Число и сумма натуральных делителей натурального числа

Число и сумма
натуральных
делителей
натурального
числа.
Основная теорема арифметики.
Всякое натуральное число п > 1 либо простое, либо может быть
представлено, и притом единственным образом - с точностью до порядка
следования сомножителей, в виде произведения простых чисел (можно
считать, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в
виде произведения простых чисел, если считать , что это произведение
может содержать всего лишь один множитель).
Среди простых сомножителей, присутствующих в разложении n =
p1*p2*...*pk, могут быть и одинаковые. Например, 24=2*2*2*3. Их можно
объединить, воспользовавшись операцией возведения в степень. Кроме
того, простые сомножители можно упорядочить по величине. В результате
получается разложение
Такое представление числа называется
каноническим разложением его на простые
сомножители. Например, каноническое
представление числа 2 520 имеет вид 2520 = 23 •
З2 • 5 • 7.
Из канонического разложения числа легко можно
вывести следующую лемму: Если n имеет вид (1),
то все делители этого числа имеют вид:
(2)
В самом деле, очевидно, что всякое d вида (2) делит а.
Пусть d делит а, тогда a=cd, где с — некоторое
натуральное число и, следовательно, все простые
делители числа d входят в каноническое разложение
числа а с показателями, не превышающими
соответствующих показателей числа а.
Рассмотрим две функции, заданные на множестве
натуральных чисел:
а) τ(n) - число всех натуральных делителей n;
2) σ(n) - сумма всех натуральных делителей числа n.
Пусть n имеет каноническое разложение (1). Выведем
формулы для числа и суммы его натуральных
делителей.
Теорема 1. Число натуральных делителей числа n
Доказательство.
По лемме любой делитель имеет вид (2). При этом
показатель β1 может принимать значения 0,1,2,...α1, то
есть всего α1+1 значение (это соответствует делителям
вида 1, р1, р1^2,...р1^α1)
Аналогично, показатель β2 может принимать значения
0,1,2,...α2, то есть всего α2+1 значение (это соответствует
делителям вида 1, р2, р2^2,...р2^α2) и т.д. Показатель βk
может принимать значения 0,1,2,...αk, то есть всего αk+1
значение (это соответствует делителям вида 1, рk,
рk^2,...рk^αk).
Так как каждое из α1+1 значений, которые может
принимать число β1, может сочетаться с любым из α2+1
возможных значений числа β2 и т. д., то мы видим, что
общее число натуральных делителей числа n
Пример. Число 2 520 = 23 • З2 • 5 • 7. имеет
(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 делителей.
Теорема 2. Пусть n имеет каноническое
разложение (1). Тогда сумма натуральных
делителей числа n равна
(4)
Доказательство.
Рассмотрим произведение
(4’)
Если раскрыть скобки, то получим сумму членов вида:
Но такие члены являются делителями n, причем каждый делитель
входит в сумму только один раз. Поэтому произведение (4') равно
сумме всех делителей n, т. е. равно σ(n) . Итак, σ(n) можно
вычислить по формуле (4). С другой стороны, каждая сумма 1+рm+
рm2+...+ рmαm является суммой геометрической прогрессии с
первым членом 1 и знаменателем рm.Поэтому иначе формулу (4)
можно переписать так:
(5)
Пример. Найти сумму всех делителей числа 90.
90=2 • З2 • 5. Тогда σ(90)=[(22-1)/(2-1)]• [З3-1)/(3-1)]• [(521)/(5-1)]=234
Формула (4) может помочь найти все делители числа.Так,
например, чтобы найти все делители числа 90, раскроем скобки в
следующем произведении (не производя операцию сложения):
(1+2)(1+3+З2)(1+5)=(1+1*3+1*З2+1*2+2*3+2*З2)(1+5) =
1+3+З2+2+2*3+2*З2+ 5+3*5+З2*5+2*5+2*3*5+2*З2*5 =
1+3+9+2+6+18+5+15+45+10+30+90 - слагаемыми являются
делители числа 90.
Задание. Найдите натуральное число, зная,
что оно имеет только два простых
делителя, что число всех делителей равно 6,
а сумма всех делителей — 28.
Решение. Так как искомое число n имеет только два простых делителя,
то оно представимо в виде n= р1α1•р2α2 (где будем считать, что р1 < р2).
Так как число всех делителей этого числа равно 6, то по формуле (3)
(α1+1)•(α2+1)=6. Учитывая, что каждый из сомножителей в левой части
не меньше 2 (α1,α2≥1), а 6 представляется в виде произведения таких
сомножителей единственным образом 6=2•3 с точностью до порядка
следования множителей, то имеем два случая
1)
Так как сумма всех делителей равна 28, то (1+р1)(1+ р2+ р22)=28. 28
раскладывается в произведение двух множителей следующими
способами: 28=1*28=2*14=4*7 (с точностью до порядка следования
множителей)
Заметим, что 1 < р1 < р2, поэтому р2 > 2, а значит, 1+р1 >2, а 1+ р2+ р22
>7. Отсюда ни одно из разложений разложений числа 28 в
произведение двух множителей нас не устраивает
2)
В данном случае (1+ р1+ р12)(1+р2)=28, при этом 1+ р1+ р12 > 3,
1+р2 >3. Откуда 1+ р1+ р12=4, 1+р2=7 (эта система в натуральных
числах решений не имеет) или 1+ р1+ р12=7, 1+р2=4, откуда р1=2,
р2=3
Отсюда n=22 •3=12
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти все числа, имеющие ровно 2 простых делителя, всего 8
делителей, сумма которых равна 60.
2. Найти натуральные числа, которые делятся на 3 и на 4 и имеют
ровно 21 натуральный делитель.
3. Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18
натуральных делителей.
4. Найти наименьшее число, кратное 5, имеющее 18 натуральных
делителей.
5. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его
квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого
числа?
6. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его
квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого
числа?
7. Найти число вида m = 2x3y5z, зная, что половина его имеет на 30
делителей меньше, треть —на 35 и пятая часть — на 42 делителя
меньше, чем само число.