Тригонометрия Тригонометрия-это часть геометрии, где с помощью тригонометрических функций связываются элементы треугольника. Тригонометрия-это объект математического анализа, где тригонометрические уравнения изучаются методами алгебры. Этапы развития тригонометрии Тригонометрия в древности являлась вспомогательным разделом астрономии. Древнегреческие ученые разработали «тригонометрию хорд». Древнеиндийские ученые заменили хорды синусами. В VIII веке математики Востока превратили тригонометрию в самостоятельную математическую дисциплину. Ими были введены другие тригонометрические функции и составлены таблицы. Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л.Эйлера. Вопросы для повторения: Основные понятия Уравнения Неравенства Системы неравенств Основные понятия тригонометрическая градусы и радианы синус и косинус тангенс и котангенс окружность Тригонометрическая окружность y B + II I R=1 A C 0 x III IV D Градусы и радианы 2 90 ; 0 0 120 ; 3 60 ;0 + 2 0 3 3 135 ; 45 ; 5 4 0 0 4 150 ; 30 ; 6 6 x 00 ; 0 1800 ; 0 0 360 ; 2 7 0 11 0 210 ; 330 ; 6 7 6 5 0 0 315 5; 225 ; 0 4 4 4 300 ; 3 0 2400 ; 3 270 ; 3 2 y 0 Градусы и радианы 3 270 ; 2 y 0 1800 ; 00 ; 0 x 0 30 ; 6 0 45 ; 0 4 60 ; 0 3 90 ; 2 0 - Косинус и синус y t sint 0 cost x Тангенс y t - + 0 III tgt I II + sin t tgt cos t IV 0 x Котангенс y cos t ctgt sin t ctgt 0 t II I - + 0 + - III IV x Значения тригонометрических функций некоторых углов t 0 п/6 п/4 п/3 п/2 tg t 0 √3/3 1 √3 - ctg t - √3 1 √3/3 0 Основные тригонометрические тождества sin2x+cos2x=1 tg t = sin t / cos t, где t≠ п/2+пк ctg t = cos t / sin t , где t≠ пк tg t ∙ ctg t = 1, где t≠ пк /2 1+tg2 t=1/cos2t, где t≠п/2+пк, к э Z 1+ctg2t=1/sin2t, где t≠ пк, к э Z Тригонометрические функции углового аргумента а0=па/1800 рад. 10=п/1800 рад. 1 рад=1800 /п Угол в 1 радиан-это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, длина которой равна радиусу окружности. cost = a sint = a Уравнения Уравнение cost = a -1 t1 y a 0 1. Проверить условие | a | ≤ 1 1 x 2. Отметить точку а на оси абсцисс. 3. Построить перпендикуляр в этой точке. 4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью. 5. Полученные точки – решение уравнения cost = a. 6. Записать общее решение уравнения. -t1 t t1 2n, nZ Частные случаи уравнения cost = a cost = 1 π y 2 π -1 t 2n, 0 0 1 t n, x 2 nZ cost = 0 nZ cost = -1 π 2 t 2n, nZ Уравнение sint = a y 1. Проверить условие | a | ≤ 1 1 π-t1 t1 a 0 x 2. Отметить точку а на оси ординат. 3. Построить перпендикуляр в этой точке. 4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью. 5. Полученные точки – решение уравнения sint = a. 6. Записать общее решение уравнения. -1 t1 2n, n Z t t1 2n, n Z Частные случаи уравнения sint = a t 2n, 2 π y 2 1 sint = 1 nZ sint = 0 π t n, 0 0 -1 nZ x π 2 t 2n, 2 sint = -1 nZ Примеры уравнений 3 y -1 0 1 cos t 2 1 1 2 3 x t 2n, 3 nZ Примеры уравнений 5 6 y 6 1 sin t 2 1 2 -1 0 2 n , n Z 6 t 5 2n, n Z 6 1 x cost >a, cost ≤ a sint >a, sint ≤ a Неравенства Неравенство cost > a -1 t1 y a 0 -t1 1 x 1. Отметить на оси абсцисс интервал x > a. 2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу. 3. Записать числовые значения граничных точек дуги. 4. Записать общее решение неравенства. t t1 2n; t1 2n , nZ Неравенство cost ≤ a t1 -1 a 2π-t1 y 0 1 x 1. Отметить на оси абсцисс интервал x ≤ a. 2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу. 3. Записать числовые значения граничных точек дуги. 4. Записать общее решение неравенства. t t1 2n; 2 t1 2n, nZ Неравенство sint > a y 1 π-t1 t1 a 0 x 1. Отметить на оси ординат интервал y > a. 2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу. 3. Записать числовые значения граничных точек дуги. 4. Записать общее решение неравенства. t t1 2n; t1 2n , -1 nZ Неравенство sint ≤ a y 1 t1 3π-t1 a 0 x 1. Отметить на оси ординат интервал y≤a. 2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу. 3. Записать числовые значения граничных точек дуги. 4. Записать общее решение неравенства. t t1 2n; 3 t1 2n, -1 n Z Примеры неравенств y 6 -1 0 3 2 1 3 cos t 2 x 6 t 2n; 2n , 6 6 nZ Примеры неравенств 2 3 y 1 3 2 0 2 3 3 sin t 2 x -1 7 2 t 2n; 2n , 3 3 nZ Система неравенств: cost a, ta y sint b 1 π-tb tb b -1 a -ta 0 1 x 1. Отметить на окружности решение первого неравенства. 2. Отметить решение второго неравенства. 3. Выделить общее решение (пересечение дуг). 4. Записать общее решение системы неравенств. t tb 2n; ta 2n, -1 nZ Примеры систем y 1 6 3 , cost 2 sint 0 0 -1 0 3 2 1 x -1 t 2n; 2n , 6 nZ Заключение Основные понятия тригонометрическая градусы и радианы синус и косинус тангенс и котангенс Уравнения окружность Неравенства cost = a sint = a cost >a, cost ≤ a sint >a, sint ≤ a Система неравенств cost a, sint b