Метод функций Грина решения задач для

1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины в соответствии с ООП являются:
 получение студентами знаний об основных способах постановок
задач на основе законов сохранения,
для динамических
систем с
распределенными параметрами и описывающихся дифференциальными
уравнениями в частных производных;
 приобретение умения классифицировать основные типы уравнений;
 овладение основными методами аналитического решения краевых
задач для дифференциальных уравнений в частных производных;
 формирование у студентов мотивации к самообразованию за счет
активизации с помощью систем компьютерной математики самостоятельной
познавательной деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» относится к
профессиональному циклу дисциплин. Для изучения дисциплины необходимо
знание обязательного минимума содержания среднего (полного) образования
по математике, утвержденного приказом Минобразования № 56 от 30.06.99.
ПРЕРЕКВИЗИТЫ: «Математический анализ», «Алгебра и геометрия»,
«Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ». Дисциплина
«УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» является пререквизитом
для всех дисциплин профессионального цикла, которые идут позже.
3. Результаты освоения дисциплины
После изучения дисциплины в соответствии с ФГОС и ООП студент
должен:
знать:
какие процессы описываются уравнениями колебаний струны и мембраны,
тока и напряжения в длинных линиях, уравнениями гидродинамики,
уравнениями теплопроводности и диффузии, уравнениями
электромагнитного поля;
уметь:
классифицировать линейные дифференциальные уравнения в частных
производных и приводить уравнения к канонической форме, формулировать
краевые и начальные условия;
владеть:
основными методами аналитического решения краевых и нестационарных
задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных
для функций многих переменных.
Вариативная часть результатов освоения дисциплины:
знать возможности систем компьютерной математики по решению задач
математической физики (на примере MATLAB, COMSOL Multiphysics);
уметь формулировать задачи в графических интерфейсах пользователей
систем компьютерной математики.
2
В процессе освоения дисциплины у студентов развиваются следующие
компетенции:
1. Универсальные (общекультурные) (ОК – 1,2,3,4,9):
 способность обобщать, анализировать, воспринимать информацию,
ставить цели и выбирать пути ее достижения (ОК-1);
 быть готовым к категориальному видению мира, уметь
дифференцировать различные формы его освоения (ОК-2);
 логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь (ОК-3);
 быть готовым к кооперации с коллегами, работе в коллективе (ОК-4);
 стремиться к саморазвитию, повышению своей квалификации и
мастерства (ОК-9).
2. Профессиональные (ПК – 1,2,3,4,5,19):
 самостоятельно приобретать новые знания, используя современные
образовательные и информационные технологии (ПК-1);
 использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
постановке задач анализа стационарных и нестационарных систем с
распределёнными параметрами (ПК-2);
 понимать сущность и значение методов математической физики для
анализа систем различной природы: физических, химических, биологических,
экономических (ПК-3);
 владеть основными методами аналитического решения краевых и
нестационарных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных
производных для функций многих переменных (ПК-4);
 составлять и оформлять научно-техническую и служебную
документацию (ПК-5);
 использовать физико-математический аппарат для решения расчетноаналитических задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности по
моделированию, проектированию, анализу систем различной природы (ПК19);
4. Структура и содержание дисциплины
Таблица 1. Структура и содержание дисциплины.
№
Лекции Пр. зан. Сам. раб.
Разделы
п/п
(час.)
(час.)
(час.)
1.
Задачи,
приводящие
к
8
8
10
уравнениям различных типов.
Итого
(час.)
26
3
2.
3.
4.
5.
6.
Классификация уравнений в
частных производных
Методы решения задачи Коши
для волнового уравнения
Метод Фурье решения
краевых задач для уравнений
гиперболического и
параболического типа
Метод
функций
Грина
решения задачи Коши для
уравнений
параболического
типа
Метод функций Грина
решения задач для уравнений
эллиптического типа
Итого
6
6
10
22
4
4
10
18
14
14
30
58
7
7
14
28
6
6
16
28
45
45
90
180
Содержание разделов дисциплины в 6-ом семестре
1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
Рассмотрение законов сохранения энергии, массы импульса в различных
формулировках: законов Ньютона, Фурье (передача тепла), Нэрнста
(диффузия). Уравнения колебаний струны и мембраны. Уравнения
гидродинамики. Уравнения теплопроводности и диффузии. Выполнение
математических постановок задач по конкретным условиям из области
механики, термодинамики, гидродинамики.
2. Классификация уравнений в частных производных.
Классификация линейных уравнений с двумя независимыми переменными.
Приведение уравнений к канонической форме. Замена переменных.
Преобразование системы телеграфных уравнений к уравнениям второго
порядка. Преобразование системы уравнений Максвелла к системам
уравнений второго порядка.
3. Методы решения задачи Коши для волнового уравнения.
Метод Даламбера. Теорема об устойчивости решения задачи Коши от
начальных данных. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения
для бесконечной и полубесконечной областей.
4. Метод Фурье решения краевых задач для уравнений
гиперболического и параболического типа.
Основные свойства собственных функций и собственных значений
самосопряженных операторов и их применение для решения краевых задач.
Решение краевых задач для уравнений гиперболического типа методом
разделения переменных (уравнения и краевые условия однородные).
Решение неоднородных задач для уравнений гиперболического и
4
параболического типов. Решение задач в цилиндрической системе координат
(неоднородные уравнения, начальные и граничные условия).
5. Метод функций Грина решения задачи Коши для уравнений
параболического типа.
Построение задачи Коши на прямой для уравнений параболического типа.
Построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности через
функцию Грина на прямой и полупрямой, а также в трехмерном
пространстве.
6. Метод функций Грина решения задач для уравнений
эллиптического типа.
Вторая формула Грина. Свойства гармонических функций. Построение
функций Грина для полупространства, круга и сферы методом
электростатического изображения. Решение задачи о распределении
потенциала электростатического поля для круга.
5. Образовательные технологии
При освоении разделов дисциплины используется сочетание видов
образовательной деятельности (ОД) – лекция, лабораторная работа,
самостоятельная работа – с различными методами ее активизации (табл. 3).
Таблица 3. Сочетание видов ОД с различными методами ее активации
Практ.
Метод акт. ОД/Вид ОД
Лекция
С.Р.
занятие
IT-методы
+
+
+
Работа в команде
+
+
Case-study
+
+
Игра
Проблемное обучение
+
+
Контекстное обучение
+
+
Обучение на основе опыта
+
+
Индивидуальное обучение
+
Междисциплинарное
+
+
+
обучение
Опережающее обучение
+
От общего количества аудиторных занятий доля лекционных учебных
занятий составляет 40%, доля интерактивных – 60%.
6. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы студентов (CРC)
6.1. Самостоятельную работу студентов (СРС) можно разделить на
текущую и творческую.
5
Текущая СРС – работа с лекционным материалом, подготовка к
практическим занятиям с использованием сетевого образовательного ресурса
(портал ТПУ); опережающая самостоятельная работа; выполнение
индивидуальных домашних заданий; изучение тем, вынесенных на
самостоятельную проработку; подготовка к контрольной работе, экзамену.
Творческая проблемно-ориентированная самостоятельная работа
(ТСР) – поиск, анализ, структурирование информации по
индивидуальному заданию с использованием других интернет-ресурсов
(указано в п. 9.3).
6.2. Содержание самостоятельной работы студентов по дисциплине
В процессе изучения дисциплины студенты должны самостоятельно
овладеть следующими темами:
1. Возможности систем компьютерной математики (СКМ) по решению
задач математической физики (на примерах MATLAB, COMSOL
Multiphysics, Wolfram Mathematica);
2. Графические интерфейсы пользователей(GUI), указанных выше
СКМ.
6.3. Контроль самостоятельной работы
Промежуточный контроль знаний – теоретических и практических –
производится в процессе защиты студентами индивидуальных домашних
заданий. Рубежный контроль в виде компьютерного тестирования по
теоретической и практической части. По результатам текущего и рубежного
контроля формируется допуск студента к экзамену.
6.4.Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Для самостоятельной работы студентов используются сетевые
образовательные ресурсы, представленные на сайтах (указано в п. 9.3).
7. Средства (ФОС) текущей и итоговой оценки качества освоения
дисциплины
Фонд оценочных средств дисциплины (ФОС) состоит из средств
входного контроля знаний по дисциплинам-пререквизитам, текущего
контроля выполнения заданий и средств для промежуточной аттестации. Эти
средства содержат перечень вопросов, ответы на которые дают возможность
студенту продемонстрировать, а преподавателю оценить степень усвоения
теоретических и фактических знаний на уровне знакомства; заданий,
позволяющих оценить приобретенные студентами практические умения на
репродуктивном уровне; задач для оценки приобретенных студентами
когнитивных умений на продуктивном уровне.
Входной и выходной контроль знаний осуществляется в форме
компьютерного тестирования. Предусмотрено обязательное прохождение
централизованного федерального тестирования остаточных знаний по
дисциплине (http://www.fepo.ru).
6
8. Рейтинг качества освоения дисциплины
В соответствии с рейтинговой системой текущий контроль
производится ежемесячно в течение семестра путем балльной оценки качества
усвоения теоретического материала и результатов практической деятельности
(решение задач, выполнение заданий, решение проблем).
Промежуточная аттестация (экзамен) производится в конце семестра
также путем балльной оценки. Итоговый рейтинг определяется
суммированием баллов текущей оценки в течение семестра (60 баллов
максимум) и баллов промежуточной аттестации в конце семестра по
результатам экзамена (40 баллов максимум). Максимальный итоговый
рейтинг соответствует 100 баллам (текущая оценка в семестре +
промежуточная аттестация в конце семестра = 60 + 40). Рейтинг-план 6
семестра приведен в ПРИЛОЖЕНИИ.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля
1.
2.
3.
4.
9.1. Основная литература
Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.
– М.: Наука, 2010. – 432 с.
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по
математической физике. – М.: Наука, 2009.- 688 с.
Огородников А.С. Уравнения математической физики: Учебное
пособие. - 2-е изд. - Томск: ТПУ, 2010. - c. 96
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. – М.: Высшая
школа, 2010. – 206 с.
9.2. Дополнительная литература
1. Тихонов А.Н. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная
информация. – М.: Наука, 2007. – 200 с.
2. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных
работников и инженеров. – М.: Мир, 2005. – 384 с.
9.3. Программное обеспечение и Internet-ресурсы
1. MATLAB Release 2010b, PDE Toolbox.
2. Comsol MultiPhysics, User’s GUIDE
3. http://matlab.exponenta.ru/
4. http://matlab.exponenta.ru/forum/viewforum.php?f=4
5. http://orloff.am.tpu.ru/matlab/index.htm
6. http://e-le.lcg.tpu.ru/public/FEM_0911/index.html
10. Материально - техническое обеспечение дисциплины
Для выполнения самостоятельной работы студентам кафедрой ПМ
7
предоставляется 4 компьютерных класса (ауд. 102 – 105 корпуса ИК). В
классах установлены:
 18 ПК типа CPU Intel Quad Core i5-750 BOX, 2,8 GHz / Видеокарта
PCI-E Palit GeForce GTX 460 1024MB, мониторы LCD 24" BENQ, ОС –
Windows 7;
 11 ПК Intel Pentium D Dual Core 2,66 GHz, мониторы LCD 17" LG,
ОС – Windows XP ;
 8 ПК Intel Pentium 4 2,2 GHz, мониторы LCD 17" LG, ОС – Windows
XP.
Все ПК с помощью cетевого коммутатора CNet 16 ports объединены в
локальную сеть с автоматическим выходом в корпоративную сеть ТПУ и
глобальную сеть Интернет.
Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с
требованиями ФГОС по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И
ИНФОРМАТИКА».
Программа одобрена на заседании кафедры ПМ ИК ТПУ
(протокол № 176 от « 29 » сентября 2011 г.).
Автор – доцент кафедры прикладной математики Огородников
Александр Сергеевич
Рецензент – профессор кафедры прикладной математики Коваль
Тамара Васильевна
8