Документ 4761506

Переменная величина
Функция
Предел функции
Основные теоремы о пределах
Вычисление пределов
Переменной величиной называется
величина, которая принимает различные
численные значения.
В противном случае она называется
постоянной.
Переменные величины:
x, y, z, u
Постоянные величины:
a, b,c
Множество всех числовых значений
переменной величины называется
Областью изменений этой переменной.
Например: областью изменений
переменной x=cosα, для всевозможных
α есть отрезок [-1;1], т.е. -1≤ x ≤1
Окрестностью данной точки Х0 называется
произвольный интервал (a;b), содержащий эту
точку внутри себя.
a
x0
b
X
Часто рассматривается ε- окрестность т. Х0,
когда т. Х0 является Центром окрестности.
ε
x0-ε
ε
x0+ε
x0
X
В этом случае число ε>0 называется радиусом
ε-окрестности, (x -ε;x +ε )
0
0
В случае, когда известны и область
изменения переменной Х, и порядок, в котором она принимает свои числовые значения,
будем иметь дело с упорядоченной переменной величиной.
Например:
1. Переменная величина есть числовая последовательность
Хn= 1/n , nЄN, или
1; 1/2; 1/3; 1/4; …
2. Арифметическая прогрессия
3. Геометрическая прогрессия
Переменная у называется функцией
переменной х, если каждому значению х из
множества Х ставится в соответствие по
некоторому правилу одно определенное
значение у из множества значений Y.
x - независимая переменная, аргумент
у – функция (зависимая переменная)
X, D(y) - область определения функции
Y, E(y) - множество значений функции
Обозначения для функции: y; y(x); f(x); F(x); φ(x)
У
b
0
a
x
Число b называется пределом функции y=f(x) при
x, стремящимся к а, если для любого ε>0 существует
δ(ε)>0 такое, что для всех х≠a, удовлетворяющих неравенству: |x-a|< δ, выполняется неравенство
|f(x)-b|< ε.
число
f(x)→b при х→а lim f(x)=b
x→a
Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а
на оси Х такою, что для всех х из этой окрестности,
кроме, быть может х=а, соответствующие значения у
лежат в ε- окрестности точки b.
У
b+ε
b
b-ε
0
a-δ а
а+δ
X
Функция f(x) называется бесконечно
малой, при х→а (х→∞), если:
limf(x)=0
х→а
(х→∞)
Например:
limsinx=0,
х→0
lim(1/x)=0,
х→∞
функции sinx (х→0) и 1/х (х→∞) есть
бесконечно малые.
Свойства бесконечно малых и
бесконечно больших функций.
1.
2.
Функция, обратная по величине бесконечно
большой, есть бесконечно малая.
Функция f(x), обратная по величине бесконечно
малой, отличная от 0, есть бесконечно большая,
т.е. limf(x)=∞
х→а
Если существует limf(x) и limg(x), то:
x→а
x→а
1. lim(f+g)= limf + limg
x→а
x→а
.
x→а
2. lim(fg)= limf limg
x→а
x→а
x→а
3. lim(f/g)= limf / limg ,
limg(x)≠0
4. limCf(x)= Climf(x) ,
C= const.
x→а
x→а
x→а
x→а
x→а
x→а
1.Некоторые наиболее употребительные пределы функций.
lim(sinx/x)=1
x→0
-
первый замечательный предел
lim(1/x)= ∞
x→0
lim(1/x)= 0
n→∞
lim q n= 0 ,|q|<1, n Є N
x→∞
lim √x = √a , a>0
x→а
limC=C , C=const
x→а
2. Пределы непрерывных функций.
Функция f(x) называется непрерывной в т. х0 ,
если
x→x0
lim f(x) = f(x0)
Отсюда следует правило для вычисления
пределов непрерывных функций. К непрерывным в их
области определе- ния относятся все известные
элементарные функции, а также многочлены.
Например:
1. lim cosх= cos0 = 1
x→0
2. lim arcsinX= arcsin1 = /2
x→1
3. lim e x = e 0= 1
x→0
4. lim (x 3- 2x 2- 1) = 8-8-1= -1
x→2
3. Пределы сложных функций.
Пусть у=F(u(x)), т.е. у – сложная функция.
Если F(u) и u(x) – известные элементарные
функции, то:
lim
F(u(x))
=
F(limu(x))
x→a
x→a
Примеры пределов сложных функций
1
1
1
1. lim 1  lim(1 )  lim 1 lim  1 0 1
(x→∞)
(x→∞) (x→∞)x
x (x→∞) x
  2 sin x  
 2 sin x 
2. lim
ln
x


ln

lim
x









x→0
x→0
x
x 


 
sin x 

2
 ln  lim x  lim
 ln( 0  1)  0

x→0
x→0
x 
