Сравнение бесконечно малых функций Порядок малости (x) относительно ( x) x при x 0 ? 3 x3 ( x) 1 x m -порядок малости (x) ( x) x относительно ( x) x a, x a ( x) lim ( x a) Порядок малости xa 3 x3 ( x) lim lim lim m m m x0 x 0 (1 x) x x 0 ( x 0) x ( x) ? ? m ?A 0 A0 m? Вычисление предела 3/ 2 3 x 3x 3 / 2 m 3 1 0 lim m lim x x0 1 x x 0 (1 x) x 3/ 2 x lim 3 3 lim m x0 x0 1 x x Теорема 9 ? ? ? о пределе произведения lim f ( x) B xa lim g ( x) C x a lim f ( x) g ( x) B C x a 0, m 3 / 2 1, m 3 / 2 , m 3 / 2 ? m 3/ 2 1 cos x ( x) x Порядок малости ( x) x m -порядок малости (x) относительно ( x) x a, x a ( x) lim ( x a) 1 cos x ( x) lim m m x 0 xx x ?A 0 m ? ? lim x0 Вычисление предела xa 1 cos x 2 sin ( x / 2) 1 2 sin 2 ( x / 2) lim lim lim m 1 m 2 1 m x 0 x0 x/2 x x0 4 x xx ? 2 x0 ? Теорема 9 о пределе произведения x/2 lim f ( x) B xa lim g ( x) C x a lim f ( x) g ( x) B C x a A0 2 ? lim sin ( x / 2) m ? 0, m 1 1 lim m 1 1, m 1 x0 x , m 1 ? 1 cos x ( x) x Порядок малости lim x0 ( x) x 1 cos x ( x) lim m m x 0 xx x m -порядок малости (x) относительно ( x) x a, x a ( x) lim ( x a) A0 m? Вычисление предела xa 1 cos x 2 sin ( x / 2) 1 2 sin 2 ( x / 2) lim lim lim m 1 m 2 1 m x 0 x0 x/2 x x0 4 x xx m A0 2 2 2 sin ( x / 2) lim sin ( x / 2) lim x0 x 0 x / 2 x/2 ? Теорема 9 о пределе произведения Т. 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции ? ? 0, m 1 1 lim m 1 1, m 1 x0 x , m 1 1 cos x ( x) x Порядок малости ( x) x 1 cos x ( x) lim m m x 0 xx x lim x0 m -порядок малости (x) относительно ( x) x a, x a ( x) lim ( x a) A0 m? Вычисление предела xa m A0 1 cos x 1 2 sin ( x / 2) 1 2 sin 2 ( x / 2) lim 0 lim lim m x0 x0 x / 2 x1 m 2 2 x0 4 x1 m xx 2 0, m 1 2 sin ( x / 2) 1 1 lim sin ( x / 2) lim lim 1, m 1 m 1 x0 x0 x/2 2 ? Теорема 9 о пределе произведения x/2 Т. 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции 1-й замечательный предел ? x0 x , m 1 m 1 ( x) x ( x) 3 1 x Порядок малости lim x0 относительно ( x) x a, x a ( x) lim ( x a) A? 0 m ? ( x) 3 1 lim m m x0 x x ? x Вычисление предела lim m -порядок малости (x) 3 x0 x 1 lim 3 x0 m ? x 1 1 x m1 / 2 xa ? y 3 x 1 t 0 x 0 x ln( y 1) / ln 3 ? ? Теорема 9 о пределе произведения lim f ( x) B lim g ( x) C x a xa lim f ( x) g ( x) B C x a A0 Замена переменных x ln 3 y ln 3 3 x 1 lim lim lim x0 y 0 ln( y 1) y 0ln( y 1) / y x x m lim x0 ? 1 x m1 / 2 0, m 1 / 2 1, m 1 / 2 , m 1 / 2 ? ( x) x ( x) 3 1 x Порядок малости lim x0 m -порядок малости (x) относительно ( x) x a, x a ( x) lim ( x a) A 0m ? ( x) 3 1 lim m m x0 x x x xa m A0 Вычисление предела lim x0 3 x 1 lim 3 x0 m x 1 1 x m1 / 2 Замена переменных y 3 x 1 t 0 x 0 x ln( y 1) / ln 3 x ln 3 y ln 3 3 x 1 lim lim lim ln x0 y 0 ln( y 1) y 0ln( y 1) / y x x ? Теорема 9 о пределе произведения Теорема 9 о пределе частного ln( x 1) 1 x 0 x lim lim x0 1 x m1 / 2 3 0, m 1 / 2 1, m 1 / 2 , m 1 / 2 m 1/ 2 ( x) ( x) малости относительно x Доказать, что имеет 2 порядок при x 0. ( x) 1 x x ( x) 1 2 m -порядок малости (x) относительно ( x) x a, x a ( x) Порядок малости x 1 x ( 1 ) ( x) ( x) 2 lim lim A x0 x0 x2 x2 ? lim ( x a) xa m A0 m2 0 Преобразуем функцию под знаком предела 1 x (1 x / 2) x2 ? 1 x (1 x / 2) x2 Умножение на сопряжённое 1 x (1 x / 2) x2 / 4 x 2 ( 1 x (1 x / 2)) 1 x (1 x / 2) 1 x (1 x / 2) (1 x) (1 x / 2) 2 x ( 1 x (1 x / 2)) 2 1 1 4 1 x (1 x / 2) ? x0 ? ? ( x) 1 x x ( x) 1 2 m -порядок малости (x) относительно ( x) x a, x a ( x) Порядок малости x 1 x ( 1 ) ( x) ( x) 2 lim lim A x0 x0 x2 x2 lim ( x a) xa 0 m A0 m2 Вычисление предела x 1 x (1 ) 2 1 lim lim x0 4 x 0 x2 ? 1 1 x (1 x / 2) 1 1 1 ? 0 4 2 8 ?0 lim ( 1 x (1 x / 2)) lim 1 x lim (1 x / 2) 2 x0 ? x 0 Теорема 9 арифметические свойства пределов x 0 ( x) ( x) lim 1 / 8 0 2 x0 x Доказать, что f ( x) ~ 4 x , f ( x) x x , x 0 0 эквивалентность f ( x) lim x 0 0 4 x x x lim ? x 0 0 4 x 1 Эквивалентность б.м.ф. ( x) ~ ( x), x a ? ( x) 1 lim ( x ) x a Преобразование под знаком предела 4 x x 4 x x x ? 4 x 4 2 x x 4 x 2 ?1 x x0 Доказать, что f ( x) ~ 4 x , f ( x) x x , x 0 0 эквивалентность lim x 0 0 f ( x) 4 x lim x x x 0 0 4 x 1 ? Вычисление предела предела lim x 0 0 x x 4 x ? 1 x xlim 0 0 Эквивалентность б.м.ф. ( x) ~ ( x), x a ( x) 1 lim ( x ) x a 1? Теорема 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции x x ~ 4 x, x 00 Доказать, что f ( x) ~ x , f ( x) x x , x Эквивалентность б.м.ф. ( x) ~ ( x), x a эквивалентность lim f ( x) x x lim ? x x x x 1 ( x) 1 lim ( x ) x a ? Преобразование под знаком предела x x x x ? x x 2 x x x 2 ? 1 1 x Доказать, что f ( x) ~ x , f ( x) x x , x Эквивалентность б.м.ф. ( x) ~ ( x), x a эквивалентность lim x f ( x) x lim x x x x 1 ? 1 ?1 ( x) 1 lim ( x ) x a вычисление предела lim x x x x ? 1 xlim x Теорема 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции x x ~ x, x Подобрать такие константы C и k, чтобы ( x) ~ ( x) x x0 ( x) C sin( x 9 3) 2 ( x) x k x0 0 эквивалентность Эквивалентность б.м.ф. C sin( x 2 9 3) k x0 x ( x) ~ ( x), lim 1 k ? C ? xa ( x) 1 lim x a ( x) Преобразование функции под знаком предела sin( x 2 9 3) C sin( x 9 3) C xk Умножение на f(x)/f(x) 2 ? f ( x) x 9 3 2 Умножение на сопряжённое x 9 3 2 x2 9 3 2 x 9 3 xk x2 9 3 C x 9 3 2 sin( x 2 9 3) Cx x 9 3 2 2 k ? x2 x ( x 9 3) k sin( x 2 9 3) x 9 3 2 2 ? 1 x2 9 3 ( x) C sin( x 9 3) 2 ( x) x k x0 0 эквивалентность lim x0 C sin( x 2 9 3) k x 1 C ? Эквивалентность б.м.ф. ( x) ~ ( x), ( x) k ? lim ( x) xa 1 x a Вычисление предела 2 1 C sin( x 2 9 3) lim C x 2k sin( x 9 3) lim x0 2 2 k x0 x x 9 3 x 9 3 sin y lim sin( x 9 3) lim ? 1 ? x0 2 y 0 y x2 9 3 Теорема 9 о пределе произведения lim f ( x) B lim g ( x) A xa x a Замена переменных lim 2f ( x) g ( x) B A y xax 9 3 y 0 x 0 1-й замечательный предел lim 1 ?1 C?1/ 6 1 k 2 x 9 3 k2 0 lim x 2k ? 1 k 2 x0 k 2 x0 2 ( x) C sin( x 9 3) 2 ( x) x k x0 0 эквивалентность lim x0 C sin( x 2 9 3) k x 1 C ? Эквивалентность б.м.ф. ( x) ~ ( x), k ? ( x) lim ( x) xa 1 x a Вычисление предела 2 1 C sin( x 2 9 3) lim C x 2k sin( x 9 3) lim x0 2 2 k x0 x x 9 3 x 9 3 Теорема 9 о пределе произведения lim f ( x) B lim g ( x) A x a xa lim f ( x) g ( x) B A x a C 1/ 6 1 C6 k 2 sin 2 x 2arctg 3x 3x 2 lim x 0 ln( 1 3 x sin 2 x) xe x Вычислить Асимптотические формулы sin 2 x ~ 2 x ? sin 2 x 2 x o(2 x) arctg 3x ~ 3x arctg 3x 3x o(3x) ? О-малое f ( x) o( ( x)), x x0 f ( x) 0 x x0 ( x ) lim таблица эквивалентностей x0 sin x ~ x arctg x ~ x e x 1 ~ x ln( 1 x) ~ x Теорема 25 ( x) ~ ( x), x a ( x) ( x) o( ( x)) o( ( x)) xe x ~ x xex x? o(x) ln( 1 3x sin 2 x) ~ 3x sin 2 x ~ 3x ln( 1 3x sin 2 x) 3x o(3x) ? sin 2 x 2arctg 3x 3x 2 Вычислить lim x 0 ln( 1 3 x sin 2 x) xe x Асимптотические формулы Вычисление предела lim sin 2 x 2arctg2 3x 3x x x0 ln( 1 3x sin x) xe 2 x0 sin 2 x 2 x o(2 x) arctg 3x 3x o(3x) ln( 1 3x sin 2 x) 3x o(3x) ? xe x x o(x) 2 x o(2 x) 6 x 2 o(3x) 3x 2 lim x 0 3x o(3x) x o( x) o( x ) / x 8 o( x) / x 8 lim 8 x o( x ) x(8 o( x) / x) x 0 lim lim lim x 0 x 0 4 x o( x ) x 0 x ( 4 o ( x ) / x ) 4 o( x) / x 4 lim o( x) / x ? ? ? ? ?2 x 0 Формулы для о-малого x0 o( f ( x)) o( ( x)) o( f ( x) ( x)) o( f ( x)) o( f ( x)) o( f ( x)) sin 2 x 2arctg 3x 3x 2 lim 2 2 x x 0 ln( 1 3 x sin x) xe Вычислить lim [ x(ln( 1 x / 2) ln x / 2)] x Преобразование функции под знаком предела ln( 1 x / 2) ln x / 2 ? ln 1 x / 2 x/2 асимптотическая формула при ln( 1 2 / x) x ln( 1 2 / x) ?2 / x o(2 / x) ln( 1 2 / x) ~ 2 / x ? Теорема 25 ( x) ~ ( x), x a ( x) ( x) o( ( x)) o( ( x)) ? таблица эквивалентностей x0 ln( 1 x) ~ x Вычислить lim [ x(ln( 1 x / 2) ln x / 2)] x Вычисление предела ? ? [ x ln( 1 2 / x)] lim [ x(ln( 1 x / 2) ln x / 2)] xlim x ?2 lim [ x(2 / x o(2 / x))] lim (2 0(1)) x ? x Асимптотическая формула x0 ln( 1 2 / x) 2 / x o(2 / x) Формулы для о-малого o( f ( x)) o( ( x)) o( f ( x) ( x)) o( f ( x)) o( f ( x)) o( f ( x)) lim [ x(ln( 1 x / 2) ln x / 2)] 2 x 13. Вычислить lim x(ln( 1 x / 2) ln x / 2) x 1. Преобразуем выражение ln( 1 x / 2) ln x / 2 ln 1. Запишем эквивалентности при ln( 1 2 / x) ~ 2 / x 1 x / 2 ln( 1 2 / x) x/2 x0 2. По асимптотическим формулам ln( 1 x) ~ x ln( 1 2 / x) 2 / x o(2 / x) 3. Вычислим предел lim x(ln( 1 x / 2) ln x / 2) lim x(2 / x o(2 / x)) lim (2 0(1)) 2 x x x o( f ( x)) o( ( x)) o( f ( x) ( x)) f ( x) 0 x x0 ( x) f ( x) o( ( x)), x x0 lim lim x(ln( 1 x / 2) ln x / 2) x 13. Вычислить sin 2 x 2arctg 3x 3x 2 lim x 0 ln( 1 3 x sin 2 x) xe x x0 x arctg 3x ~ 3x xe ~ x 1. Запишем эквивалентности при sin x ~ x sin 2 x ~ 2 x ln( 1 3x sin 2 x) ~ 3x sin 2 x ~ 3x ex 1 ~ x ( x) ~ ( x) ( x) o( ( x) ( x)) 2. По асимптотическим формулам sin 2 x 2 x o(2 x) arctg x ~ x x 0 ln( 1 x) ~ x arctg 3x 3x o(3x) x x0 x ln( 1 3x sin 2 x) 3x o(3x) xe x o(x) 3. Вычислим предел отношения sin 2 x 2arctg 3x 3x 2 2 x o(2 x) 6 x 2 o(3x) 3x 2 lim lim x 0 ln( 1 3 x sin 2 x ) xe x x 0 3x o(3x) x o( x) o( f ( x)) o( f ( x)) o( f ( x)) x x0 8 x o( x ) lim x 0 4 x o( x ) 3. Разделим числитель и знаменатель на x o( x ) / x 8 x o( x ) 8 o( x) / x 8 lim x 0 lim lim 2 x 0 4 x o( x ) x 0 4 o( x ) / x 4 lim o( x) / x x 0 sin 2 x 2arctg 3x 3x lim 2 x 0 ln( 1 3 x sin 2 x) xe x 2 f ( x) 0 x x0 ( x) f ( x) o( ( x)), x x0 lim ( x) ~ ( x), x a ln( 1 x) ~ x 1 ?