Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка Опр.: Упорядоченные координатные оси, не лежащие в одной плоскости и имеющую одну общую точку, называются косоугольной системой координат в пространстве. Если координатные оси взаимно перпендикулярны, то косоугольную систему координат называют прямоугольной системой координат Декарта в пространстве и обозначают хуz. Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в избранной системе координат называется трехмерным пространством. Элементы системы координат: z z1 P(х1; у1; z1) у1 у х1 х координатные плоскости Оху, Оуz, Охz; оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат; Оz – ось аппликат. Точка О – начало координат; упорядоченная тройка чисел (х; у; z) – координаты произвольной точки Р. у у1 0 Р(х1; у1) х1 х Частным случаем является система координат на плоскости, например координатная плоскость Оху. у Р (х1; у1) r φ 0 А АОˆ Р r ОР Рr ; х Точка на плоскости может быть задана полярной системой координат, при этом положение точки Р описывается углом поворота положительной полуоси Ох против часовой стрелки до положения луча ОР и расстоянием точки Р от начала координат. Из Δ АРО, где А 90 , имеем: 0 r х 2 у 2 1 1 y1 аrctg ; х1 х1 r cos y1 sin и Примеры 1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных координатах. Решение. r= (1) 2 12 2 , аrctg (1) аrctg1 4 ( 2 ; ) Таким образом А 4 2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых координатах. Решение. 3 х1=0,5cosπ/6 =0,5 0,25 3 2 у1=0,5sin π/6= 0,5·1/2 . Таким образом В (0,25 3 ; 0,25) Прямые на плоскости Прямая на координатной плоскости может быть получена в результате пересечения произвольной плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 и координатной плоскости. Составим уравнение прямой, принадлежащей, например, плоскости хОу. Эта прямая определяется системой двух уравнений: Ах Ву Сz D 0 Ах Ву D 0 или z 0 z 0 Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение прямой на координатной плоскости, причем n (А; В) является нормальным вектором этой прямой. n L Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению (*), называется прямой. х у l : 1 - уравнение прямой в отрезках на осях а в у b а 0 L у L М1(х1;у1) М2(х2;у2) х х1 у у1 - уравнение прямой, l: х2 х1 у2 у1проходящей через две точки у L b φ 0 х L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с угловым коэффициентом; L: у – у1= k (х – х1) – уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через т. М (х1; у1). Угол между прямыми Пусть прямые заданы уравнением А1х + В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0 Угол между этими прямыми найдем из формулы: cоо А1 А2 В1 В2 А В А В 2 1 2 1 2 2 2 2 Если прямые заданы уравнением с угловыми коэффициентами, то угол между ними находим по формуле: k 2 k1 tg 1 k1k 2 y L2 L1 φ 0 х Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых: А1 В1 L1||L2, если или k1=k2 А2 В2 L1 L2, если А1А2= -В1В2 или k1k2= -1 Примеры 1. Определить острый угол между прямыми у = 3х + 1 и у = -2х – 5. Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получим tg = -2–3/1+(-2)3= -5/-5= 1, т.е. = /4= 0,785 рад. 2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны. Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем: у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14. Угловые коэффициенты этих прямых равны: k1= k2= -7/3, т. е. прямые параллеьны. 3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти уравнения высот треугольника AD, BN и CM. Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС: kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2. В силу перпендикулярности прямых AD и BC kAD= -1/kВС, т. е. kAD= ½. Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид: у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0. Линии второго порядка на плоскости Линии второго порядка на плоскости. • Общее уравнение линии второго порядка на плоскости: • а11х2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у + а00 = 0, где а211 + а212 + а222 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из чисел а11,а12,а22 не равно нулю. • Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Каноническое уравнение окружности с центром в точке М(х0;у0) и радиусом R. ( x x0 ) ( y y0 ) R 2 2 2 Уравнение окружности с центром в начале координат x y R 2 2 2 • Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. F1F2 2c - фокальное расстояние, тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F1 ( c;0) и F2 (c;0) r1 + r2 = 2а (const); a>c. Выразим r1 = ( x c) y, 2 2 r2 = ( x c) y , тогда 2 2 аналитическое уравнение эллипса примет вид: ( x c ) y ( x c ) y 2a 2 Обозначив эллипса: 2 2 2 a 2 c 2 b 2, получим каноническое 2 2 x y 2 1 2 a b уравнение Свойства эллипса 1. 2. 3. 4. Эллипс – ограниченная кривая второго порядка. Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси симметрии, а так же центр симметрии. А1 А2 - большая ось (ОА1 - полуось), В1 В2 – малая ось (ОВ1 - полуось). А1, А2, В1, В2 - вершины эллипса, причем ОВ1 в, ОА1 а c - называется эксцентриситетом эллипса, a b2 1 2 a ,т.е. 0< <1; - характеризует: “вытянутость эллипса, т.е. отклонение от окружности”. =1, значит x +y 2 2 = a2, где а – радиус окружности a 5. Прямые x называются директрисами (направляющими) r1 r2 т.о. имеем: , где d1= MN1 , d 2 MN 2 d1 d2 Пример: 2 2 Дан эллипс x 25 y уравнения директрис. 2 25 найти полуоси, эксцентриситет, 2 x y x 25 y 25, 1, т.о. _ а 5, в 1. 25 1 2 2 12 24 2 6 1 2 эксцентриситет 5 25 5 5 25 x уравнения _ директрис. 2 6 /5 2 6 Гипербола Определение: Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. F1F2 2c, тогда фокусы будут иметь координаты F1(-c;0) и F2(c;0). r1 r2 2a(const ); a c. ( x c) 2 y,2тогда Выразим r1 = ( x c ) y, r2 = аналитическое уравнение гиперболы примет вид: 2 2 ( x c ) y ( x c ) y 2a 2 Обозначив гиперболы: 2 a2 c2 b2 2 2 , получим каноническое уравнение 2 2 x y 1 2 2 a b Свойства гиперболы 1. 2. 3. 4. 5. 6. Гипербола – неограниченная кривая второго порядка. Гипербола обладает центральной симметрией. А1, А2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а – действительная, 2b – мнимая. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. в Гипербола имеет две асимптоты: y х Эксцентриситет гиперболы: в2 причем 1 2 , т.е. _ 1 а 7. Прямые х а r1 r2 причем d1 d 2 с , а a - называется директрисами гиперболы Примеры: Дана гипербола 16х2 – 9у2 = 144, найти: полуоси а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения асимптот; уравнения директрис. 16х2 – 9у2 = 144 1. 16 x 2 9 y2 x2 y 2 1 1 a 3; b 4 144 144 9 16 2. b a c c 25 c 5; F1 (5;0) _ и _ F2 (5;0) c 5 3. a 3 2 2 2 b 4 4. y x y x a 3 a 3 9 5. x x 5/3 5 Парабола Определение: параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки плоскости(фокус F) и фиксированной прямой (директриса d). FА p параметр _ параболы ; MB MF d – директриса параболы. p F ( ;0) фокус _ параболы 2 Выразим p p 2 MB x , MF ( x ) y 2 ,тогда 2 2 аналитическое уравнение параболы примет вид: p 2 p 2 2 (x ) (x ) y 2 2 таким образом получим каноническое уравнение параболы: x 2 py или 2 y 2 px 2 Свойства параболы 1. 2. Парабола – неограниченная кривая второго порядка, расположенная в правой или верхней полуплоскости . Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или ось ординат. Пример: Установить, что уравнение у2 = 4х – 8 определяет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы. 1. у2 = 4х – 8 Представим уравнение в каноническом виде: у2 = 4(х - 2) вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две единицы. А(2;0) – координаты вершины параболы. 2. 2р = 4 3. p x x 1 - уравнение директрисы параболы. 2 р = 2 – параметр параболы.