Примеры.

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
2 семестр
Лекция 10
Абсолютная и условная сходимость
несобственных интегралов.
Интеграл в смысле главного значения.
23 апреля 2014года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Тищенко Мария Маратовна
Примеры
2376 а) Исследовать сходимость интеграла

1
 | x  a1 |p1  | x  a2 |p2  | x  an |pn dx
Примеры
Решение № 2376 а). Разобьем интеграл на сумму интегралов,
добавляя по одной точке между особыми точками.
Для сходимости в окрестности каждой конечной точки x=ai
необходимо, чтобы pi < 1.
Для сходимости в окрестности бесконечности необходимо,
чтобы суммарная степень знаменателя
p1  p2    pn  1
Ответ: интеграл

1
 | x  a1 |p1  | x  a2 |p2  | x  an |pn dx
сходится при
p1  p2    pn  1, pi  1 i  1,2,..n
Примеры
2376 б) Исследовать сходимость интеграла

x
0


 | x  1| dx
Примеры
Решение № 2376 б). Разобьем интеграл на сумму
интегралов, добавляя по одной точке между особыми
точками.

x

0.5

 | x  1| dx 
0
3
 | x  1| dx 
0

  x  | x  1| dx 
1
x




x
3
1
x
0.5


 | x  1| dx


 | x  1| dx 
Примеры
Этот пример похож на предыдущий, только записаны
обратные функции под интегралом.
Для сходимости в окрестности бесконечности необходимо,
чтобы – (α+β) > 1, а для сходимости в окрестности каждой
конечной точки x=0, x=1 необходимо, чтобы - α <1, - β < 1.
Рассмотрим плоскость переменных α,β. Заданные
неравенства определяют область α > -1, β > -1, α+β < -1.
Ответ: интеграл сходится при α>-1, β>-1, α+β<-1
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0.5
Примеры
2377. Исследовать сходимость интеграла


0
Pm ( x)
dx
Qn ( x)
где P(x), Q(x) взаимно простые многочлены степени m, n
соответственно.
Примеры
Решение № 2377. Если знаменатель имеет действительные
корни, то в окрестности каждого такого корня
подынтегральная функция будет эквивалента
Pm ( x)
c
f ( x) 

при x  xi
ki
Qn ( x) ( x  xi )
Так как степень больше либо равна 1, то интеграл будет
расходиться. Первое условие сходимости - корни
знаменателя не должны принадлежать области
интегрирования.
Примеры
В окрестности бесконечности подынтегральная функция
будет эквивалентна
Pm ( x)
c
f ( x) 
 n  m при x  
Qn ( x) x
Несобственный интеграл 1 рода будет сходиться при
условии n – m > 1.
Ответ. Интеграл сходится, если корни знаменателя <0,
и n > m + 1.
Абсолютная и условная сходимость
Определение. Если сходится интеграл от функции
неограниченной в окрестности например правого конца
b
 f ( x)dx
a
a интеграл
b

f ( x ) dx
a
расходится, то исходный интеграл
b
 f ( x)dx
a
называется условно сходящимся.
10
Абсолютная и условная сходимость
Определение. Если сходится интеграл
b

f ( x ) dx ,
a
то исходный интеграл
b
 f ( x)dx
a
называется абсолютно сходящимся.
11
Абсолютная и условная сходимость
1
 1 
f ( x) 
sin 
 , F ( x)   f (t )dt
1 x
 1 x 
0
x
12
Примеры
Пример 2384 а). Рассмотрим, сходится ли интеграл Френеля

2
sin(
x
)dx

0
Решение. Рассматриваемый интеграл сходится
одновременно с

2
sin(
x
)dx

1
Будем рассматривать второй интеграл.


1
1
2
sin(
x
)dx 



2
t

x
2
1
sin(
x
)(2 xdx) 
  21 t sin(t )dt
2x
dt  2 xdx 1
13
Примеры
Получили, что степень при новой переменной t равна 0,5 < 1,
интеграл сходится условно. Значит и исходный интеграл
сходится условно.
Ответ: интеграл

2
sin(
x
)dx

0
сходится условно.
14
Примеры
Интеграл Френеля

2
sin(
x
)dx

0
3
2,5
2
1,5
1
y=|sin(x*x)|
0,5
0
-0,5
-1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
y=sin(x*x)
-1,5
15
Примеры
Пример № 2380. При каких значениях параметров p, q
сходится интеграл


x p sin( x q )dx
0
16
Примеры
Решение № 2380. Пусть q>0. Разобьем интеграл на сумму
интегралов точкой x=1.

1

x p sin( x q )dx   x p sin( x q )dx 
0
0


x p sin( x q )dx
1
В окрестности x=0 функция sin(x) эквивалентна x и вся
подынтегральная функция эквивалентна степенной:
f ( x)  x p sin( x q )  x p  q 
1
x  pq
17
Примеры
f ( x)  x p sin( x q )  x p  q 
1
x  pq
Тогда в окрестности x=0 при q>0 будет абсолютная
сходимость при -p – q < 1, или p + q > -1,
и интеграл будет расходиться при
 p  q  1, p  q  1
Рассмотрим второй интеграл. Сделаем замену
переменных с тем, чтобы воспользоваться признаком
Дирихле-Абеля
18
Примеры


x p sin( x q )dx 
1
1

q
 1 q  p
q
t
1
t  xq
xt
1

q
1
sin(t )dt 
q
1
q
  t sin(t ) t
q
1

p

sin(t )
1
t
q  p 1
q
Интеграл сходится условно при
0 
q  p 1
 1,
q
0 1
p 1
 1,
q
1  
1 q
q
dt 
dt
p 1
 0,
q
0 
p 1
1
q
Интеграл сходится абсолютно при
q  p 1
 1,
q
1
Интеграл расходится при
0 
q  p 1
,
q
p 1
p 1
 1,
 0
q
q
0 1
p 1 p 1
,
1
q
q
19
Примеры
К полученному результату надо добавить условие
сходимости в окрестности точки 0:
p  q 1
p 1
p  q  1, p  q  1  0, 0 
, 1 
q
q
Случай q < 0 сводится к аналогичным интегралам,
если сделать замену
1
y .
z
20
Примеры
Ответ: Интеграл сходится абсолютно при
1 
Интеграл сходится условно при
p 1
0
q
p 1
0
1
q
В остальных случаях интеграл расходится.
21
Примеры
Рассмотрим плоскость переменных (p, q), и отразим на
ней полученные неравенства.
22
Примеры
23
Примеры
Вернемся к вопросу о сходимости несобственного
интеграла 1 рода и ограниченности подынтегральной
функции.
Решенный выше пример позволяет подобрать пример
неограниченной на бесконечности функции, интеграл
которой сходится. Область условной сходимости
интеграла:
p 1
0
1
q
24
Примеры
0
p 1
1
q
Выберем p=1,5, так чтобы степенная функция была
неограниченной, и подберем q=3, с тем чтобы выполнялось
неравенство для условной сходимости.
Рассмотрим график подынтегральной функции и интеграла с
переменным верхним пределом для функции


x x sin( x 3 )dx
0
25
Примеры


x x sin( x 3 )dx
0
6
4
2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-2
-4
-6
f(x)
F(x)
26
Примеры.
2381. Исследовать на абсолютную и условную
сходимость


0
x p sin x
dx, ( q  0)
q
1 x
27
Примеры.
Решение № 2381. Разобьем интеграл на два, чтобы
анализировать сходимость в окрестности 0 и окрестности
бесконечности.


0
1
x p sin x
x p sin x
dx  
dx 
q
q
1 x
1 x
0


1
x p sin x
dx
q
1 x
Рассмотрим первый интеграл. При x 0 функция sinx
эквивалентна x, подынтегральная функция эквивалентна
x p sin x x p x
1


1  xq
1
x  ( p 1)
несобственный интеграл 2 рода сходится абсолютно при
любом q, и -(p+1) < 1, или p > -2.
28
Примеры.
Рассмотрим второй интеграл в окрестности
бесконечности.
При x, стремящемся к бесконечности, имеем
знакопеременную функцию. Исследуем модуль


x p sin x
xp
| sin x | 1, 
dx  
dx
q
q
1 x
1 x
1
1
xp
xp
1


при x  
q
q
q p
1 x
x
x
Несобственный интеграл 1 рода сходится абсолютно
при q – p > 1.
29
Примеры.
Ответим на вопрос о сходимости интеграла 1 рода
от знакопеременной функции. Применим признак ДирихлеАбеля.
Функция sinx имеет ограниченную первообразную (-cosx), функция g(x)
xp
xp
1
g x 


1  x q x q x q p
монотонно стремится к 0 при x, стремящемся к
бесконечности при q – p > 0, тогда несобственный
интеграл 1 рода ( на бесконечности) сходится при q > p .
30
Примеры.
Покажем, что в области
p  q  1 p
интеграл из модулей расходится, тогда там будет
условная сходимость.


1

x p sin x
x p | sin x |
dx  
dx 
q
q
1 x
1 x
1



1
1

2
x p (1  cos 2 x )
dx 
q
2(1  x )


1


1


1
x p sin 2 x
dx 
q
1 x
xp
dx 
q
2(1  x )
x p cos 2 x
dx
q
(1  x )
31
Примеры.
Второй из полученных интегралов сходится по
признаку Дирихле-Абеля, а первый расходится по
признаку сравнения со степенной функцией на
бесконечности. Сумма сходящегося и расходящегося
интеграла расходится. В области
p  q  1 p
несобственный интеграл 1 рода сходится условно.
32
Примеры.
В области q < p несобственный интеграл 1 рода
расходится. Доказательство будем проводить по критерию
Коши. Надо доказать, что
  0 : b  1 b1  b, b2  b :
b2

b1
x p sin x
dx  
q
1 x
Если степень 0 < q < p, то функция g(x)
xp
p q
g ( x) 

x
при x  
q
1 x
стремится к бесконечности при x, стремящемся к
бесконечности.
33
Примеры.
Применим теорему о среднем для интегралов, тогда
x p sin x
p 2
dx 
sin xdx, где   [b1 , b2 ]
q
q 
1 x
1   b1
b2
b

b1
  1  0 : b  1 k  [b]  1 b1  2 k  b, b2  2 k    b :
b2

b1
2
x p sin x
p
(2 k ) p
dx 
  sin xdx 
q
q
1 x
1   b1
1  (2 k   ) q
b

 sin xdx  1
0
В области q < p несобственный интеграл 1 рода
расходится по критерию Коши.
Рассмотрим плоскость переменных (p, q), и отразим на
ней полученные неравенства.
34
Абсолютная и условная сходимость
Ответ. интеграл сходится абсолютно при p > -2, q > p + 1,
интеграл сходится условно при p > -2, p < q <= p + 1,
интеграл расходится в остальных случаях.
35
Выводы
Вывод. При решении задач на несобственные интегралы
надо
1) если задача вычислить значение интеграла, то
• ищем первообразную и
• находим предел
2) если задача ответить на вопрос, сходится ли интеграл, то
• можно найти первообразную и найти предел,
• если найти первообразную не удается, то надо применить
теоремы о сходимости, а именно:
а) найти все точки, в окрестности которых
подынтегральная функция неограниченна,
б) проверить, какие из них принадлежат промежутку
интегрирования,
Выводы
в) для каждой такой точки найти эквивалентную для
подынтегральной функции и применить частный признак
сравнения несобственных интегралов 2 рода,
г) для неограниченной области интегрирования найти
эквивалентную и применить частный признак сравнения
несобственных интегралов 1 рода (при стремлении
аргумента к бесконечности),
д) возможна ситуация, когда найти эквивалентную для
подынтегральной функции невозможно, тогда необходимо
применять основной признак сравнения,
е) если интеграл представляет сумму интегралов, то для
сходимости необходимо, чтобы сходились все слагаемые,
ж) предыдущие случаи относились к знако постоянным
функциям. Если подынтегральная функция является
знакопеременной, то применяем признак Дирихле Абеля.
Интеграл в смысле главного значения
Интеграл в смысле главного значения.
Рассмотрим интеграл
4
1
3 x dx
38
Интеграл в смысле главного значения
Определение. Пусть функция f(x) определена на
прямой -∞<x<+∞ и интегрируема на каждом сегменте,
принадлежащем этой прямой. Будем говорить, что функция
f(x) интегрируема по Коши, если существует конечный
предел



B
f ( x )dx  lim
B

f ( x )dx
B
В этом случае говорят, что интеграл 1 рода (для
интеграла по неограниченной области) сходится в смысле
главного значения.
39
Интеграл в смысле главного значения
Определение. Пусть функция f(x) определена на
отрезке [a,b] , кроме, быть может, точки x=c , a<c<b и
интегрируема на любом сегменте, не содержащем c. Будем
говорить, что функция f(x) интегрируема по Коши, если
существует конечный предел
c 
b
 f ( x)dx  lim ( 
a
0
a
b
f ( x )dx 
 f ( x)dx)
c
В этом случае говорят, что интеграл 2 рода (для
интеграла от неограниченной функции) сходится в смысле
главного значения.
40
Интеграл в смысле главного значения
Пример 2390 . Вычислить интеграл в смысле главного
значения

B

B
 sin xdx  lim
B
 sin xdx  lim ( cos x)  B 
 lim ( cos B  cos(  B))  0 при B  
Ответ. Интеграл сходится в смысле главного значения к 0.
41
Интеграл в смысле главного значения
Утверждение. Если f(x) нечетна, то она интегрируема по Коши
и главное значение равно нулю.


B
f ( x )dx  lim
B


f ( x )dx  0
B
Если f(x) четная, то она интегрируема по Коши тогда и только
тогда, когда сходится несобственный интеграл
B

f ( x )dx
0
Доказательство:



B
f ( x )dx  lim
B

B
B
f ( x )dx  2 lim
B

f ( x )dx
0
42
Интеграл в смысле главного значения
Пример 2390 б). Вычислить интеграл в смысле главного
значения

dx
0 1  x 2
Решение. Разобьем интеграл на два


0
2
dx
dx


2
2

1 x
1 x
0
1
 lim ( 
 0
0
2


2
dx

2
1 x
B
dx
dx
dx

)  lim

1  x 2 1 1  x 2 B 2 1  x 2
43
Интеграл в смысле главного значения
1
1 x
 lim (ln
2  0 1  x

1
0
1 x
 ln
1 x
2
1 1 x
)  lim ln
B  2
1 x
1
B

2
1
2
2
lim (  ln1  ln  ln 3  ln  ln1  ln 3)  0
2  0


Ответ. Интеграл сходится в смысле главного значения к 0.
44
Интеграл в смысле главного значения
Пример 2392. Вычислить интеграл в смысле главного
значения

dx
0 x 2  3x  2
Решение. Разобьем интеграл на два


0
dx

2
x  3x  2

3
1
1
1
1
(

)
dx

(

0 x  2 x  1 0 x  2 x  1)dx 

1
1
x2
 (

)dx  lim lim (ln
 0  0
x  2 x 1
x 1
3
 ln
x2
x 1
3
)  lim ln
2 
B 
x2
x 1
1
0
x2
 ln
x 1
2 

1
B

3
45
Интеграл в смысле главного значения


0
dx

2
x  3x  2

 (
3
 ln
3
1
1
1
1
(

)
dx

(

0 x  2 x  1 0 x  2 x  1)dx 
1
1
x2

)dx  lim lim (ln
 0  0
x  2 x 1
x 1
x2
x 1
3
)  lim ln
2 
 lim lim (ln
 0  0
 lim ln
B 

B 
x2
x 1
1
 ln
0
x2
x 1
2 

1
B

3
1  
2

1  
1

 ln
 ln
 ln
 ln  ln
)

1
1

2
1 
B2
1
1
 ln  ln
B 1
2
2
46
Интеграл в смысле главного значения
Пример 2393. Вычислить интеграл в смысле главного
значения
2
dx
v. p. 
1 x ln x
2
Решение.
2
 1 dx
dx
dx 
v. p. 
 lim  
 



0


x
ln
x
x
ln
x
1 x ln x
1
1


2
 2

t  ln x
ln 2
 ln(1 ) dt
dt 

 
 

dx  lim

0


t
t
dt 

ln
2
ln(1


)


x
 lim  ln | ln(1   ) |  ln |  ln 2 |  ln(ln 2)  ln | ln(1   ) |  0
2
 0
47
Вопросы
Разбор утверждений. Верны ли следующие утверждения?
1. Если сходится несобственный интеграл 1 рода, то
подынтегральная функция стремится к нулю.
Утверждение неверно. Пример – интеграл Френеля.

2
sin(
x
)dx

0
2. Если подынтегральная функция стремится к нулю, то
сходится несобственный интеграл 1 рода.
Утверждение неверно. Пример:

1
0 x  1 dx
Вопросы
3. Если 1) сходится несобственный интеграл 1 рода, и
2) существует конечный предел подынтегральной
функции, то подынтегральная функция стремится к нулю.
Да, верно.
Если существует конечный предел подынтегральной
функции, то можно записать неравенство
 lim f ( x )  c  m : x  m верно, что
x 


m
c
2
 f ( x)  c 3 2

f ( x )dx   c dx  lim c ( B  m)
2
B  2
m
Конечный предел существует только при с=0.
Вопросы
4. Если 1) сходится несобственный интеграл 1 рода, и
2) подынтегральная функция монотонна,
то подынтегральная функция стремится к нулю.
Да, верно.
Вопрос по несобственным интегралам 2 рода:
1. Если подынтегральная функция стремится к
бесконечности при x  b , то несобственный интеграл 2
рода расходится.
Утверждение неверно. Это означает, что мы должны
рассматривать несобственный интеграл второго рода.
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Абсолютная и условная сходимость
несобственных интегралов.
Интеграл в смысле главного значения.
Лекция 11 завершена.
Спасибо за внимание!
51