Определенный интеграл и его приложения Файл

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
г. Ростов-на-Дону
2011
При работе над типовым расчетом по теме: «Определенный интеграл и его приложения»
каждый студент должен выполнить один из предлагаемых ниже вариантов (№№1 – 30). Каждый
вариант состоит из следующих разделов:
1.
Теоретические вопросы (общие для всех вариантов)
2.
Теоретические упражнения.
3.
Примеры и задачи.
В разделе 2 теоретическое упражнение №2 выполнять по всем вариантам.
Варианты 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 содержат теоретические упражнения а).
Варианты 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 содержат ТУ в).
Варианты 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 содержат ТУ в с).
Варианты 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 содержат ТУ в д)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Понятие определенного интеграла, теорема его существования.
Простейшие свойства определенного интеграла. Теорема об оценке, теорема о
1.
2.
среднем.
3.
Формула Ньютона-Лейбница.
4.
Замена переменных в определенном интеграле.
5.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от
разрывных функций.
6.
Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной
трапеции.
7.
Длина дуги кривой.
8.
Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений. Объем тела
вращения.
9.
Площадь поверхности вращения.
10.
Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула трапеций. Формула
Симпсона.
11.
Механические приложения определенного интеграла.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Получить рекуррентную формулу для заданных интегралов. Вычислить I0 и I1. По
рекуррентной формуле найти I2 и I3.
∞
π⁄
2 𝑐𝑜𝑠nxdx;
а) In = ∫0 𝑥ne-α2x2 dx;
б) In = ∫0
в) In = ∫0
г) In = ∫0
π⁄
2 𝑠𝑖𝑛nxdx;
1 𝑥 𝑛 dx
;
√1−𝑥 2
2. Вывести формулу для дифференцирования функции:
𝑣(𝑥)
F(x) = ∫𝑢(𝑥) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡; (u(x) ≤v(x)).
3. Не вычисляя интегралов, определить их знак:
2
2𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑥
а) ∫−1 𝑥 3dx;
б) ∫0
π
в) ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥;
4.
𝑑𝑥;
𝑥 2 −2𝑥+4
;
Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
а)
б)
2
г) ∫0
𝑥
dx
1
1
∫0 √1 + 𝑥 2 𝑑𝑥
∫0 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 2 𝑑𝑥
1
∫0 𝑥𝑑𝑥;
или
или
1
∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥 ;
2
2
в)
∫1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
г)
∫2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥
3
2
или
∫1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥;
или
∫2 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥𝑑𝑥
3
5. Найти среднее значение функций на указанных промежутках:
а) f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1;
б) f(x) = a + b*cosx, -π≤ x ≤ π;
в) f(x) = sin2x, 0 ≤ x ≤ π;
г) f(x) = sin4x, 0 ≤ x ≤ π;
6. Найти следующие пределы:
а)
б)
в)
г)
lim
1
𝑛→∞ 𝑛
1𝑛
2
𝑛
𝑛
𝑛
+ … + √1 + );
𝑛
√(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) … 2𝑛;
lim
𝑛→∞ 𝑛
1
lim (
𝑛→∞ 𝑛+1
lim 𝑛(
𝑛→∞
1
(√1 + +√1 +
+
1
(𝑛+1)
1
𝑛+2
+
2
+ ⋯+
1
1
2𝑛
);
+…+
2
(𝑛+2)
1
(2𝑛)2
);
7. Пользуясь теоремами Гульдена
а) найти объем тела, образованного вращением полукруга радиуса R вокруг касательной,
параллельной диаметру;
б) найти площадь поверхностей и объемы колец, образованных вращением круга
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 ≤ 𝑅 2 вокруг Ox и Оу (a≥R, b≥R);
в) доказать, что центр тяжести треугольника стоит от его основания на одну треть высоты;
г)найти объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 и 8 вокруг
оси, проходящей чрез его вершину перпендикулярно диагонали.
8. Найти момент инерции:
а) окружности радиуса R относительно ее диаметра;
б) прямоугольника со сторонами a и b относительно только его сторон;
в) прямого параболического сегмента с основанием 2b и высотой h;
𝑥2
𝑦2
г) площади эллипса 𝑛2 + 𝑏2 = 1 относительно его главных осей.
1. Вычислить интегралы
1.1.
1.2.
1.3.
𝜋⁄
∫0 2 𝑠𝑖𝑛2 xcosxdx;
𝑒 1+ ln 𝑥
∫1 𝑥 dx;
3,5
𝑑𝑥
∫3 √6𝑥− 𝑥 2−8;
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
√3⁄
𝑑𝑥
∫1⁄ 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥√1− 𝑥 2;
2
1 3
∫−2 √3𝑥 + 5dx;
𝜋⁄
1
∫−𝜋⁄6 (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2)3 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥;
6
2 ln(3𝑥+4)
∫−1 3𝑥+4 𝑑𝑥;
3
𝑥𝑑𝑥
∫0 (𝑥 2+ 1)√𝑥 2+ 1 ;
1
∫0 √1 − 𝑥 2 dx;
√2⁄
𝑑𝑥
∫0 2 (1− 𝑥 2)√1− 𝑥 2 ;
3
∫2 √4𝑥 − 𝑥 2 − 3 𝑑𝑥;
2
1
∫0 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥;
𝑒 3 𝑙𝑛2 𝑥
∫1 𝑥 𝑑𝑥;
2
𝑑𝑥
∫2⁄ 𝑥√ 𝑥 2−1 ;
√3
√3 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥
;
∫0
𝑥2+ 1
1
4𝑥+5
𝑑𝑥;
∫0 3 2
√2𝑥 +5𝑥+1
0
𝑑𝑥
∫−2 𝑥 +3+√(𝑥 +3)3 ;
√
4⁄
3 √𝑥 2 − 4
𝑑𝑥;
∫2 √
𝑥
5
𝑑𝑥
∫1 𝑥+√ 2𝑥−1 ;
6
𝑑𝑥
∫1 1+√ 3𝑥−2 ;
𝜋⁄
𝑑𝑥
∫0 2 3+2𝑐𝑜𝑠𝑥 ;
1 𝑥𝑑𝑥
∫−1 √ 5−4𝑥 ;
𝑙𝑛8 𝑑𝑥
∫𝑙𝑛3 √ 𝑒 𝑥+ 1 ;
𝑙𝑛6 𝑒 𝑥 √ 𝑒 𝑥 − 2
1.24. ∫𝑙𝑛2
𝜋⁄
4
1.25. ∫0
𝑒 𝑥+ 2
𝑑𝑥
1+2𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑𝑥;
;
1
1.26. ∫−1 √3 − 2𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥;
1 𝑥 2 𝑑𝑥
1.27. ∫0
1.28.
;
√ 𝑥6+ 4
𝜋⁄
∫0 2 𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑑𝑥 ;
𝑒 sin(𝑙𝑛𝑥)
1.29. ∫1
1.30.
𝑥
1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∫0 1+ 𝑒 2𝑥 ;
𝑑𝑥;
2. Вычислить интегралы:
3
2.1. ∫1 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
1
2.2. ∫0 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ;
𝜋
2.3. ∫0 ⁄3 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋
2.4. ∫0 ⁄2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋
2.5. ∫0 ⁄2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋
2.6. ∫0 ⁄4
𝑥− 𝜋⁄4
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
;
1⁄
2.7. ∫0 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
1
2.8. ∫0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 ;
2
2.9. ∫1 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
𝑒 𝑙𝑛𝑥
2.10. ∫1
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
𝑑𝑥;
𝑥3
1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
∫0 √ 1+𝑥 𝑑𝑥;
𝜋⁄
∫0 4 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋⁄
𝑥𝑑𝑥
∫−𝜋⁄6 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ;
6
𝑒
∫1 𝑙𝑛2 𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋⁄
∫0 4 𝑒 3𝑥 𝑠𝑖𝑛4𝑥𝑑𝑥 ;
1
∫0 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋⁄
∫0 4 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋⁄
∫0 2 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 ;
1
∫0 𝑥 3 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 ;
𝑙𝑛2
∫0 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ;
2√ 3 √ 𝑥 2 + 4
𝑑𝑥;
∫2
𝑥2
1
∫0 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 ;
𝜋⁄ 𝑥𝑑𝑥
∫𝜋⁄ 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ;
4
𝑒−1
2.24. ∫0
2.25. ∫0√
ln(𝑥 + 1)𝑑𝑥 ;
7 𝑥 3 𝑑𝑥
𝑒
;
3
√𝑥 2 + 1
3
2.26. ∫1 𝑙𝑛 𝑥𝑑𝑥 ;
2
2.27. ∫1 𝑥 2 ln(𝑥 + 1)𝑑𝑥 ;
1 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
2.28. ∫0
2.29.
√ 𝑥+ 1
𝑒 𝑙𝑛𝑥
∫1 𝑥 𝑑𝑥;
√
𝑒 2 𝑙𝑛2 𝑥
2.30. ∫1
√ 𝑥2
𝑑𝑥;
𝑑𝑥.
3. Вычислить несобственные интегралы или установить их
расходимость:
∞
3.1.
∫1
3.2.
∫2
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
∞
𝑑𝑥
𝑥 2 (𝑥+1)
𝑑𝑥
;
;
𝑥√ 𝑥 2 − 1
∞ 𝑥3 + 1
∫1 𝑥 4 𝑑𝑥;
∞
𝑑𝑥
∫−∞ 𝑥 2 + 2𝑥+2 ;
∞ 𝑥𝑑𝑥
∫0 𝑥 3+1 ;
∞
∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑒 −4𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑒 −𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
2
∞
∫0 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑒 −√ 𝑥 𝑑𝑥 ;
∞ 𝑑𝑥
∫0 (𝑥+1)2 ;
∞
∫0 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ;
∞ 𝑑𝑥
∫2 𝑥𝑙𝑛3 𝑥 ;
∞ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
∫1 𝑥+1 ;
∞
∫0 𝑒 −𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑥 2 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 ;
∞
3.18. ∫0
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
𝑑𝑥
;
𝑥3+ 1
∞
𝑑𝑥
∫2 𝑥 2 + 𝑥−2 ;
∞ 𝑥𝑑𝑥
∫0 (𝑥 2+1)2 ;
∞
∫0 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
∞
𝑑𝑥
∫1 (𝑥+1) 𝑥 ;
√
∞ 𝑙𝑛(𝑥 2 +1)
3.23. ∫1
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
𝑑𝑥;
𝑥2
2
∞ 𝑥 𝑑𝑥
∫1 𝑥 6+ 1 ;
∞
𝑑𝑥
∫−1 𝑥 2 + 𝑥+1 ;
∞ 𝑑𝑥
∫2 𝑥𝑙𝑛𝑥 ;
∞
𝑑𝑥
∫−∞ 𝑥 2 + 4𝑥+5 ;
∞ 2+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥;
∫1
√𝑥
∞ 𝑑𝑥
∫𝑒 𝑥𝑙𝑛2 𝑥 ;
∞ 𝑙𝑛𝑥
∫𝑒 3 𝑥 𝑑𝑥.
√
4. Вычислить несобственные интегралы или установить их
расходимость:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
∞
∫1
𝑑𝑥
;
𝑥 2 (𝑥+1)
∞
𝑑𝑥
∫2 𝑥√ 𝑥 2− 1 ;
∞ 𝑥 3+ 1
∫1 𝑥 4 𝑑𝑥;
∞
𝑑𝑥
∫−∞ 𝑥 2 + 2𝑥+2 ;
∞ 𝑥𝑑𝑥
∫0 𝑥 3+ 1 ;
∞
∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑒 −4𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑒 −𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
2
∞
∫0 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑒 −√ 𝑥 𝑑𝑥 ;
∞ 𝑑𝑥
∫0 (𝑥+1)2 ;
∞
4.12. ∫0 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑑𝑥 ;
∞
4.13. ∫0 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ;
∞
4.14. ∫2
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
𝑑𝑥
;
𝑥𝑙𝑛3 𝑥
∞ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
∫1 𝑥+1 ;
∞
∫0 𝑒 −𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 ;
∞
∫0 𝑥 2 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 ;
∞ 𝑑𝑥
∫0 𝑥 3+ 1 ;
∞
𝑑𝑥
∫2 𝑥 2 + 𝑥−2 ;
∞
𝑥𝑑𝑥
∫0 (𝑥 2 +1)2 ;
∞
∫0 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 ;
∞
𝑑𝑥
∫1 (𝑥+1) 𝑥 ;
√
∞ 𝑙𝑛(𝑥 2 +1)
4.23. ∫1
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
𝑑𝑥;
𝑥2
2
∞ 𝑥 𝑑𝑥
∫1 𝑥 6+ 1 ;
∞
𝑑𝑥
∫−1 𝑥 2 + 𝑥+1 ;
∞ 𝑑𝑥
∫2 𝑥𝑙𝑛𝑥 ;
∞
𝑑𝑥
∫−∞ 𝑥 2 + 4𝑥+5 ;
∞ 2+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑥;
∫1
√𝑥
∞ 𝑑𝑥
∫𝑒 𝑥𝑙𝑛2 𝑥 ;
∞ 𝑙𝑛𝑥
∫𝑒 3 𝑥 𝑑𝑥.
√
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
𝑦 2 = x+1, 𝑦 2 +x=9;
𝑥𝑦 = 2, x + 2y = 5;
𝑥 2 + y = 4, y = 2x + 1;
𝑥 2 = y + 4, y= x + 8;
xy = 4, x + y = 5;
𝑥 2 + y = 6x, y = 0;
5.7.
5.8.
xy = 4√2, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 6x, x = 4, y = 0;
𝑥 2 + y = 2, 𝑦 3 = 𝑥 2 ;
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
𝑥 2 + 𝑦 2 + 6x + 8 ≤ 2y, y ≥ 𝑥 2 + 6x + 10;
𝑥 2 + y = 0, x + y + 2 = 0;
𝑥 2 = 9y, 3y = x + 6;
𝑥 2 = 2y, (1 + 𝑥 2 )y = 1;
4y = 𝑥 2 , 𝑥 2 + 2y = 6;
4y = 𝑥 2 , 𝑥 2 + + 2y = 6x;
y = 𝑒 𝑥 , y = 𝑒 −𝑥 , x = 1;
𝑥𝑦 = 20, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 41;
𝑥 2 + y = 2; 𝑦 2 = 𝑥 3 ;
y = ln 𝑥, x = e, y = 0;
𝑥 2 y = 16, 𝑥 2 + y = 17;
𝑥 2 + 𝑦 2 + 6x + 8 ≤ 2y, y ≥ 𝑥 2 + 6x + 10;
y = 𝑥 2 + 1, 2𝑥 2 + y = 13;
xy ≥ 1, y = 𝑥 2 , y = 4;
y = sinx, y = cosx, x = 0;
xy = 3, x + y = 4;
𝑦 2 + 8x = 16, 𝑦 2 = 48 + 24x;
𝑦 2 = 4𝑥 3 , y = 2𝑥 2 ;
y = 𝑒 −𝑥 , x = 1, x = 2, y = 0;
𝑦 2 = 3x, 𝑥 2 = 3y;
2𝑥 2 + x + y = 6, y = x + 2;
y = 𝑥 2 , 3y = 𝑥 3 .
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
x = 2𝑐𝑜𝑠 3 t, y = 2𝑠𝑖𝑛3 t;
x = 12cost + 5 sint, y = 5cost – 12 sint;
3x = t(3 – 𝑡 2 ), y = 𝑡 2 (петли);
x = 2cost, y = 4sint;
2x = 𝑡 2 + 1, y = 5(𝑡 3 – 3t) (петли);
x = t, y(4 + 𝑡 2 ) = 8, y = 0;
x = 3(t – sint), y = 3(1 – cost), y = 0;
x = 3sint, 2y = sin2t;
3x = t(6 – t), 8y = 𝑡 2 (6 – t) (петли);
2x = 3cost – cos3t, 2y = 3sint – sin3t;
x = 2cost(1 + cost), y = 2sint(1 + cost);
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
x = 3𝑡 2 , y = 3t – 𝑡 3 (петли);
x = 2cost, y = 𝑠𝑖𝑛3 t;
x = 3𝑐𝑜𝑠 3 t, y = 3𝑠𝑖𝑛3 t;
x = 3cost + cos3t, y = 3sint – sin3t;
x = 2(t – sint), y = 2(1 – cost), y = 0;
2
6.17. x = 4( t – sint),
𝜋
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
y = 4 – 4cost (петли);
x = 2t – 𝑡 2 , y = 2𝑡 2 – 𝑡 3 (петли);
x = cost – 5cos2t, y = sint – 5sin2t;
x = 2cost, y(2 + sint) = 2𝑠𝑖𝑛2 t;
x = 3sin2t, y = 3sint (петли);
x = 𝑡 2 – 1, y = 𝑡 3 – t (петли);
x = 2cost, y = 4sint𝑐𝑜𝑠 2 t;
x( 𝑡 2 + 1) = 𝑡 2 , y( 𝑡 2 + 1) = t(1 – 𝑡 2 ) (петли);
x = 𝑡 2 , 3y = 3t – 𝑡 3 (петли);
2x = t – sint, 2y ≤ 1 – cost, y ≥ 0;
x(1 + 𝑡 3 ) = 6t, y(1 + 𝑡 3 ) = 6𝑡 2 (петли);
x = 2cost, y = 3𝑠𝑖𝑛3 t;
𝑡
𝑡
4
4
6.29. x = 2𝑐𝑜𝑠 3 , y = 2𝑠𝑖𝑛3 ;
6.30. x = ln 𝑡, y = cos(ln 𝑡), x = 0, y = 0;
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
(в полярных координатах)
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
r = 2(1 – cos𝜑), r = 4;
r = 3(1 + cos𝜑);
r = 3(1 – cos𝜑), r = 3cos𝜑;
𝑟 2 = 4cos2𝜑;
r = 5(1 + sin𝜑);
𝑟 2 = 8cos2𝜑, r ≥ 2;
7.7.
r = 2cos𝜑, 𝜑 = 0, 𝜑 = ;
𝜋
𝜋
𝜋
6
3
4
𝜋
7.8.
rcos(𝜑 – ) = 4, 𝜑 = , 𝜑 = ;
7.9.
r = 2 𝜑 (одного витка);
7.10. r = 6sin𝜑,
𝜑=
𝜋
6
6
(меньшая часть);
7.11. r = 2𝑐𝑜𝑠3 𝜑 ;
7.12. r = 3𝑐𝑜𝑠 𝜑, r = 6cos𝜑 ;
7.13. r = 4sin2𝜑;
𝜑=
7.14. r = 4(1 + cos𝜑),
𝜋
(меньшая часть);
4
7.15. r = 3(1 – sin𝜑), r = 3sin𝜑;
7.16. D1: r = 3+ cos4𝜑, D2: r = 2 – cos4𝜑, D = D1 D2;
7.17. r = 2sin3𝜑;
7.18. r = 3(1 – sin𝜑), r = 3cos𝜑;
7.19. r = 2𝑐𝑜𝑠5 𝜑 ;
7.20. r = 3(1 – cos𝜑), 0 ≤ 𝜑 ≤
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
3𝜋
4
;
r = 4𝑐𝑜𝑠2 𝜑 ;
3r = 2(2 + cos𝜑);
r = 2cos𝜑, r ≥ 1;
r = 3(1 + sin𝜑), r = 6;
r = 6sin𝜑, r ≥ 3;
r = 2(1 – sin𝜑);
𝜑
7.27. r = 𝑠𝑖𝑛2 ;
2
7.28. r = 4 tg𝜑,
𝜋
𝜑= ;
4
7.29. r = 2+ cos𝜑;
𝜋
7.30. r = 8cos𝜑, 0 ≤ 𝜑 ≤ .
3
8. Вычислить длину всей линии, если она замкнутая, или длину дуги
линии L1 между точками пересечения ее с линией L2:
8.1. 2y = 𝑥 2 (L1), y = 18 (L2);
8.2. r = 3(1 – cos𝜑);
8.3. x = ( 𝑡 2 – 2) sint + 2tcost, y = (2 – 𝑡 2 ) cost + 2tsint, от t1 = 0 до
𝜋
t2 = ;
2
8.4. (𝑦 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)2 = 1 – 𝑥 2 ;
8.5. r = 𝜑 2 , 𝜑1 = 0 , 𝜑2 = 𝜋;
8.6. x = 6cost + 8sint,
4
8.7. y = 0,4x √𝑥 𝜑
24
3
√𝑥 3 (L1),
8.8. x = 2𝑐𝑜𝑠 3 ,
3
8.9. x = 𝑡 2 ,
8.10.
y = 6sint – 8cost,
y=t-
𝜑1 = 0 ,
𝑡3
3
5𝑦 3 = 𝑥 2 (L1),
y = 0 (L2);
𝜋
𝜑2 = ;
2
;
𝑥 2 + 𝑦 2 = 6 (L2);
𝜋
t1 = 0, t2 = ;
2
8.11.
r𝜑 = 1, 𝜑1 = 0 ,75,
𝑡
4
𝜑2 = ;
3
𝑡
8.12.
x = 𝑒 cost, x = 𝑒 sint, t1 = 0, t2 =ln 𝜋;
8.13.
y + ln 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1, x1 = 0, x2 = ;
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
r = 5𝜑 (одного витка);
x = 2(t – sint), y = 2(1 – cost), 0 ≤ t ≤2 𝜋;
3𝑦 2 = x(𝑥 − 1)2 (петли);
r = 2(1 + cos𝜑);
x = 2𝑐𝑜𝑠 3 𝑡, y =2𝑠𝑖𝑛3 t;
8.19.
8.20.
y = √𝑥 − 𝑥 2 + arcsin√𝑥;
r = 1 – sin𝜑;
8.21.
x=
8.22.
y = ln 𝑠𝑖𝑛𝑥,
8.23.
3r =
𝜑
𝑠𝑖𝑛3 ;
3
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
8.28.
8.29.
8.30.
x = 2cost – cos2t, y = 2sint – sin2t, 0 ≤ t ≤ 𝜋;
3𝑦 2 = 2(𝑥 − 1)3 (L1), 3𝑦 2 = x (L2);
r = 4(1 + sin𝜑);
x = 2(cost + tsint), y = 2(sint – tcost), t1 = 0, t2 = 𝜋;
y = 2 + 𝑒 𝑥 , x1 = 0, x2 =1;
r = 1 – cos𝜑;
x = 0,2𝑐𝑜𝑠 5 𝑡, y = 0,2𝑠𝑖𝑛5 𝑡.
𝜋
6
𝑡3
3
– t, y = 𝑡 2 + 2, t1 = 0, t2 =3;
𝜋
𝜋
4
3
x1 = , x2 = ;
9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг указанной
оси части плоскости, ограниченной заданными линиями:
9.1.
y = √𝑥𝑒 𝑥 , x = 1, y = 0, Ox;
9.2.
9.3.
9.4.
x = √5𝑡 2 , y = √5 lnt, x = 0, y = 0, Oy;
𝑟 2 = 4cos4𝜑, r;
2𝑦 = 𝑥 2 , 8y = 𝑥 3 , Ox;
9.5.
9.6.
9.7.
𝑥 = √2𝑐𝑜𝑠𝑡, y = √2sin2t, y = 0, Ox;
𝑦 + 1 = 𝑒 −2𝑥 , y = 𝑒 −𝑥 + 1, x = 0, Ox;
x = 5𝑐𝑜𝑠 3 𝑡, y = 5𝑠𝑖𝑛3 𝑡, Oy;
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
r = √2𝑠𝑖𝑛2 𝜑, r;
2y = 𝑥 2 , 2x + 2y = 3, Ox;
y(𝑥 2 + 16) = 64, 𝑥 2 = 8y, Ox;
x = 2(t – sint), y = 2(1 – cost), y = 0, 0 ≤ t ≤2 𝜋, Ox;
3
3
3
3
3
9.12. y = sinx, y = 0, 0 ≤ x ≤ 𝜋, Oy;
9.13. xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0, Ox;
9.14. x = 2t – 𝑡 2 , y = 4t – 𝑡 3 , Ox;
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
2y = 3√4 − 𝑥 2 , 𝑥 2 + 4y = 4, Oy;
2y = 𝑒 −𝑥 + 𝑒 𝑥 , y = 0, x = 1, x = -1, Ox;
x = 0,25(2cost – cos2t), y = 0,25(2sint – sin2t);
y = x + 1, y = cosx, y = 0, Ox;
9.19. y =
𝑥2
2
+ 2x + 2, y = 2, Oy;
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.
4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36, Ox;
y = 𝑒 −𝑥 , x = 0, x = 1, Oy;
𝑥 4 + 𝑦 4 = 4𝑥 2 , Ox;
𝑦(1 + 𝑥 2 ) = 1, 2y = x, x = 0, Oy;
𝑦 = 𝑥 2 , 9y = 𝑥 2 , y = 1, Ox;
9.25.
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
x = √3𝑡 2 , y = √3 ln 𝑡, x = 0, y = 0, Ox;
x + y = 2, y = 𝑥 3 , y = 0, Ox;
y = 2 – 𝑥 4 , y = 𝑥 2 , Ox;
𝑥 4 + 𝑦 4 = 𝑥 3 , Ox;
𝑦 = 23𝑥 , 0 ≤ x ≤1, Ox;
y = 𝑥 2 , 𝑥 2 + y = 2, Oy.
10.
10.1.
10.2.
3
3
Найти площадь поверхности, образованной вращением
линии вокруг указанной оси:
4y = 𝑒 −2𝑥 + 𝑒 2𝑥 от x = 0 до x = 5 вокруг Ox;
𝑦 2 = x, 0 ≤ x ≤0,75, вокруг Ox;
1
10.3.
𝑥 = (2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡);
8
0 ≤ t ≤2π, вокруг Ox;
{
1
(2𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑦=
− 𝑠𝑖𝑛2𝑡).
8
10.8.
4x + 2ln 𝑦= 𝑦 2 , 0 ≤ y ≤e, вокруг Ox;
y = sinx, 0 ≤ x ≤π, вокруг Ox;
ρ = sin𝜑 вокруг полярной оси;
𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 ;
вокруг Ox;
{
𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛3 𝑡.
3y = 𝑥 3 , 0 ≤ x ≤1, вокруг Ox;
10.9.
ρ√3 = 𝑠𝑒𝑐 2 , 0 ≤ 𝜑 ≤ , вокруг полярной оси;
2
2
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.10. {
𝜑
π
𝑥 = 𝑡 2 + 1;
вокруг Ox (петли);
𝑦 = 𝑡(3 − 𝑡 2 ) .
10.11. 3𝑦 2 = 𝑥(1 − 𝑥)2 , вокруг Ox (петли);
𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠𝑡;
10.12. {
вокруг Ox;
𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛𝑡 .
10.13. 9ρ = sin2𝜑 вокруг полярной оси;
𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡;
π
10.14. {
0 ≤ 𝑡 ≤ , вокруг Ox;
𝑡
2
𝑦 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡 .
4𝑥 = 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡;
10.15. {
0 ≤ t ≤2π, вокруг Ox;
4 𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 .
10.16. 4𝑥 2 + 𝑦 2 + 4 вокруг Oy;
π
10.17. y = tgx, 0 ≤ 𝑥 ≤ , вокруг Ox;
4
2
2
10.18. 𝑥 + (𝑦 − 4) = 1, вокруг Ox;
4𝑥 = 𝑡𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑡;
10.19. {
0 ≤ t ≤π, вокруг Ox;
4𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 − 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 .
10.20. y = 𝑒 −𝑥 , x ≥ 0, вокруг Ox;
10.21. 2ρ = 1 + cos𝜑 вокруг полярной оси;
t
2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 + ln 𝑡𝑔 ;
2
10.22. {
вокруг Ox;
2𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 .
2
2
2
10.23. 𝑥 3 + 𝑦 3 = 2−3 вокруг Oy;
3𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑐𝑜𝑠3𝑡;
π
10.24. {
0 ≤ 𝑡 ≤ , вокруг Ox;
2
3𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛𝑡 − 𝑠𝑖𝑛3𝑡.
2
10.25. 𝜌 = 4cos2𝜑 вокруг полярной оси;
10.26. 9𝑦 2 = 5𝑥(0,6 − 𝑥)2 вокруг Oy;
4𝑥 = 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡;
10.27. {
0 ≤ t ≤2π, вокруг оси симметрии;
4 𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 .
10.28. 4𝑥 2 + 𝑦 2 + 4 вокруг Ox;
2𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑐𝑜𝑠3𝑡;
π
10.29. {
0 ≤ 𝑡 ≤ , вокруг Oy;
2
2𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛𝑡 − 𝑠𝑖𝑛3𝑡.
𝑥
2
−
10.30. y = 𝑒 , x ≥ 0 вокруг Ox;
11.
Вычислить интеграл по формуле Симпсона (n = 8 – 12):
1,6
11.1. ∫0,8
11.2.
;
√2𝑥 2 + 1
2,7
𝑑𝑥
;
∫1,2 2
√𝑥 + 3,2
2
11.3. ∫1
11.4.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
;
√2𝑥 2 + 1,3
1,2 𝑑𝑥
∫0,2 √𝑥 2+ 1;
1,4
𝑑𝑥
11.5. ∫0,8
11.6.
2,1
𝑑𝑥
11.7. ∫1,4
11.8.
;
√2𝑥 2 + 3
1,2
𝑑𝑥
;
∫0,4
√2+0,5𝑥 2
;
√3𝑥 2 − 1
2,4
𝑑𝑥
;
∫1,2
√0,5+ 𝑥 2
1,2
𝑑𝑥
11.9. ∫0,4
11.10.
11.11.
11.12.
11.13.
2,2
𝑑𝑥
11.14. ∫1,4
11.15.
11.16.
1,6
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
1,7
2
11.22. ∫1,2
𝑑𝑥
;
√0,5𝑥 2 + 1,5
3,6 𝑑𝑥
∫2,1 √𝑥 2− 3;
2,5
𝑑𝑥
;
∫1,3
√0,2𝑥 2 + 1
1,4
𝑑𝑥
;
√1,2𝑥 2 + 0,5
2,1
𝑑𝑥
∫1,3 √3𝑥 2 − 4;
2,6
𝑑𝑥
;
∫1,4
√1,5𝑥 2 + 0,7
0,5
11.28. ∫0,15
11.29.
;
√2𝑥 2 + 0,3
𝑑𝑥
11.25. ∫0,6
11.27.
;
√2𝑥 2 + 0,7
4
𝑑𝑥
;
∫3,2
√0,5𝑥 2 + 1
11.21. ∫0,8
11.26.
;
√𝑥 2 + 1,2
11.19. ∫1,4
11.24.
;
√𝑥 2 + 0,8
2
11.18. ∫1,2
11.23.
;
√3𝑥 2 + 1
1,8 𝑑𝑥
∫0,8 √𝑥 2+ 4;
2,2
𝑑𝑥
;
∫1,6 2
√𝑥 + 2,5
11.17. ∫0,6
11.20.
;
√3+ 𝑥 2
1,5
𝑑𝑥
∫0,6 √2𝑥 2 + 1;
3,5 𝑑𝑥
∫2 √𝑥 2− 1;
1,3 𝑑𝑥
∫0,5 √𝑥 2+ 2;
2,6
𝑑𝑥
;
∫2,2 2
√𝑥 + 0,6
𝑑𝑥
;
√2𝑥 2 + 1,6
2,5 𝑑𝑥
∫2,3 √𝑥 2− 4;
0,64
11.30. ∫0,32
𝑑𝑥
.
√𝑥 2 + 2,3
12.
Найти абсциссу или ординату центра тяжести.
Найти абсциссу центра тяжести фигуры ограниченной линиями:
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, x = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);
𝑦 2 = 8𝑥 3 - 4𝑥 4 ;
𝑥2
16
+
𝑦2
9
= 1, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);
π
y = cosx, x = 0, y = 0 (0 ≤ x ≤ );
2
π
π
y = sinx, x = , y = 0 (0 ≤ x ≤ );
2
2
2
2
12.6.
𝑦 = 20x, 𝑥 = 20y;
12.7.
√𝑥 + √𝑦 = √3, x = 0, y = 0;
𝑥 = 6𝑐𝑜𝑠𝑡;
x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0);
{
𝑦 = 4𝑠𝑖𝑛𝑡 .
12.8.
Найти ординату центра тяжести фигуры, ограниченной линиями:
12.9.
12.10.
𝑥 2 + 9𝑦 2 = 9, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9, x = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);
𝑥2
+
9
𝑦2
25
= 1, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);
π
12.11. y = cosx, x = 0, y = 0 (0 ≤ x ≤ );
2
1
2
1
2
12.12. 𝑥 + 𝑦 = 2, x = 0,
y = 0;
π
π
2
2
12.13. y = sinx, x = , y = 0 (0 ≤ x ≤ );
2
𝑥 + 4y - 16 = 0, y = 0;
𝑦 2 = x, 𝑥 2 = y;
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, y = 0 (y ≥ 0);
y = 2x - 𝑥 2 , y = 0;
𝑥 = 2(𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡);
12.18. {
y = 0 (0 ≤ t ≤ 2π);
𝑦 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) .
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡;
12.19. {
x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≤ 0);
𝑦 = 6𝑠𝑖𝑛𝑡 .
12.20. y = 4 - 𝑥 2 , y = 0;
12.14.
12.15.
12.16.
12.17.
Найти абсциссу центра тяжести дуги кривой:
𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 ;
12.21. {
лежащей в первом координатном угле;
𝑦 = 3𝑠𝑖𝑛3 𝑡.
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡;
12.22. {
лежащей во втором координатном угле;
𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑡.
12.23. y = 2ch
x
от x = 0 до x = 2;
2
Найти ординату центра тяжести дуги:
12.24. y = 4ch
x
от x = -4 до x = 4;
4
𝑥 = 3(𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡);
(0 ≤ t ≤ 2π);
𝑦 = 3(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) .
𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 ;
12.26. {
лежащей в первом координатном угле;
𝑦 = 5𝑠𝑖𝑛3 𝑡.
12.25. {
12.27. y = √25 − 𝑥 2 от x = -5 до x = 5;
12.28. 𝑦 2 = 9 - 𝑥 2 , от x = 0 до x = 3 лежащей в первом
координатном угле;
2
3
2
3
2
3
12.29. 𝑥 + 𝑦 = 3 , расположенной над осью Ох;
𝑥
𝑥
12.30. y = 𝑒 2 + 𝑒 −2 от x = 0 до x = 2.
13.
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
Решить задачу:
Найти работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из
полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м.
Найти работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из
цилиндрической цистерны, имеющей радиус основания 2 м и
высоту 3 м.
Найти работу, необходимую для того, чтобы вытащить из
воды конус, подвешенный на канате так, что вершина его
находится на поверхности воды. Удельный вес конуса 𝛾 = 3
Т⁄ , радиус основания R = 2 м, высота Н = 6 м.
м3
Найти работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из
корыта, имеющего форму полуцилиндра. Радиус цилиндра R
= 2 м, длина l = 6 м.
13.5.
13.6.
13.7.
13.8.
13.9.
13.10.
13.11.
13.12.
13.13.
13.14.
13.15.
13.16.
Найти работу, необходимую для того, чтобы вытащить из
воды шар радиуса R = 3 м, и удельным весом 𝛾 = 1 Т⁄ 3 ,
м
погруженный в воду так, что он касается ее поверхности.
Котел имеет форму параболоида вращения глубиной Р = 0,5 м
и радиусом основания R = 0,4 м. Найти работу, необходимую
для того, чтобы выкачать воду из такого наполненного котла.
Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из
ямы, имеющей форму конуса (с вершиной на дне), высота
которого Н = 2 м, а радиус основания R = 0,3 м.
Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 4
см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1
см?
Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на 0,08
м, если для ее сжатия на 0,04 м была затрачена работа А =
32Дж.
Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на
0,1м если для ее сжатия на 0,04 м нужна сила F = 20Н.
Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 6
см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 см?
Определить силу давления воды на вертикальную стенку,
имеющую форму полукруга радиуса R = 6м, диаметр которого
находится на поверхности воды.
Определить силу давления воды на вертикальный
прямоугольный шлюз с основанием 8м и высотой 6м.
Определить также давление на нижнюю половину шлюза.
Определить силу давления воды на вертикальную
треугольную площадку с основанием 10м и высотой 4м, если
основание расположено на поверхности воды.
Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием 20м,
нижним 10м и высотой 6м. Определить давление воды на
плотину.
Определить давление воды на вертикальный параболический
сегмент, основание которого равно 4м и расположено на
поверхности воды, а вершина находится на глубине 4м.
13.17. Найти глубину х на которой прямоугольный шлюз высотой 3м
разделится горизонтально на такие две части, на которые
вода производит одинаковое давление.
13.18. Определить силу давления воды на вертикальную площадку,
имеющую форму равнобедренной трапеции с основаниями
1м и 7м и высотой 2м. Меньшее основание находится на
поверхности воды.
13.19. Треугольная пластинка с основанием 20см и высотой 40см
погружена вертикально в воду так, что вершина ее лежит на
поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить
силу давления воды на пластинку.
13.20. Силой 80Н пружина растягивается на 0,02м. Первоначальная
длина пружины 0,15м. Какую работу нужно совершить, чтобы
растянуть ее до 0,2м?
13.21. Для растяжения пружины на 0,04м необходимо совершить
работу 20Дж. На какую длину можно растянуть пружину,
совершив работу в 80Дж?
13.22. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны,
имеющей форму цилиндра с горизонтальной осью, если
плотность масла ρ = 900кг⁄ 3 , длина цистерны Н = 3м и
м
радиус основания R = 1м.
13.23. Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью наполовину
наполнена маслом (ρ = 900кг⁄ 3 ). Определить давление
м
масла на каждую из плоских стенок цилиндра, если радиус
его равен 2м.
13.24. Найти давление на пластинку, имеющую форму
равнобедренной трапеции с верхним основанием а = 5м,
нижним b = 8м, высотой h = 2м, если пластинка погружена в
жидкость с плотностью ρ = 900кг⁄ 3 вертикально так, что
м
верхнее основание находится на глубине 1м от поверхности
воды.
13.25. В жидкость с плотностью ρ = 900кг⁄ 3 погружена круглая
м
пластинка диаметром d = 2м, касающаяся поверхности
жидкости. Найти давление жидкости на пластинку.
13.26. Найти силу давления воды на вертикальный эллипс с осями
2а = 10м и 2b = 8м, центр которого погружен в воду на
глубину h = 7м, причем большая ось эллипса параллельна
уровню воды.
13.27. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус с
радиусом основания R = 3м и высотой Н = 5м, погруженный в
воду вершиной вниз так, что его основание находится на
поверхности воды.
13.28. За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с
площадью основания S = 420см2 и высотой Н = 40см, вытечет
через отверстие на дне площадью S = 2см2 ? (µ = 0,6).
13.29. За какое время вытечет вода из конической воронки высотой
Н = 40см, радиусом нижнего основания r = 0,3см и верхнего R
= 6см? (µ = 0,6).
13.30. За какое время вода, наполняющая чашу формы полушара с
радиусом 40см, вытечет из отверстия на дне площадью 2
см2?( µ = 0,8).
*) Указание: скорость истечения жидкости при уровне ее на
высоте x см определяется по формуле ѵ = µ√2𝑔𝑥, где µ коэффициент, зависящий от вязкости жидкости, формы
сосуда и отверстия.