Практикум по решению задач Задача №1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) одним из предложенных методов: метод Крамера метод обратной матрицы метод Гаусса Сделать проверку решения. x1 3x2 x3 8 4 x2 2 x3 8 x x 2x 8 2 3 1 Задача №2. Найти общее и частное решение неоднородной СЛАУ. Сделать проверку решения. x1 x2 3x3 2 x4 3x5 4 2 x 2 x 4 x x 3 x 6 1 2 3 4 5 3x1 3x2 5 x3 2 x4 3x5 6 2 x1 2 x2 8 x3 3x4 9 x5 14 Задача №3. Найти фундаментальный набор решений однородной СЛАУ. Сделать проверку решения. 3x1 x2 3x3 2 x4 5 x5 0 5 x 3x 2 x 3x 4 x 0 1 2 3 4 5 x1 3x2 5 x3 7 x5 0 7 x1 5 x2 x3 4 x4 x5 0 Пример решения типовой задачи к практическому заданию на тему «Матрицы» Найти произведение матриц Аи В: 1 2 A 1 3 1 5 , 5 2 4 3 2 2 3 4 3 2 2 1 B 2 1 2 1 7 3 . 4 3 3 2 Решение: Так как сомножители имеют размеры и имеет размеры 3 3 . Следовательно, с11 с AВ 21 с 31 с 41 4 4 и 4 3 , то их произведение определено с12 с13 с22 с23 с32 с33 с42 с43 1 (2) 2 (1) 2 (2) (1) 1 1 2 2 7 2 4 (1) 3 1 (1) 2 3 2 3 (1) 2 2 2 3 7 4 4 53 2 (1) 3 3 4 3 5 2 2 (2) 3 (1) 4 (2) 5 1 1 (2) 3 (1) 2 (2) 5 1 1 2 3 7 2 4 5 3 1 (1) 3 3 2 3 5 2 3 (2) 2 (1) 4 (2) (3) 1 3 2 2 7 4 4 (3) 3 3 (1) 2 3 4 3 (3) 2 9 21 9 10 56 29 4 46 24 19 27 9 Пример решения типовой задачи к практическому заданию на тему «Элементы аналитической геометрии» Задача: Пусть точка А(1; 3) – вершина квадрата АВСD, а его диагональ BD лежит на прямой х+2у-12=0. Требуется найти уравнения сторон АВ, ВС, СD и АD и координаты вершин В, С, и D. Сделать чертеж. Решение: Указание. Вспомним из школьного курса геометрии свойства диагоналей квадрата, которые будут использованы при решении этой задачи. Диагонали квадрата: 1) взаимно перпендикулярны; 2) делятся точкой своего пересечения – центром квадрата – пополам; 3) равны. Найдем уравнение прямой, на которой лежит АС – вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду y kx b , где параметр k – угловой коэффициент этой прямой (см.[4], формула (4.2), с.97). В силу свойства 1) диагоналей квадрата угловые коэффициенты k AC и k BD прямых АС и ВD связаны соотношением k AC k BD 1 (1) (см.[4], с.102). Найдем угловой коэффициент k BD . Для этого выразим у через х из данного уравнения прямой ВD: 1 1 2 y x 12 , откуда y x 6 . Итак, k BD . Поэтому из соотношения (1) получим, 2 2 1 2. что k AC k BD Теперь уже легко найти уравнение прямой АС. Нам известны координаты ее точки А и угловой коэффициент k AC . Используем уравнение прямой, проходящей через данную y y A k AC ( x x A ) точку в данном направлении: ([4], (4.4), с.98). Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: x A 1 , y A 3 , k AC 2 . Получим: y 3 2x 1 или (после упрощений) AC: y 2 x 1 С помощь свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра E квадрата – точки пересечения его диагоналей. Поскольку точка E лежит на диагонали АС, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки E должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки E должны удовлетворять системе из уравнений прямых AC и BD y 2 x 1. y 1 x 6 2 (первое – уравнение прямой АС, вторе – прямой BD). Далее, почленно вычитая второе 5 5 уравнение из первого, получим: 0 x 5 , откуда x 5 , значит х=2. Подставим 2 2 найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что y 5. Итак, мы нашли координаты точки E, центра квадрата: x E 2 , y E 5 , т.е. E(2; 5). Найдем длину отрезка AE – половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра на таком же расстоянии Е (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е – рис. 1. AE x A xE 2 y A yE 2 ([4], формула (3.5), с. 67). Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим , что Рис. 1 AE (1 2) 2 (3 5) 2 5 . Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде x x E 2 y y E 2 AE 2 ([4], формула (4;1), с. 105). Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата: ( x 2) 2 ( y 5) 2 5 Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата. Точки А и С лежат на пересечении найденной окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек – решения системы уравнений окружности и прямой: y 2x 1 2 2 ( x 2) ( y 5) 5 Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 2x 1 из первого уравнения. Получим: ( x 2) 2 (2 x 1 5) 2 5 откуда ( x 2) 2 (2 x 4) 2 5 , поэтому ( x 2) 2 4( x 2) 2 5 , т.е. 5( x 2) 2 5 , значит ( x 2) 2 1 . Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо (– 1). Поэтому x 2 1 и тогда x 3 , либо x 2 1 и тогда x 1. Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: xC 3 . Тогда из первого уравнения системы найдем ординату вершины С: yC 2 3 1 7 . Итак, найдена вершина С(3; 7). Аналогично, для нахождения координат вершин В и D надо решить систему, x 2 y 12 состоящую из уравнений прямой ВD и той же окружности: . 2 2 ( x 2) ( y 5) 5 Выразим из первого уравнения х через у: х = 12 – 2у и подставим полученное выражение во второе уравнение системы. Получим (аналогично решению предыдущей системы 4(у – 5)2 +(у – 5)2 = 5, откуда либо у – 5 = 1 и тогда у = 6, либо у – 5 = – 1 и тогда у = 4. При у = 6 первое уравнение системы дает х = 12 – 2у = 12 – 12 = 0, а при у = 4 аналогично получаем, что х = 4. Итак, получены два решения системы, пары(0; 6) и (4; 4). Однако из этих решений – координаты точки В, а второе – точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой В, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, что идут ли вершины А, В, С, D. в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно. Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: В (0; 6); D(4; 4). Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки М(хМ, yM) и N(хN, уN): y yM x xM y N y M x N xM (2) ([4], формула (4.6), с. 99) и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата. Уравнение прямой АВ получим, если в формуле (2) вместо точек М и N возьмем точки А и В: y yA x xA yB y A x B xA . y C 7 6 B(D) 4 3 0 Подставляя в это уравнение координаты вершин А(1; 3) и В(0; 6), находим: y 3 x 1 или у – 3 = – 3(х – 1), откуда у = – 6 3 0 1 3х + 6. Аналогично получаем уравнение других сторон. Теперь можем сделать чертеж – рис. 2. D(B) A 1 Рис. 2 3 4 x Ответ: В(0; 6); С(3; 7); D(4; 4); АВ: у = – 3х + 6; x ВС: y 6 ; 3 СD: у = – 3х + 16; x 8 DА: y . 3 3