x0 ; f(x0)) - горизонтальная прямая, уравнение которой
y = f(x0),
а нормаль – вертикальная прямая, уравнение которой x = x0.
2) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке M0(x0 ; f(x0)) вертикальную
касательную M0N ,  – угол наклона секущей M0M1 к Ox.
M1
N
 y ( x0 )
M0
K

x0
x0  x
Таким образом, если кривая y = f(x) имеет в точке M0(x0 ; f(x0))
вертикальную касательную, то функция y = f(x) не имеет в
точке x0 производной.
Так как в соседних с M0 точках кривая y = f(x) имеет
касательные и их угол наклона к оси Ox стремится к 90 при
x  0, то x0 является для функции f(x) точкой разрыва II
рода, причем
lim f ( x)  
x  x0
Правила дифференцирования
1) Производная постоянной функции равна нулю, т.е.
C  = 0, где С – константа.
2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности)
производных, т.е. (u  v)  u  v
3) Производная произведения находится по правилу:
(u  v)  u  v  u  v
Замечание. Формула дифференцирования произведения может
быть легко обобщена на случай большего числа
множителей. Например,
(u  v  w)  u   v  w  u  v  w  u  v  w ,
(u  v  w  t )  u   v  w  t  u  v  w  t  u  v  w  t  u  v  w  t  .
4) (C  u )  C  u  , где С – константа.
Говорят: «постоянный множитель
производной».
выносится
за
знак
5) Производная дроби находится по правилу:
 u   u   v  u  v
  
v
v2
v( x)  0.
6) Если функция (t) имеет производную в точке t, а функция
f(u) имеет производную в точке u = (t), то сложная
функция y = f((t)) имеет производную в точке t, причем
y  f (u )  u
(правило дифференцирования сложной функции).
7) ТЕОРЕМА (о производной обратной функции).
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x0,
причем f (x0)  0. Если существует обратная функция
x = (y), то она имеет производную в точке y0 = f(x0) и
 ( y0 ) 
1
f ( x0 )
УПРАЖНЕНИЯ.
1) Зная, что (sinx)  = cosx, (cosx)  = –sinx, (ex)  = ex, получить
формулы
1
1

(tg x) 
,
(ctg
x
)


,
2
2
cos x
sin x
(sh x)  ch x ,
1
(th x)  2 ,
ch x
(ch x)  sh x ,
1
(cth x)   2 .
sh x
2) Используя теорему о производной обратной функции,
доказать, что
(arcsin x) 
1
, (arccos x)  
1
, x  (1; 1) ;
1 x2
1 x2
1
1


(arctg x) 
, (arcctg x)  
, x .
2
2
1 x
1 x
По определению и с помощью правил
дифференцирования
находят производные основных элементарных
функций (таблица производных).
Производная любой элементарной функции
находится с помощью таблицы производных
и правил дифференцирования.
Производные высших порядков
§ Теоремы о среднем значении
для дифференцируемых функций
Условия монотонности функции
Необходимое условие существования экстремума
функции
Теорема Ферма
Геометрическая интерпретация
y
M
Замечание
y
y=x3
x
X0-x
X0 X0+Δx
x
Теорема Ролля
Пусть функция y=f(x)
а) непрерывна на отрезке [a, b]
б) дифференцируема на интервале (a, b)
в) f( a ) = f( b )
Тогда найдется хотя бы одна точка С∈(a, b), такая, что f '(С) = 0
Возможные случаи
или
f(a)=f(b)>m
y
f(a)=f(b)<M
y
M
m
a
b
x
a
b
x
Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)
Пусть функция y = f( x )
а) определена и непрерывна на отрезке [a, b]
б) дифференцируема на интервале (a, b).
Тогда найдется хотя бы одна точка С∈(a, b), такая, что
f (C ) 
f (b)  f (a )
ba
y
Геометрически
B
A
f(b)-f(a)

tg=f '(C)
b-a
a
C
C1 C2 b
x
Теорема Коши
Пусть функции f( x ) и g( x )
а) непрерывны на отрезке [a, b]
б) дифференцируемы на интервале (a, b) и g'( x ) ≠ 0.
Тогда найдется хотя бы одна точка С ∈ (a, b), такая, что
f (b)  f (a) f (C )

g (b)  g (a) g (C )
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
§ Теорема Лопиталя (правило Лопиталя)
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки
g'(x) ≠ 0 в окрестности x=a.
Если lim f ( x )  0 и lim g ( x )  0 и существует
x a
x a
то существует конечный предел
lim
xa
f ( x)
,
g ( x)
lim
xa
x=a и
f ( x)
A ,
g ( x)
причем
f ( x)
f ( x)
lim
 lim
A
x  a g ( x)
x  a g ( x )
Замечание 1. Если f' (x) и g' (x) удовлетворяют условиям теоремы
Лопиталя, в окрестности точки x=a, то правило Лопиталя применяется
к отношению производных:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
 lim
 lim
 и т.д.  А
x a g ( x)
x a g ( x)
x a g ( x)
Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в случае x→∞ ,т.е. если
lim f ( x)  lim g ( x)  0
x 
x 
Теорема. (Правило Лопиталя для случая ∞/∞ )
Пусть функции f(x) и g(x)
а) дифференцируемы в окрестности точки x = a
f ( x )  lim g ( x )  
б) xlim
 a
x a
в) g'(x) ≠ 0 в окрестности x=a.
f ' ( x)
A
г)  lim
x  a g ' ( x)
тогда существует конечный предел
lim
xa
f ( x)
lim
x  a g ( x)
, причем
f ( x)
f ( x)
 lim
A
x

a
g ( x)
g ( x)
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
§ Формула Тейлора и Маклорена
Определение. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n
a0 , a1 , …, an – коэффициенты многочлена, n – натуральные числа.
где
Многочлен полностью определяется своими коэффициентами.
Определение. Многочленом (полиномом) по степеням (x – x0) называется
функция
Pn ( x ) = a0 + a1 ( x – x0 ) + a2 ( x – x0 ) 2+ … + an ( x – x0 ) n .
Определение. Формула
(n)
P( x0 )
P
( x0 )
P( x)  P( x0 )  P( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
2!
n!
называется формулой Тейлора для многочлена Pn(x) .
Теорема.
f ( x ) определена на интервале (a, b), имеет в точке
x∈(a, b) производные до n - го порядка включительно. Тогда при x → x0
функция f(x) сходится к своему многочлену Тейлора и можно записать
Пусть функция
f (x)= f (x0)+ f ‘ ( x0 )(x – x0) + f‘‘ ( x0 )(x – x0) 2 + … + f (n)( x0 )(x – x0) n +Rn(x).
Формула называется формулой Тейлора для функции
f ( x ).
Теорема.
f ( x ) и её многочленом Тейлора P ( x ) является б.м.
функцией высшего порядка малости по сравнению с ( x – x0 )n
Разность между функцией
f (x) – P (x) = Rn(x) = O ((x – x0)n )
Rn(x) - остаточный член
в форме Пеано
в форме Лагранжа
Rn(x) = O ((x – x0)n )
f ( n1) (x )
Rn ( x) 
( x  x0 ) n , где x0<x<x
(n  1)!
P( x0 )
P ( n ) ( x0 )
2
P( x)  P( x0 )  P( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n
2!
n!
f  ( x0 )
f ( n) ( x0 )
f ( n1) ( x0 )
2
n
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) n1  ...
2!
n!
(n  1)!
f(x)=P(x)+Rn(x)
y
y=f(x)
Rn(x)
f(x)
P(x)
x0
x
x
Формула Маклорена – частный случай формулы Тейлора при
x3 x5 x7
x 2 n1
n1
sin x  x     ...  (1)
 Rn ( x)
3! 5! 7!
(2n  1)!
P2(x)
P1 ( x)  x
P3(x)
y
x3
P2 ( x)  x 
3!
P1(x)
P4(x)
sinx
-π
x0 = 0
0
π
x3 x5
P3 ( x)  x  
3! 5!
x3 x5 x7
P4 ( x)  x  

3! 5! 7!
x
Стандартные разложения Маклорена
2 n 1
x3 x5
n 1 x
sin x  x    ...  (1)
 Rn
3! 5!
(2n  1)!
2n
x2 x4
x
cos x  1  
 ...  (1) n
 Rn
2! 4!
(2n)!
n
x 2 x3
x
ln( 1  x)  x 
  ...  (1) n 1
 Rn
2
3
n
x 2 x3
xn
x
e  1 x 
  ... 
 Rn
2! 3!
n!
(1  x) m  1  mx 
Уметь получать разложения
m(m  1) 2 m(m  1)( m  2) 3
x 
x  ...
2!
3!
x3 x5
sh x  x    ...
3! 5!
x2 x4
ch x  1 

 ...
2! 4!
§ ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Определение. Функция y=f(x) называется
а) возрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2 f(x1)<f(x2);
b) убывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2 f(x1)>f(x2);
c) невозрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b) при x1< x2 f(x1)≥f(x2);
а) неубывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2 f(x1)≤f(x2).
Пример невозрастающей функции
y
y=f(x)
f(x1)= f(x2) > f(x3)
x1 < x2 < x3
x
Определение. Говорят, что f '(x) меняет знак в точке x0 , если существует
окрестность точки x0: (x0-δ, x0+δ), в которой при x<x0 f '(x) сохраняет один знак,
а при x>x0 – противоположный.
Определение. Точки, в которых f '(x) =0 называются стационарными точками.
Определение. Точки, в которых f '(x) =0 или не существует, называются
критическими точками.
Возможные варианты стационарных и критических точек
y
стационарные f '(x)=0
экстр.
x0
нет экстр.
x0
x
y
критические f '(x)
экстр.
x0

y
нет экстр.
x0
x
критические f '(x)
экстр.
x0

нет экстр.
x0
x
Теорема. (1ый Достаточный признак существования экстремума)
Пусть y=f(x) непрерывна в интервале, содержащем критическую точку x0,
дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме может быть
самой x0, тогда
а) если при переходе слева направо через x0 производная f '(x) меняет
знак с «+» на «-», то в точке x0 функция f(x) имеет максимум;
b) если знак производной меняется с «-» на «+», то в точке x0 функция
f(x) имеет минимум.
Теорема. (Второй достаточный признак существования экстремума)
Если в критической точке x0 функции y=f(x) обращается в ноль не только
первая производная, но и все последующие до (n-1)-й включительно, т.е.
f '(x0)= f '' (x0)= f ''' (x0)=…= f (n-1)(x0)=0,
а
f (n)(x0)≠0,
тогда x0 будет точкой экстремума, если n – четное;
x0 не будет точкой экстремума, если n – нечетное.
Характер экстремума определяется знаком f (n)(x0)≠0.
При f (n)(x0)<0 - в x0 максимум,
при f (n)(x0)>0 - в x0 минимум.
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
y
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на
(a,b), если
все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на (a,b).
Кривая называется выпуклой.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вниз на (a,b),
если
все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом
интервале.
Кривая называется вогнутой.
a
x
b x
a
x
b x
y
Теорема. (Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой)
Пусть y = f (x) непрерывна на [a,b], и имеет в (a,
порядка включительно, тогда
b)
производную до второго
а) если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции
отрицательна: f '' (x) < 0, то кривая на (a, b) выпукла;
b) если во всех точках интервала вторая производная положительна:
f '' (x) > 0,
то кривая на (a, b) вогнута.
f (x)
Определение. Точка (x0;y0), лежащая на кривой
y
f(x),
называется точкой перегиба функции y=f(x),
если существует окрестность точки x0 такая, что
при x< x0 кривая лежит по одну сторону
касательной, при x > x0 - по другую сторону
касательной.
Следствие из достаточного условия выпуклости и вогнутости кривой.
(Необходимое условие существования точки перегиба)
Если вторая производная в некоторой точке x0 равна нулю или
не существует,
то эта точка есть точка перегиба графика функции.
Теорема. (Достаточное условие существования точки перегиба)
Пусть в точке x0 выполнены необходимые условия существования точки перегиба, и пусть
при переходе через эту точку
графика функции.
f '' (x) меняет знак, тогда точка x0 является точкой перегиба
x
x
Асимптоты кривых
y
Определение. Прямая называется асимптотой
y = f ( x ), если расстояние от точки
M кривой f ( x ) до данной прямой → 0 при
неограниченном удалении т. М от начала
кривой
f(x)
O
M
x
координат.
Опр. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x),
если хотя бы один из пределов lim f ( x) или lim f ( x) равен ∞ или - ∞.
x a
x a
y = k x + b называется наклонной асимптотой графика
f ( x ) при x → ± ∞, если lim  f ( x)  {kx  b}   0
Опр. Прямая
функции
x 
Теорема. (Критерий существования наклонной асимптоты)
Для того, чтобы прямая y = k x + b была наклонной асимптотой,
необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
f ( x)
lim
k
x 
x
lim  f ( x)  k x   b
x 
Общий план исследования функции и построения графиков
• D(y) – область непрерывности
• Найти, охарактеризовать точки разрыва, выделить вертикальные
асимптоты
• Четность, нечетность
• Периодичность
• Промежутки возрастания, убывания; точки min, max
• Промежутки выпуклости, вогнутости; точки перегиба
• Наклонные асимптоты графика функции
• Дополнительные точки: 1) пересечение с осями координат
2) f(xmin), f(xmax)
3) f(xперегиб)
• Построение графика функции