Тема Равнобедренный треугольник

Тема
Равнобедренный
треугольник
Каким наименьшим числом можно заменить
часть «много» в слове «многоугольник»?
Ты на меня, ты на него, на всех
нас посмотри,
У нас всего, у нас всего, у нас
всего по три.
Три стороны и три угла, и
столько же вершин.
И трижды трудные дела мы
вместе совершим.
Мы - треугольников семья,
дружнее не сыскать,
Мы - треугольников семья, нас
каждый должен знать.
Из истории треугольников
Простейшая из многоугольников – треугольник играет в геометрии
особую роль. Вся геометрия со времён Евклида покоится на «трёх
китах» - трёх признаках равенства треугольников. Изображения
треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах,
в старинных индийских книгах и в других древних документах. В
Древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской
школе, основанной в 7 веке до нашей эры Фалесом, и в школе
Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется
одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о
треугольниках было затем полностью изложено в первой книге
«Начал» Евклида. Среди «определений», которыми начинается эта
книга, имеются и следующие: «Из трёхсторонних фигур
равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные
стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные
стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны».
Теоремы о треугольниках
Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после
отрезка фигура, она имеет много важных и интереснейших
свойств. К этим свойствам сводятся свойства других, более
сложных фигур.
Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся учёные
(теорема Пифагора, формула Герона, точка Торричелли,
окружность Эйлера, теорема Лейбница и Карно и другие).
Особенно активно свойства треугольника исследовались в 15 – 17
вв. Вот одна из красивейших теорем того времени,
принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон
треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от
вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности».
Эта окружность получила название окружности девяти точек. Её
центр оказался в середине отрезка, соединяющего точку
пересечения высот с центром описанной окружности.
О равнобедренном треугольнике
Равнобедренный треугольник обладает рядом геометрических
свойств, которые привлекли к себе внимание еще в
древности. В одном египетском папирусе 4000-х летней
давности говорится, что площадь равнобедренного
треугольника равна произведению половины основания на
боковую сторону. В задачах на треугольники, содержащихся
в папирусе Ахмеса, на первый план выступают
равнобедренный и прямоугольный треугольники. На
практике часто применялось свойство медианы
равнобедренного треугольника, являющийся одновременно
и высотой и биссектрисой. Особый интерес представляет
прямоугольные треугольники. В равнобедренном
прямоугольном треугольнике каждый из острых углов равен
45 градусов. Высоты треугольника пересекаются в вершине
прямого угла. Медианы пересекаются в середине
гипотенузы. Эта точка является и точкой пересечения
середин перпендикуляров к сторонам, а также центром
описанной окружности.
Определите вид (по сторонам и углам) каждого из
треугольников.
Проблемные вопросы
 Верно ли, что у равнобедренного
треугольника только два угла равны?
 Как вырезать равносторонний треугольник
из прямоугольного листа бумаги, если
можно сделать только один разрез
ножницами? (Бумагу можно
предварительно сгибать).
Практическая работа
 Согните равнобедренный треугольник по
медиане, проведённой к основанию.
Какими свойствами она обладает?
 Согните равнобедренный треугольник по
медиане, проведённой к боковой стороне.
Обладает ли она таким же свойством, что
и медиана проведенная к основанию.
Проблемные вопросы
 Что можно сказать о медианах,
проведённых к боковым сторонам
равнобедренного треугольника?
 Что можно сказать о биссектрисах,
проведённых к боковым сторонам
равнобедренного треугольника?
Вычислите все внутренние углы
треугольников, изображенных на рисунке
 CDK = 50°,
 DCK = DKC = 65°.
 FDE = 50°,
 FED = 50°,
 DFE = 80°.