Лекция №7 Статистические характеристики огибающей суммы гармонического сигнала и узкополосного шума Пусть на входе радиотехнического устройства присутствует сумма узкополосного нормального шума t и и детерминированного гармонического сигнала U m cos 0 t : xt U t cos0t t t U m cos 0t At cos 0t Bt sin 0t U m cos 0t U m At os0t Bt sin 0t Очевидно, что At U t cos t U m Bt U t sin t Плотность распределения вероятностей синфазной и квадратурной составляющих A2 B 2 f A, B exp 2 2 2 2 1 Переходя к новым переменным, получаем (якобиан преобразования равен U ): 2 2 U U m 2UU m cos U f U , exp 2 2 2 2 Чтобы получить одномерную ПРВ огибающей U ,надо проинтегрировать выражение для f U , по фазе: f U 2 f U , d 0 2 2 U U m UU m U f U 2 exp I0 2 2 2 Т.е. это выражение носит название закона Раиса Плотность распределения вероятности огибающей суммы гармонического сигнала и нормального шума f U 0 3 5 U При отсутствии детерминированного гармонического сигнала, т.е. при U m 0 из выражения получим закон Рэлея. При U m больших значениях ПРВ огибающей стремится к нормальной f U U U m 2 exp 2 2 2 2 1 с дисперсией равной матожиданием U m . 2 , и Одномерное распределение фазы можно получить проинтегрировав выражение f U f U , dU 0 1 f e 2 1 2 2 1 2 cos2 2 1 2 cos cos e Um где Z - интеграл вероятности. Плотность вероятности фазы Плотность распределения вероятности фаз суммы гармонического сигнала и нормального узкополосного шума f 2,0 5 0,8 1 0 0,2 2 При больших соотношениях сигнал/шум распределение фаз стремится к 2 нормальному с дисперсией 1 : 1 f e 2 1 1 2 2 2 Несколько сложнее получить соотношение для мгновенной частоты. Частота – это производная от фазы, можно получить четырехмерную плотность для огибающей, фазы и их производных: U 1 U 2 U 2 2UU cos U 2 U 2 2 f U ,U , , exp m m 0 2 4 2 2 0 4 0 2 здесь 0 0 Одномерная ПРВ производной от фазы 0 f U d dU f U ,U , , dU После интегрирования приобретет вид: 2 f y 3 exp 2 2 2h 1 формула 1 2 2 2 2 I 0 I 1 1 1 2h 2h 4h 2h 4h где h 1 y 2 y 0 0 Um Здесь - мгновенная частота. Показана зависимость для отношений сигнал/шум. разных f y При большом сигнале 1 ПРВ стремится к нормальной с дисперсией y 12 . 2 5 1,2 3 0,5 2 1 0 1 2 y Линейное и квадратичное детектирование смеси нормального случайного процесса и гармонического сигнала Линейный и квадратичный детекторы выделяют огибающую сигнала и ее квадрат. Непосредственное исследование системы "нелинейный элемент-инерционный элемент (фильтр) достаточно сложно, поэтому ограничимся сравнением статистических характеристик огибающей и ее квадрата. Матожидание и дисперсия определяются следующими выражениями: mU 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 exp 1 I 0 I1 e 2 4 2 4 2 1 2 U 2 1 mU2 2 Воспользовавшись асимптотическими представлениями Бесселевых функций, получим mU 1 2 1 2 4 4 1 2 U 1 2 4 Если 1 3 mU U m 1 1 2 2 U Из выражений видно, что при слабых mU сигналах ( 1 ) и растут пропорционально среднеквадратическому отклонению шума , а при больших значениях сигнала 3 , mU - пропорционально амплитуде сигнала, а U2 - дисперсия (практически постоянна). Эти зависимости показаны далее. Зависимость среднего и среднеквадратического отклонения огибающей от отношения сигнал/шум U mU 8 1 7 0,8 6 5 0,6 4 3 2 0,4 0,2 1 0 Um 2 Таким образом, при малых значениях амплитуды на огибающую большее Um влияние оказывает значение шума, при больших значениях отношения сигнал/шум большее влияние на огибающую оказывает амплитуда гармонического сигнала. Если провести такие же преобразования для квадрата огибающей, то можно получить матожидание и среднеквадратическое отклонение для квадратичного детектора: 1 2 m 2 1 2 2 U 2 4 1 2 U Эти зависимости показаны далее. 4 2 Зависимость среднего и среднеквадратического отклонения квадрата огибающей от отношения сигнал/шум 2U 2 m 2U 2 50 40 2 8 6 30 20 10 0 Таким образом, зависимости для квадратического детектора похожи на зависимости для линейного в режиме малого сигнала. 10 2 U m 2U 2 4 2 U m 2