программа вступительного в магистратуру (ПМиИ)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.П. ОГАРЁВА”
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ
И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАЦИОННЫМ ТЕХНОЛОГИЯМ
НАПРАВЛЕНИЕ 01.04.02 –
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
САРАНСК 2014
1
1. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
1.1 Функции булевой алгебры, и их реализация формулами СДНФ и СКНФ.
1.2 Замкнутые классы. Критерий полноты.
1.3 Графы. Матричное представление графов. Остов минимального веса и алгоритмы их нахождения.
1.4 Алфавитное кодирование. Алгоритмы построения оптимальных кодов и близких
к оптимальным кодам. Самокорректирующиеся коды.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
2.2 Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.
2.3 Устойчивость решений по Ляпунову. Примеры.
2.4 Устойчивость решений линейных однородных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.
3. РАЗДЕЛ "МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ"
3.1 Постановка основной задачи оптимального управления. Пример.
3.2 Изопериметрические задачи. Метод множителей Лагранжа.
3.3 Задача оптимального быстродействия. Принцип максимума Понтрягина.
3.4 Задачи вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления с подвижными концами.
3.5 Вариационный принцип Гамильтона.
4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
4.1 Одномерные случайные величины. Функции распределения. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон.
4.2.Многомерные случайные величины. Функции распределения. Числовые характеристики систем случайных величин. Ковариация случайных величин и коэффициент корреляции.
4.3 Неравенство Чебышева, закон больших чисел и предельные теоремы для сумм
независимых случайных величин.
4.4 Основные понятия математической статистики и выборочные характеристики.
Оценка математического ожидания, дисперсии, вероятности.
4.5 Марковский случайный процесс.
2
5 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
5.1 Методы аппроксимации и вычисления функций.
5.2 Численные методы решения задач линейной алгебры ( методы решения линейных систем, способы отыскания собственных значений ).
5.3 Сеточные методы решений уравнений в частных производных. Понятие аппроксимации, сходимости, устойчивости.
5.4 Численное интегрирование. Формулы Ньютона-Котеса, частные случаи.
5.5 Квадратурная формула типа Гаусса. Метод Рунге.
5.6 Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши. Схемы Эйлера,
Рунге-Кутта, Адамса.
5.7 Решение нелинейных уравнений (методы Ньютона, простой итерации, сопряженных градиентов).
5.8 Разностные схемы для эллиптических уравнений. Устойчивость и сходимость
задачи Дирихле.
6. РАЗДЕЛ "УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ"
6.1 Постановка задачи о малых поперечных колебаниях струны. Вывод уравнения
колебаний. Основные краевые условия.
6.2 Вывод уравнения поперечных колебаний мембраны. Краевые условия.
6.3 Метод Даламбера бегущей волны на примере колебаний бесконечной и полубесконечной струны.
6.4 Метод разделения переменных в задачах математической физики.
6.5 Постановка задачи о распространении тепла в стержне. Вывод уравнения теплопроводности. Начальные и граничные условия.
7 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
7.1 Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность Элементарных функций.
7.2 Свойства функций, непрерывных на промежутке. Теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Кантора.
7.3 Дифференцирование функций одной и многих переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функций одной и многих переменных.
7.4 Свойства функций, дифференцируемых на промежутке. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
7.5 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранжа, Коши.
7.6 Неявные функции. Теорема существования и дифференцируемости.
7.7 Определение интеграла по Риману. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
7.8 Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.
7.9 Криволинейные интегралы. Способы вычисления.
7.10 Формула Грина.
7.11 Вычеты. Основная теорема о вычетах.
3
8 ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА
8.1 Виды уравнений прямой на плоскости и в пространстве. Виды уравнений плоскости.
8.2 Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.
8.3 Классификация поверхностей второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
8.4 Определение группы, кольца, поля. Линейные (векторные) пространства.
8.5 Линейная независимость системы векторов, ее ранг. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе, их изменение при смене базиса.
8.6 Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений. Методы
Крамера, Гаусса и матричный метод решения систем линейных алгебраических
уравнений.
8.7 Линейные преобразования линейного конечномерного пространства, их матрицы. Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
8.9 Собственные числа и векторы линейного преобразования и его матрицы. Жорданова форма матрицы, ее нахождение.
9. Информатика
9.1 Понятие языка программирования и структуры данных.
9.2 Основные типы алгоритмов, их сложность.
9.3 Понятие архитектуры и основные виды архитектуры ЭВМ.
10. Языки программирования и методы трансляции
10.1 Основные понятия языков программирования: синтаксис, семантика, формальные способы описания языков программирования.
10.2 Концепция объектно-ориентируемого программирования.
10.3 Методы и основные этапы трансляции
11. Системное и прикладное программное обеспечение
11.1 Основные этапы, методы, средства и стандарты разработки программного
обеспечения.
11.2 Системы программирования (принципы организации, состав и схема работы).
11.3 Основные типы операционных систем.
11.4 Сети ЭВМ и протоколы передачи информации.
4
12. Базы данных и экспертные системы
12.1 Организация баз данных; модели данных; основные функции поддержки баз
данных.
12.2 Нормализация баз данных.
12.3 Языки запросов.
5