Слайды к теме Учебник Л.С.Атанасяна «Геометрия 10-11» Учитель: Рожкова Надежда Даниловна Объем прямоугольного параллелепипеда Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна а и составляет угол в 30 0 с плоскостью боковой грани и угол 45 с плоскостью основания. 0 0 1. Объясните, как построить угол в 30 между C1 диагональю параллелепипеда и плоскостью боковой грани D1 A1 B1 30 0 0 2. Объясните, как построить угол в 45 между диагональю параллелепипеда и плоскостью боковой грани a ? ? D ? А С 45 0 ? 3. Найдите длины отрезков АВ, АD1 , DD1 В 4. Составьте план вычисления длины отрезка AD и объема параллелепипеда Объем прямой призмы В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 через сторону ВС основания и середину бокового ребра AA1проведено сечение, составляющее угол в 45 0 с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона ее основания равна 10 см. Решение. С 1 0 В треугольнике ABD: AD = 10 cos 30 = 5 3 А1 В треугольнике MAD: АА1 = 2 АМ = 2 AD = 10 3 В1 2 10 3 V= 10 3 = 750 4 М С 45 0 D А 10 В Объем призмы и цилиндра Дана правильная шестиугольная призма, О – центр ее основания, ВЕ1 8 см, Е1 ВЕ 60 0 Найдите: объем призмы; объем описанного около призмы цилиндра; объем вписанного в призму цилиндра Решение. E1 D1 F1 С1 В1 A1 ЕЕ1 4 3 ОК = 3 S осн..призмы 6 3 8 Vпризмы 72 E 60 O F A D 0 С В K Vцил. впис. 12 3 Vцил.опис. 16 3 ВЕ = 4 ОВ = 2 Задача Дано: АМ – наклонная к плоскости γ, МО ┴ γ, АЕ – луч на плоскости γ, образующий острый угол β с проекцией наклонной; угол МАО = α, угол ВАО = β, угол МАВ = φ. Докажите: cos φ = cos α ∙ cos β М Доказательство. Пусть ОВ ┴ АЕ, γ АВ АВ АО cos φ = АМ АО АМ α φ А тогда АВ ┴ МВ, β В О Е = cos α ∙ cos β Задача Дано: луч АМ образует равные острые углы с лучами AF и АЕ. Докажите: проекцией луча АМ на плоскость EAF является биссектриса АО угла EAF. М Доказательство. Построим ОВ ┴ АЕ, ОС ┴ АF; ∆АВМ = ∆АСМ по гипотенузе и острому углу, значит АВ = АС; F ∆АВО = ∆АСО по гипотенузе и острому углу, значит угол ВАО равен углу САО; C АО – биссектриса угла EAF А O B Е Объем наклонной призмы 0 Все грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом 60 Найдите объем параллелепипеда. D1 C1 Решение. Построим проекцию ребра АА1 Пусть А1 АК тогда cos 60 = cos α ∙ cos 30, A1 B1 D С а 1 3 , sin 1 - 1 3 Из АА 1 К : А1 К аsin α А cos К 30 0 V a sin 60 2 В 0 3 a 2 a3 2 2 3 a 2 2 3 Если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды. M Доказательство. Треугольники МАО, МВО, МСО,… равны по катету и гипотенузе. \\ // // \\ Поэтому ОА = ОВ = ОС = …, O А D В С т.е точка О – центр окружности, описанной около основания пирамиды. Если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. M Доказательство. Треугольники МKО, МEО, МFО,… равны по катету и гипотенузе. \\ // \\ Поэтому ОK = ОE = ОF = …, O А D К F В Е С т.е точка О – центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Шаровой сегмент Шаровой слой m В h 1 h ( R h) 3 Шаровой сектор D А R Vсегм С 2 Vслоя Vсегм. Vсегм. AmD BmC h R Vсект 2 2 R h 3