Даны вершины треугольника АВС. Составить уравнения медианы, высоты угла А, а также уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. А(1; -1), В(4; 0); С (-2; 3). Решение 1) Точка Е лежит между точками С и В, следовательно, ее координаты равны полусумме координат этих точек Е(1; 3/2). По точкам А и Е проводим медиану - прямую АЕ: x xA y yA y ( 1) x 1 x 1 y 1 AE : ; ; ; x-1=0 xE x A yE y A 1 1 3 / 2 ( 1) 0 5/ 2 АЕ: x-1=0. 2) Найдем вектор СВ ={xВ-xС;yВ-yС}={ 4-(-2); 0 -3} = {6;-3}. Используем координаты точки А(1; -1) и вектор СВ ={6;-3} как вектор нормали, находим уравнение высоты АД: АД: 6(х-1)-3(y-(-1))=0; 6х-6-3y-3=0; 6x-3y-9=0 АД: 2х-y-3=0; 3) Найдем уравнения сторон: x xA y yA AB : ; xB x A yB y A x 1 y ( 1) x 1 y 1 ; ; x-1=3y+3 4 1 0 ( 1) 3 1 АВ: x-3y-4=0. x xA y yA y ( 1) x 1 x 1 y 1 AС : ; ; ; 4x-4=-3y-3 xС x A yС y A 2 1 3 ( 1) 3 4 АС: 4x+3y-1=0. x xB y yB x4 y 0 x4 y BС : ; ; ; 3x-12=-6y x С xB y С yB 24 30 6 3 ВС: x+2y-4=0. Уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам, будут отличаться от полученных уравнений свободным членом, который определим, подставляя координаты соответствующей вершины. а) Параллельно АВ x-3y+F=0, подставляя координаты С(-2; 3), получаем: -2-3*3+F=0 или F=11, Следовательно, искомое уравнение имеет вид: x-3y+11=0 б) Параллельно АС 4x+3y+F=0, подставляя координаты В( 4; 0), получаем: 4*4+3*0+F=0 или F=-16, Следовательно, искомое уравнение имеет вид: 4x+3y-6=0 c) Параллельно ВС x+2y+F=0, подставляя координаты А(1; -1), получаем: 1+2*(-1)+F=0 или F=1, Следовательно, искомое уравнение имеет вид: x+2y+1=0