Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств Разработала учитель математики МБОУ «СОШ №38» г.Чебоксары Карасёва Вера Васильевна. Цель – обучение учащихся решению нестандартных уравнений и неравенств за счет глубокого понимания теоретических основ, применяемых в математике. • Задачи, решаемые в процессе обучения: • развить нестандартное мышление учащихся; • сформировать умение строить математические модели; • отработать навыки прохождения тестирования при подготовке к ЕГЭ (решение задач повышенной сложности); • повысить интерес к математике; • привить уверенность учащимся при решении задач Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций). Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) функции совершенно разного вида. Итак, если на некотором промежутке Р наибольшее значение функции y=f(x) равно M, а наименьшее значение функции y=g(x) равно M, то уравнение f ( x) M , f(x)=g(x) g ( x) M . Решите уравнение: Решение. • ОДЗ: х 2 4 х 2 1 3 5х 2 3 3 х . 5 5 • Оценим левую часть уравнения: х2 4 4, х 2 1 1, х 2 4 х 2 1 4 1 3. • Оценим правую часть уравнения: 2 3 5 х 3. • Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3. х 2 4 х 2 1 3, 3 5 х 2 3. • Решая второе уравнение, получаем х=0. • Ответ: х=0 Задания для самостоятельной работы log 3 (8 2 x x 2 ) 2 x 1 21 x 8 x 3 4 x 1 2 x cos 2 x x 42 2 1 4 x1 2 tgx ctgx 1 x x log 2 ( x ) sin 2 cos 4 x 2 2 4x log 3 (4 cos ) sin x 3 x2 x 2 2 cos 2 x 2x 6 log 2 (1 x 4 x 2 ) log 2 (1 x 2 ) 0 2 1 2 x log 2 ( x 1) log 2 x 2 2 log 3 (4 x 2 ) log 2 (1 ( x 3) 2 ) 2 x log 5 ( x 2) 2 1 x 2 1 x6 log cos 2 x x 4 x log 2 (3 sin x ) 2 2 Решить неравенство cos 2x cos 6x 2 cos 2 x 1, cos 6 x 1. cos 2 x 1, 2 x 2n, cos 2 x cos 6 x 2 cos 6 x 1. 6 x 2n. x n, n x n., n x 3 Использование монотонности функций • Теоремы о монотонности функций, их связь с решением уравнения. Алгоритм решения с помощью метода монотонности. • Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня • Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более одного корня. • Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение f ( ( x)) f ( ( x)) ( x) ( x), равносильно системе: ( x) M , x M Решите уравнение: 3 7 х 6 3 5 х 17 5. 3 3 y 7 х 6 5 х 17 возрастающая (как • Функция сумма двух возрастающих функций). В правой части – постоянная, то по теореме о корне данное уравнение имеет не более одного корня. Методом подбора найдем корень уравнения, он равен 2 Ответ. Х=2 x 1 • Решите неравенство: 8 3 2 <7 1 Функция f (x) 8 x 3 2 x возрастает при любых, как сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что х=0-единственный корень уравнения f(x)=7. Следовательно, неравенство f(x)<7 выполняется при х<0. Ответ х<0 x Задания для самостоятельной работы 2 3 2 3 x x 2 x 3 5 2 x1 7 2 4 x1 19 5 3 2 x x log 2 (1 x ) log 3 x ( 3 ) x 2 x1 1 2 log 3 ctgx log 2 cos x 2x 3 x 8 x 2 x 2 3 x x 0 16 x 3 x 4 x 9 x log 2 x ( x 1) log 2 x 6 2 x log 2 ( x 3) 3 log 3 (14 x) 3 log 2 ( x 3) 3 log 3 (14 x) 3 2 3 x 9 7 2x 1 x 1 3 1 log 1 x 17 4 Использование области определения функций • Рассматривается метод, когда при решении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел. • Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят обратно тригонометрические, логарифмические и иррациональные функции. Правила решения уравнений и неравенств • При решении уравнения или неравенства перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти её область определения Д (f). При этом: • 1). Если Д (f) – пустое множество , то уравнение или неравенство решений не имеют. • 2). Если Д (f) = {а1; а2; а3…..аn}, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а1; а2; а3…..аn. Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства. • 3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в). Решите уравнение: 5 х 7 х 2 х 15 2 • Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл: 5 х 0, 7 х 0, 2 х 15 0; х 5, х 7, х 7,5; • Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений. • Ответ: решений нет. Задания для самостоятельной работы 1. Решите систему неравенств 2 x 2 24 x 2 y 2 28 y 167 0 15 x 2 y 2 2.При каких значениях параметра уравнение x 2 6x 8 x 2 6x 5 a имеет ровно 3 корня. 3.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства 1. является отрезком длины меньше 4. Найдите все значения параметра , при каждом из которых график функции f ( x) x 2 x 2 2 x 3 a пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках. • 5. Найдите все значения переменной , при каждом из которых неравенство верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка [3; 6]. Применение производной при решении уравнений и неравенств • При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо доказать монотонность (возрастание или убывание) функций, входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание функций удобно доказывать с помощью производной. • Решите неравенство: 7 5 20 x 28 x 210 x 35 sin 2 x 0 • • Рассмотрим функцию y 20 x 7 28 x 5 210 x 35 sin 2 x Она определена на всей числовой прямой имеет производную: f ( x) 140 x 6 140 x 4 210 70 cos 2 x причем f (x )>0 , следовательно, возрастает на всей области определения Тогда уравнение f ( x) 0 имеет не более одного корня. Легко заметить, что таким корнем является число х=0. Т.к. функция непрерывна и возрастающая, то решением исходного неравенства является х 0; . Задания для самостоятельной работы • 1.Найдите все значения , при которых уравнение 6 sin 3 x p 5 cos 2 x не имеет корней. x3 • 2.Решите уравнение sin x x 6 x x • 3. Решите уравнение e e 2 ln( x 1 x 2 ) x 2 y 2 y 2 x y 3 9 • 4. Решить систему уравнений 3 4 x y y 7 t2 t 1 t 2 t t 1 • 5. Доказать, что уравнение имеет единственный корень, лежащий в интервале 1 ; 1 3 2 • 6. Доказать, что уравнение cos x x 2 имеет единственное решение x 7. Решить уравнение 2 3 x . Тригонометрическая подстановка • Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить. • Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной х определяются неравенством x 1 , то удобны замены x sin или x cos. Задания для самостоятельной работы 1.Решить уравнение 1 x2 x 1 . 1 x 1 x 2 2 2.Выяснить, сколько корней имеет уравнение 8x1 2 x 2 8x 4 8x 2 1 1 . 5 x 1 3. Решите уравнение . x 2 x2 1 4. Решите уравнение 1 x 3 x 2 3. x 1 1 x 2 5. Решите уравнение 8 x 3 6 x 3 0 . 6. Решите уравнение x 1 x 2 2 2x 2 1