МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ФГБОУ ВО «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт нефти и газа им. М.С. Гуцериева Кафедра разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений им. В.И. Кудинова Доклад по дисциплине «Логика» на тему: «Аксиомы, постулаты, следствия» Выполнил: студент гр. 21.04.01.01-11 Зорин Тимофей Леонидович ОМ Проверил: к.т.н., доцент кафедры РЭНГМ им. В.И. Кудинова Ванчурин Александр Николаевич Ижевск, 2024 Оглавление Понятие аксиомы..................................................................................................... 3 Понятие постулата .................................................................................................. 4 Понятие следствия .................................................................................................. 6 Примеры аксиом ...................................................................................................... 7 Примеры постулатов ............................................................................................... 9 Примеры следствий............................................................................................... 10 Различия между аксиомой и постулатом ............................................................ 12 Список литературы ............................................................................................... 13 2 Понятие аксиомы Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами. Аксиомы — это положения, которые не требуют доказательств, так как они уже миллионы раз проверены человеком на практике. Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами. В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории. Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. 3 Понятие постулата ПОСТУЛАТ (лат. postulatum — требуемое) — принцип или утверждение некоторой научной теории, принятое в ней в качестве исходного, недоказуемого в ее рамках. В некоторых случаях термин "постулат" используется как синоним более употребительного понятия "аксиома" и обозначает правила вывода определенной теории. Постула́т (от лат. postulatum — требование) предложение (условие, допущение, правило), в силу каких-либо соображений «принимаемое» без доказательства, но, как правило, с обоснованием, причём именно это обоснование и служит обычно доводом в пользу «принятия» постулата. Характер «принятия» может быть различным: предложение принимается в качестве истинного (как в содержательных аксиоматических теориях) либо в качестве доказуемого (как в формальных аксиоматических системах); либо некоторые предписания принимаются «к исполнению» в качестве правил образования формул некоторого исчисления или в качестве правил вывода исчисления, позволяющих получать теоремы из аксиом; либо некоторые абстрагированные от данных многократного опыта «принципы» (например, «законов сохранения») естественнонаучных установления, кладутся теорий; предписания, в основу физических либо некоторые (например, нормы получают (в и др. правовые) результате других установлений) статус законов; либо, наконец, каких-либо религиозные, философские, идеологические догматы кладутся в основу определённых систем взглядов. При всей разнородности этих примеров общим для них является то обстоятельство, что, не жалея доводов, призванных убедить в разумности («правомерности») предлагаемых нами постулатов, мы в конечном счёте просто требуем (отсюда и этимология слова «постулат») этого принятия; в таких случаях говорят, что выдвигаемые на эту роль предложения постулируются. 4 Естественно, что у столь широкого и богатого оттенками смысла понятия известно много конкретных, более специальных и потому весьма различных реализаций. 5 Понятие следствия Логическое следствие - одно из основных понятий логики, выражающее отношение (отношение логического следования) между высказываниями, зависящее от их логического содержания. Согласно принятому определению, высказывание В есть логическое следствие высказывания А (или множества высказываний Г), если, и только если, при любых значениях переменных в их логических формах В', А' (Г') (иначе говоря, при любых изменениях конкретных содержаний В, А или Г) В' не может быть ложным, когда истинно А' (все выражения Г'). Понятие логическое следствие не вполне соответствует интуитивному употреблению в практике научного познания термина «логическое следствие». Это несоответствие проявляется в так называемых «парадоксах» следования (из противоречивого высказывания следует любое, и логически истинное следует из любого высказывания). Логическое следствие имеет важное значение для определения ряда понятий логики научного познания (закона науки, научного объяснения и др.). 6 Примеры аксиом Рассмотрим основные аксиомы евклидовой геометрии (это один из возможных вариантов, т. е. есть несколько эквивалентных наборов, но принципиально они не отличаются): 1. Через любые две точки проходит единственная прямая. 2. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки. 3. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному. Аксиомы из физики: Эйнштейн полагал, что вся его теория относительности базируется на двух аксиомах: 1. Принцип относительности может быть распространен на все явления нашего мира, включая ЭМП. 2. Скорость света в вакууме – величина абсолютная, предельная для нашего мира. Аксиомы биологии: 1. Все живые организмы оказываются единством фенотипа и программы для его построения (генотипа), передающейся по наследству из поколения в поколение (аксиома А. Вейсмана). 2. качестве Генетическая матрицы, на программа образуется матричным путем. В которой строится ген будущего поколения, используется ген предшествующего поколения (аксиома И.К. Кольцова). 3. В процессе передачи из поколения в поколение генетические программы в результате различных причин изменяются случайно и ненаправленно, и лишь случайно такие изменения могут оказаться удачными в данной среде (1-я аксиома Ч. Дарвина). 4. Случайные изменения генетических программ при становлении фенотипа многократно усиливаются (аксиома Н.В. Тимофеева-Ресовского). 7 5. Многократно усиленные изменения генетических программ подвергаются отбору условиями внешней среды (2-я аксиома Ч. Дарвина). 8 Примеры постулатов В геометрии это: параллельные линии не пересекаются, через любые две точки можно провести прямую, если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает либо еще одну сторону, либо вершину того же треугольника. В физике это постулаты Бора: в атоме электрон может находиться только на определенных орбиталях, переход между ними совершается скачком. В биологии это законы наследственности: если скрестить два организма с одним отличающимся признаком, первое поколение гибридов наследует только один вариант этого признака, если скрестить между собой гибриды первого поколения, то во втором поколении исчезнувший признак вернется с вероятностью 3:1. В химии подобием аксиомы является утверждение, что один моль вещества должен содержать 6*1023 атомов или молекул. 9 Примеры следствий Впервые до н. э.) термин и «аксиома» встречается переходит у Аристотеля (384—322 в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий. Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств». Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы российского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрии, впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии. Сперва идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Гауссом, который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение 10 этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10-12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики, работы Кантора по созданию теории множеств. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем. Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. В соответствии с критерием Поппера, единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих увеличивает вероятность истинности системы аксиом. 11 примеров лишь Различия между аксиомой и постулатом Понятия "аксиома" и "постулат" появились очень давно, до нашей эры, в эпоху господства философии, заменяющей все науки. Тот смысл, который закладывался первоначально, по мере развития научной методологии и, в частности, аксиоматического метода, не мог не меняться существенно, и сегодня в нем присутствуют представления о доказательствах, об очевидности, о том, как и почему возникает убеждение ученого в истинности сначала предположительных утверждений. Аксиомы и постулаты - не синонимы, хотя различия смысла для них бывают не заметны. Принципиальные различия: В отличие от аксиомы постулат может быть опровергнут опытом. Если постулат может быть принят как совершенно произвольное утверждение, то аксиома - то, истинность чего очевидна. И аксиома и постулат не требуют доказательств, они принимаются в виде утверждения, не использующего условий кроме границы применимости данного утверждения. Существует заблуждение о том, что аксиома и постулат будто бы синонимы. Это проистекает от непонимания их сути и особенностей использования. Динамика развития убежденности в верности утверждений начинается с предположительного постулирования, теоретического развития на этой основе, проверке на опыте в корректном эксперименте, получение очевидной убежденности в истинности утверждения после которого постулат принимает качество аксиомы как уже надежной основы для дальнейшего развития представлений. 12 Список литературы 1) Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова. - 4-е изд.-М.: Политиздат, 1981. - 445 с. 2) Виноградов С.Н., Кузьмин А.Ф., Логика Интернет ресурсы : 1) http://proznania.ru/books.php/?page_id=401 2) https://proza.ru/2009/05/01/516 3) https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома 4) https://scorcher.ru/art/science/theory/axioms.php 13
