lekziya13

Моделирование ЭМС с
применением определителя
Вандермонда
Математическое моделирование в
пространстве состояний
При
математическом
моделировании
систем управления, электромеханических,
энергетических
и
других
технических
систем, наибольшее внимание уделяется
моделям, которые отражали бы переходные
процессы
в системе.
В современной
теории управления широкое применение
получили модели пространства состояний.
Свойства
динамической
системы,
описываемые
моделями
пространства
состояний
во
многом
определяются
свойствами
матрицы
состояний
(параметров) А.
Для перехода к основным понятиям,
связанным
с
матрицей
состояния,
рассмотрим дифференциальное уравнение
первого порядка с нулевыми начальными
условиями х(0) и константой а:
Решение уравнения
В общем виде решение уравнения
dx
 ax
dt
получают
разделяя
переменные
и
осуществив
интегрирование
в
определенных пределах в следующем
виде:
x(t )  e
at
 x(0).
Для автономного стационарного объекта
процессы
описываются
матричным
уравнением состояния вида:
X

A

X
.
где А – матрица состояния размерности
n×n;
Х –вектор состояния.
По
аналогии
с
решением
дифференциального уравнения первого
порядка можно записать:
X (t )  e
At
 X (0)
где X(0) – вектор начальных условий.
Матричную функцию Ф(t) = eAt называют
фундаментальной
или
переходной
матрицей системы. Тогда решение можно
записать в виде:
X (t )  (t )  X (0).
Для систем с одним входом и одним
выходом
уравнения
состояния
и
наблюдения определяются выражениями
X  AX  BU ,
Y  CX  DU .
решение, которых записывают в виде
суммы составляющих:
X(t) = Ф(t)·X(0) + F(t),
Y(t) = C Ф(t)·X(0) +G(t),
(1)
(2)
Анализ решения
Здесь первые составляющие есть собственное
решение системы (свободные составляющие), а
вторые составляющие – вынужденные решения,
обусловленные
действием
входного
воздействия.
Как
следует
из
уравнений
(1
2),
фундаментальная матрица и ее вычисление
является ключом к нахождению временных
характеристик. Существуют различные подходы
для ее вычислений.
Определитель Вандермонда
К
ним
относится
метод
получение
матричной функции eAt, основанный на
теореме
разложения
функции
от
матрицы,
а
именно
разложение
фундаментальной матрицы в ряд:
Dn1 n1
D1
D2
f ( A)   E   A  ... 
A ,
D
D
D
где D – определитель Вандермонда:
D
1
1
..
1
1
2
..
n




,
n 1
n 1
n 1
1
2
..  n
λ1, λ2,…λn – собственные значения матрицы
А; D1 – определитель, получаемый из D
заменой элементов 1-й строки на f(λ1),
f(λ2)…, f(λn).
Характеристическое уравнение
Свойства
автономной
динамической
системы, представленной матричными
дифференциальными
уравнениями
состояния,
определяются
характеристическим уравнением
det( pI  A )  0,
корни
которого
совпадают
собственными значениями матрицы А.
с
их определяют из выражения
a11  
a 21
(  ) 
...
a n1
a12
...
a1n
a 22   ... a 2 n
 0.
...
...
...
an2
... a nn  
Временные характеристики
Временные характеристики системы F(t) и
G(t) определяют как реакцию системы на
управляющее
воздействие
в
виде
единичной
функции или единичного
импульса
при
нулевых
начальных
условиях, т. е. Х(0) = 0.
При единичном ступенчатом воздействии,
их находят в виде:
F(t) = (eAt – I)A-1B;
G(t) = C
At
(e
–
-1
I)A B+D
Анализ
динамики
RLC-ФНЧ
порядка методом Вандермонда
2-го
Воспользуемся методом Вандермонда для
решения
системы
дифференциальных
уравнений, описывающих процессы в схеме
коммутации ФНЧ 2-го порядка при
подключении его к источнику постоянного
напряжения
Схема коммутации ФНЧ 2-го
порядка
СДУ, описывающая процессы в
фильтре
Матричная форма СДУ
Характеристическое уравнение
R
1
 

L
L

1
1


C
R  C
R
1
1
R
 ( 
)

0
L R  C L  C R  L  C
2
Рассмотрим
случай
сопряженных корней
комплексно
Запишем
полный
и
частные
определители Вандермонда.
Определим детерминанты определителей
Находим отношение детерминантов
определителей
Запишем матричную функцию
Где E – единичная матрица.
Определим временные характеристики i(t)
и UC(t) :
Вывод
Решение, полученное с помощью метода
определителей Вандермонда, полностью
совпадает с решениями, найденными
классическим и операторным методами.
Прошу
провести
самостоятельную
проверку. Проведите выводы уравнений!?
Математическое
моделирование
электродвигателя постоянного тока в
пространстве состояний
Двигатель
постоянного
тока
при
определенных соотношениях постоянных
времени TM и TЭМ можно представить, как
исполнительный элемент системы, в виде
колебательного звена. Для такого звена
схема замещения имеет следующий вид:
Схема замещения
Уравнения состояний для данной схемы
можно записать в виде:
1
 diL (t )   R


 dt   L
L   iL (t )  1 
    U 1(t )




uC (t )  0

 duC (t )   1

0

 dt   C
где в соответствии со второй системой
электромеханических
аналогий
уравнений
Лагранжа
Максвелла
напряжение на емкостном элементе
аналогично
скорости
движения
координаты механизма, а ток моменту
(силе при линейном перемещении).
Тогда
решение
данной
системы
уравнений с использованием системы
MathGAD можно представить следующим
образом.
Исходные данные:
L : 1; R : 3; C : 0.5; U : 1.
Формирование матриц
3 1
1
1 0
A :
; B : ; E :
.
2 0
0
0 1
Определение корней характеристического
уравнения с использованием символьных
преобразований и
встроенной функции
polyroots математической системы MathGAD
3   1
2
A :
;    3  2  0
2
0
2
2
P : 3 ;  : polyroots ( P);  
1
1
Формируем определители Вандермонда,
его
производных
и
составляющих
матричной функции eAt:
1
1
D :
;
2 1
2 t
e
D1(t ) :
2
t
e
;
1
D 2(t ) :
e
D1(t )

D
1
e
( 2 t )
2 t
 2e
0
1
.
t
e
( t )
1
D 2(t )

( 2 t )
( t )
 e  2e
D
e
( 2 t )
e
1
( t )
;
0
;
( 2 t )
( t )
e  e
D1(t )
( 2 t )
( t )
  e  2e ;
D
D2(t )
( 2 t )
( t )
e e .
D
Определяем матричную функцию
D1(t )
D 2(t )
F (t ) :
E 
 A;
D
D
( 2 t )
( t )
( 2 t )
( t )
2e  e
e e
F (t ) 
( 2 t )
( t )
( 2 t )
( t )
2e  2e
 e  2e
Определяем временные характеристик
iL(t) и uC(t):
1
x(t ) : ( F (t )  E)  A  B;
( 2 t )
( t )
e  e
x(t )  ( 2t )
;
( t )
e  2e
i (t ) :  e
( 2 t )
uC (t ) : e
e
( 2 t )
( t )
;
 2e
( t )
.
Переходные характеристики
двигателя постоянного тока