Нестандартные методы решения квадратных уравнений

Нестандартные
методы решения
квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений в
Впервые квадратное древности
уравнение смогли решить
древние египтяне. При
раскопках в одном из
папирусов содержится
задача.
Найти стороны
поля, имеющего
форму
прямоугольника,
если его площадь
равна 12, а 3/4
длины равны
ширине.
Решение.
Пусть длина поля равна x, тогда ширина- 3/4 x,
а площадь - 3/4 x2.
Получаем квадратное уравнение:
3/4 x2 = 12,
x2 = 16,
x = ± 4 (-4 не удовлетворяет условию задачи).
Ответ: 4.
2
x
+ 10x = 39
x2 +10x + 25 = 39 + 25,
(x+5)2 = 64,
x + 5 = 8,
x = 3.
Второй корень найдём из уравнения x + 5 = - 8,
x = - 13.
Ответ: - 13; -8.
2
x +
10x = 39
(x+5)2 = 39 + 25
x+5=8
x = 3.
Ответ: 3.
Решение квадратных уравнений с
помощью циркуля и линейки
Корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0)
можно рассматривать как абсциссы точек пересечения
окружности с центром Q(
;
), проходящей через
точку А(0; 1), и оси Ох.
Решение уравнения сводится к построению на
координатной плоскости окружности с центром Q и
радиусом QА (для этого и понадобятся инструменты) и
определению абсцисс точек пересечения окружности с
осью Ох.
Первый случай.
Если QA> , то окружность пересекает
ось Ох в двух точках М(х1; 0) и N(х2;0);
уравнение имеет корни х1, х2.
Второй случай.
Если QA=
, то окружность касается оси
Ох в точке М(х1; 0); уравнение имеет
корень х1.
Третий случай.
Если QA<
, то окружность не имеет
общих точек с осью Ох, в уравнение нет
корней.
Пример 1.
Решите уравнение х2 -2х+1=0.
Ответ: 1.
Пример 2.
Решите уравнение х2+ 4х-5 = 0.
Ответ: -5; 1.
Пример 3.
Решите уравнение х2 -4х+5=0.
Ответ: нет корней.
Графический способ
решения квадратных
уравнений
I способ
II способ
III способ
X
2+1,5x-2,5=0
Решение:
X2=-1,5x+2,5
y=x2 и y=-1,5x+2,5
Ответ: - 2,5; 1.
Общие методы решения
квадратных уравнений
3x
2+2x-1=0
Решение :
3x2 + 3x-x-1=0
3x(x+1)-(x+1)=0
(x+1)(3x-1)=0
x+1=0, или 3x-1=0
1
x=-1.
x= .
3
1
Ответ:-1; .
3
(5x+3)2=3(5x+3)-2
Если t=1,то
5x+3=1,
x=-0,4.
Пусть 5x+3=t,
тогда
t2=3t-2,
t2-3t+2=0.
Ответ:-0,4;-0,2.
Если t=2,то
5x+3=2,
x=-0,2.
Специальные методы
решения квадратных
уравнений
При решении уравнения ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
можно пользоваться следующими правилами:
с
a
1.Если a +b + c = 0, то x1 = 1, x2 = .
2.Если a + c = b, то x1 = -1, x2 = -
с
.a
Метод «переброски» старшего
коэффициента.
Умножим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0
на a ≠ 0: a2x2 + bax + ca = 0.
Пусть ax = y, тогда получим уравнение
y2 + by + ca = 0.
ax1 = y1,
ax2 = y2,
x1= ,
x2= .
2
2x
– 11x + 15 = 0
Решение. Умножим обе части на 2:
2 2 • x 2 – 2 • 11x + 30 = 0.
Пусть 2x = y, тогда y2 – 11y + 30 = 0. Корни
уравнения y1 = 5, y2 = 6.
2x 1 = 5,
2x 2 = 6,
x 1 = 2,5,
x 2 = 3.
Ответ: 2, 5; 3.
Вопросы анкетирования:
1) Каким способом вы раньше решали
квадратное уравнение, и каким стали
решать после открытого урока?
2) Какой способ вам показался самым:
А) лёгким?
Б) трудным?
В) интересным?
3) Какой способ вы бы хотели включить в
школьную программу?
Спасибо за внимание!!!