Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 14 Алексей Львович Семенов 1 1 07.05.2016 План • Система аксиом Теории множеств ZF • Сокращения • Натуральные числа 2 Построение математики • Язык для записи математических утверждений – Логика отношений. • Исчисление. – Правильная система математических аксиом. – Правила вывода – исчисление логики отношений • Обоснование полноты системы аксиом? – Теорема Гёделя о неполноте. • Обоснование непротиворечивости системы аксиом? – Вторая теорема Гёделя: невозможность доказать непротиворечивость даже в самом исчислении 3 Теория множеств Цермело – Френкеля ZF • Сигнатура ZF = {=, ∈}, a ∈ b • Множество – {b из M|M ⊨ b ∈ a для некоторого a из M } • Задача. Может ли сама структура M быть множеством? Эрнст Цермело 27 07 1871 — 21 05 1953 Абрахам Фре́нкель (17.02.1891 – 15.10.1965) 4 Аксиомы ZF • ∃s∀v(v ∈ s ≡ Φ(v)) Можно ли для каждой формулы Φ(x) добавить такую аксиому? • Φ(x) = x x ∃s∀v(v∈s≡v v) s={v|vv} • s∈s⇔s s • парадокс Рассела {x|x x} – не (образуют) множество 5 Аксиомы ZF • Четыре типа (схемы) аксиом существования множеств • Аксиомы подмножеств ∀t∀u∃s∀v(v ∈ s ≡ (v ∈ u ∧ Φ(t,v))), t – цепочка t1,..., t n • для любой формулы Φ(y, x) {x|x ∈ a, Φ(b, x)} – множество 6 Аксиомы ZF • Аксиомы замены • ∀t(∀u∃v∀w(w ∈ v ≡ Φ(t, u, w)) → → ∀v∃s∀w(∃u(u ∈ v ∧ Φ(t,u,w)) ≡ w ∈ s) ) Чтобы понять, что это значит, рассмотрим случай без t: • ∀u∃v∀w(w ∈ v ≡ Φ(u, w)) → → ∀z∃s∀w(∃u(u ∈ z ∧ Φ(u,w)) ≡ w ∈ s) • Если для всякого u формула Φ(u,w) задает множество v элементов w, то из всякого множества z выберем элементы w, находящиеся в отношении Φ(u,w) с каким-то u из z . Все эти элементы образуют множество s. • Φ(t, x, y) ⇔ Ft(x) = {y|Φ(t, x, y)} для любого x, Ft(x) – множество ⇒ ⇒ для любого a, {y|x ∈ a, y ∈ Ft(x)} – множество 7 Аксиомы ZF • Акисома степени ∀u∃s∀v(∀w(w ∈ v → w ∈ u) ≡ v ∈ s) Обозначение x ⊂ y ⇔ ∀u(u ∈ x → u ∈ y) • Аксиома означает, что {x|x ⊂ a} – множество 8 Аксиомы ZF • Аксиома бесконечности ∃s(∃u(u ∈ s ∧ ∀v(v u))∧ ∧∀u(u ∈ s → ∃v(v ∈ s ∧ ∀w(w ∈ v ≡ (w ∈ u ∨ w = u))))) • З. Что это значит содержательно? • Аксиомы существования закончились 9 Аксиомы ZF • Аксиома объемности ∀u, v (∀w(w ∈ u ≡ w ∈ v) → u = v) • Описываемая структура – класс всех ”чистых” множеств. Множество полностью определяется своими элементами (тоже множествами). 10 Аксиомы ZF • Аксиома регулярности (фундирования) ∀u(∃v(v ∈ u) → ∃v(v ∈ u ∧ ¬∃w(w ∈ v ∧ w ∈ u))) • Не бывает бесконечных цепочек ···∈an ∈an−1 ∈···∈a2 ∈a1 • Мы не будем использовать эту аксиому 11 Аксиомы ZF • У нас были аксиомы: • Аксиома пустого множества ∃s∀u(u s) • Аксиома пары ∀u, v ∃s∀w(w ∈ s ≡ (w = u ∨ w = v)) {x|x = a ∨ x = b} • Без них можно обойтись (вывести их из других) 12 • Мы считаем, что у теории ZF есть модель. • выражение ZF ⊨ Φ обозначает, что утверждение Φ следует из теории ZF, то есть утверждение Φ истинно во всех моделях теории ZF. 13 Обозначения и сокращения • ∃!u Φ(u) сокращение для ∃u(Φ(u) ∧ ∀v(Φ(v) → u = v)) ZF ⊨ ∃!s∀u(u s) • Пустое множество ∅ • ∅ ∈ x сокращение для ∃u(∀v(v u) ∧ u ∈ x) или ∀u (∀v (v u ) → u ∈ x ) 14 Обозначения и сокращения • Если ZF ⊨ ∀u∃!vΦ(u, v), то можно ввести операцию φ(x): y ∈ φ(x) сокращение для ∃u(Φ(x, u) ∧ y ∈ u) или ∀u(Φ(x, u) → y ∈ u) y = φ(x) ⇔ Φ(x,y) • ZF ⊨ ∀u∃!s∀v(v ⊂ u ≡ v ∈ s) P(x) = y ⇔ ∀v(v ⊂ x ≡ v ∈ y) P(x) – множество подмножеств x • ZF ⊨ ∀u, v∃!s∀w(w ∈ s ≡ (w = u ∨ w = v)) • {x, y} – (неупорядоченная) пара множеств x и y {x} – обозначение для {x, x} 15 Обозначения и сокращения • Un(x) = {y|∃u(y ∈ u ∧ u ∈ x)} – объединение множества x З. Существование и единственность: Аксиома замены при Φ(t, x, y) = y ∈ x ZF ⊨ ∀x∃s∀y(∃u(u ∈ x ∧ y ∈ u) ≡ y ∈ s) • x ∪ y – сокращение для Un({x, y}) x∩y–пересечение: {z|z∈x∧z∈y} • x\y–разность: {z|z∈x∧z y} • < x, y > – упорядоченная пара: {{x}, {x, y}} <x,y>=<x′,y′ >⇔x=x′ ∧y=y′ • Упорядоченная тройка < x, y, z >=< x, < y, z >> 16 Обозначения и сокращения • (Декартово) произведение x×y = {z|∃u,v(u ∈ x∧v ∈ y∧z =< u,v >)} • Задача. a ∈ x×y ⇒ a ∈ P(P(x∪y)) , произведение множество • Функция f (Func(f)): множество пар < a, b > ∀u, v, w (< u, v >∈ f ∧ < u, w >∈ f → v = w) • Область определения (Dom(f)) = {z|∃u(< z, u >∈ f)} Мнаожество значений (Ra(f)) = {z|∃u(< u, z >∈ f)} • Задача. Почему область определения и множество значений функции – множества? • f(x) = y ⇔< x, y >∈ f 17 Множество ω • 0;1;2;... = ∅;{∅};{∅,{∅}};... • Следующий элемент: S(x) = x ∪ {x} Аксиома бесконечности: ∃s(∃u(u ∈ s ∧ ∀v(v u))∧ ∧∀u(u ∈ s → ∃v(v ∈ s ∧ ∀w(w ∈ v ≡ (w ∈ u ∨ w = u))))) • Иначе: ∃s(∅ ∈ s ∧ ∀u(u ∈ s → S(u) ∈ s)) • О. s – ”бес-конечное” множество ⇔ ∅ ∈ s ∧ ∀u(u ∈ s → S(u) ∈ s) Задача. Пересечение ”бес-конечных” множеств ”бес-конечно” • ω = {x|∀s((∅ ∈ s ∧ ∀u(u ∈ s → S(u) ∈ s)) → x ∈ s)} ω – множество , единственно и ”бес-конечно”. • b – ”бес-конечно” ⇒ ω ⊂ b 18 Множество ω • Правило индукции: ZF ⊨ ∀u(u ⊂ ω ∧ u ≠ ∅ → → (0 ∈ u ∨ ∃v(v ∈ ω ∧ v u ∧ S(v) ∈ u))) Д-во. Пусть для какого-то a ⊂ ω это не так; возьмем b = ω \ a; b – множество. 0 ∈ b ∧ ∀u(u ∈ b → S(u) ∈ b) ⇒ b – ”бес-конечно” ⇒ ω⊂b ⇒ a = ∅ • k,l,m,n···обозначают элементы ω n < m ⇔ n ∈ m; S(m) = m ∪ {m} • Задачи. • (0) n = 0 ∨ n = S(m) Решение. От противного. • {n ∈ ω|n ≠ 0 ∧ ∀v(v ∈ ω → n ≠ S(v))} = a – множество, a ⊂ ω. Правило индукции: 0 ∈ a ∨ ∃v(v ∈ ω ∧ v a ∧ S(v) ∈ a). Противоречие 19 Множество ω Обозначение: n < m ⇔ n ∈ m; Обозначение: x ̸⊂ y надо понимать как ¬(x ⊂ v) Задачи. (1) n < S(n) (определение) (2) b ∈ n → b ⊂ n Решение. {n ∈ ω|∃x(x ∈ n ∧ x ̸⊂ n)} = a; 0 a, m a, S(m) ∈ a, b ∈ S(m), b ̸⊂ S(m) (i) b = m. Противоречие. (ii) b ∈ m ⇒ b ⊂ m ⊂ S(m). Противоречие. (3)порядок транзитивен: n<m∧m<k→n<k из (2) (4) ¬(n < n) (индукция) (5) 0 < S(n) (индукция) (6) n < m → m = S(n) ∨ S(n) < m (индукция по m) (7)порядок линеен: n<m∨n=m∨m<n(индукция по ...) 20 Рекурсия • (8) a ⊂ ω, a ≠ ∅ ⇒ ∃b(b ∈ a ∧ ∀c(c < b → c a)) Указание. a′ = {u ∈ ω|∃x(x ∈ a∧x ⩽ u)} • Обозначения. x + 1 ⇔ S(x); x-1... [n, m] ⇔ {k|k ∈ ω, n ⩽ k ⩽ m} • Сложение – функция Σ: ω × ω → ω (0) Σ(< n, 0 >) = n (1) Σ(< n, m + 1 >) = Σ(< n, m >) + 1 Докажем, что существует и единственна функция, удовлетворяющая (0) и (1) • k ∈ ω корректен ⇔ ∃Σk(Σk : ω × [0, k] → ω). Пусть m — наименьший некорректный элемент. • Σm =Σm−1 ∪{<n,m,Σm−1(n,m−1)+1>|n∈ω}. Противоречие. Единственность Σk. k<k′ ⇒Σk ⊂Σk′. • Σ = Un{Σk|k ∈ ω} – функция (аксиома замены). 21 n + m = Σ(< n, m >) Числа • Умножение Π: ω × ω → ω (0) Π(< n, 0 >) = 0 (1) Π(< n, m + 1 >) = Π(< n, m >) + n • Целые числа ZM ={<0,n>|n∈ω}∪{<1,n>|n∈ω\{0}} • Рациональные числа QM = {a ⊂ ZM × ω \ {0}|a – класс эквивалентности} – <x1,x2 >∼<y1,y2 >⇔x1y2 =x2y1 • Действительные числа RM ={<a,b>|a⊂QM,b⊂QM,<a,b> – дедекиндово сечение} 22