******* *2 - pedportal.net

Решение задач С2
Титенко О.Г. учитель математики МБОУ СОШ № 17
с. Краснопартизанского
Вариант 21
В основании прямой призмы
ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD, со
стороной a и острым углом А, равным
600. Высота призмы равна a. Через
вершины B1, D1 и середину М ребра
СС1 проведена плоскость. Найдите
угол ( в градусах) между плоскостью
B1MD1 основанием ABCD.
D1
A
O
1
C
B1
1
M
D
C
A
B
Плоскости АВС и А1В1С1 параллельны. Плоскость
B1MD1 образует равные углы с плоскостями
оснований призмы. Находим двугранный угол
C1B1D1M
MC 1  ( B1C 1 D1)
Т.к.
ОC1  B1D1
и МО  B1D1
, то
по теореме
о 1трех перпендикулярах
МОС
.
Значит
угла C1B1D1M
- линейный угол двугранного
С1В1О  прямоуголь ный,
В1С1О  30 ,
В1С1  a,
0
a 3
C1O  B1C1  cos 30 
2
С1MО  прямоуголь ный,
0
C 1M a a 3
1
tgC1OM 
 :

C1O 2 2
3
0
C1OM  30
Вариант 23
В основании прямой призмы
ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD,
со стороной a и острым углом А,
равным 600. Высота призмы равна
a. Найдите косинус угла между
прямыми АВ1 и ВD
B1
C
1
A
D1
1
B
A
C
D
Прямые АВ1 и BD – скрещивающиеся, т.к. АВ1 и
DC1 параллельные прямые, то угол BDC1 –
искомый угол между скрещивающимися прямыми
АВ1 и BD .
BDC 1  равнобедренный,
BC 1  DC 1  a 2
BD  a
По теореме косинусов:
BC 1  BD  DC 1  2  BD  DC 1  cos BDC 1
2
2
2
BD 2  DC 12  BC 12
cos BDC 1 
2  BD  DC 1
a 2  2a 2  2a 2
1
2
cos BDC 1 


4
2a  a 2
2 2
Вариант 25
В основании
прямой
призмы
3
ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD,
со стороной
и острым углом
А, равным 600. Высота призмы
равна 4. Через вершины B1, D1 и
середину М ребра СС1 проведена
плоскость. Найдите расстояние от
точки В до плоскости B1MD1.
D1
A
Н
1
C
B1
1
О
М
D
C
A
B
B1C1M  D1C1M  BCM  DCM
B1M  D1M  BM  DM  2 
2
 3
2
 7
Рассмотрим пирамиду MDD1B1B. Т.к. боковые
ребра пирамиды равны, то основанием высоты,
проведенной из вершины М к основанию
пирамиды – прямоугольнику DD1B1B, является
точка О ( точка пересечения диагоналей
основания).
Вычислим объём пирамиды MDD1B1B.
1
VMDD1 B1 B  SDD1 B1 B  MO
3
DB  3
D1D  4
SDD1 B1 B  DB  D1D  4 3
BD1 
 3  4
19
BO 
2
2
2
 19
2
 
 19 
2
3
  7 
MO  

2
2


3
1
VMDD1 B1 B   4 3   2 3
2
3
1
VMD1 B1 B  VMDD1 B1 B  3
2
Объём пирамиды MD1B1B можно вычислить
приняв за основание треугольник MD1B1. Высота,
проведенная из вершины В к основанию MD1B1,
является искомым расстоянием от точки В до
MD1B1  равнобедренный,
MB1  МD1  7
B1D1  3
3
D1H  B1H 
2
MH 
 
2
 3
5
 
7  

2
2


2
1
1
5 5 3
SMD1 B1   B1D1  MH   3  
2
2
2
4
1
VMD1 B1 B   SMD1 B1  h
3
3 V
3  3 12
h


 2,4
SMD1 B1 5 3
5
4
Вариант 27
В
основании
прямой
призмы
ABCA1B1C1 лежит равнобедренный
прямоугольный
треугольник
с
катетом 1.
Высота призмы СС1 равна 2.
Найдите
косинус
угла
между
прямыми AB1 и BC1.
С1
А1
В1
С
А
В
О
Прямые
плоскости
AB1
АА1В
и
BC1 – скрещивающиеся. В
проведем
прямую
ВО
параллельную прямой АВ1.
Угол ОВС1 является углом между прямыми АВ1 и
АВС  прямоуголь ный
ВС1.
АВ  2
СС1В  прямоуголь ный
С1В  5
ОАВ1В  параллелограмм
ОА  ВВ 1  2
ОА1С1  прямоуголь ный
ОС 1  17
ABB1  прямоуголь ный
АВ1  6
ОВ  АВ1  6
В ОВС 1 по теореме косинусов
ОС 1  ОВ  ВС 1  2  ОВ  ВС 1  соsOBC 1
2
2
2
ОВ  ВС 1  ОС 1
соsOBC 1 
2  ОВ  ВС 1
2
2
2

6    5    17 

2
соsOBC 1
2
2
2 6  5
6  5  17
6
3
соsOBC 1 


2  30
2  30
30
OBC 1 является тупым углом.
За угол между прямыми АВ1 и ВС1
нужно принять угол  , смежный OBC 1
cos(180   )   cos 
3
cos  
 0,3
30
0
Вариант 29
В основании прямой призмы лежит
прямоугольный
треугольник
с
катетами 3 и 4. Через гипотенузу АВ
основания и середину М ребра СС1
проведена плоскость.
При какой длине высоты призмы
плоскость
АМВ
наклонена
к
плоскости основания под углом 450?
С1
А1
В1
М
С
А
Н
В
АС  ВС 4  3
СН  АВ, СН 

 2,4
АВ
5
0
0
МСН , МСН  90 , МНС  45 ,
МСН  равнобедренный, МС  НС  2,4
МС  МС 1  2,4
СС1  4,8