Типовые задачи к экзамену по математическому анализу БкЭЗ-100 (2 семестр) I. Вычисление пределов 1. Найти предел: limπ x→ 2 3x + 2π . cos x 3x2 + x − 1 . x→∞ 5x2 − 3x + 8 2. Найти предел: lim x2 − 5x − 14 . x→−2 2x2 + x − 6 3. Найти предел: lim sin(4x) . x→0 2x cos 3x 3x · cos 5x . 5. Найти предел: lim x→0 sin 3x 5+x 3 6. Найти предел: lim ( )x . x→0 5 − x 4. Найти предел: lim 7. Найти предел: lim ( x→∞ x + 2 5x ) . x+3 II. Вычисление производных 1. Найти производную функции: f (x) = √ x . 1 − x2 2. Вычислить производную функции y = ln(sin 6x) в точке x = π . 12 3. Вычислить производную функции y = (x2 − x + 5) sin 2x в точке x = π. III. Неопределенные интегралы Z sin(5x − 1)dx. 1. Найти неопределенный интеграл: Z dx √ . 1+x Z (x − 2)dx . x2 − 4x + 3 Z dx √ √ . x(1 + x) Z sin 2x √ dx. cos2 x + 1 2. Найти неопределенный интеграл: 3. Найти неопределенный интеграл: 4. Найти неопределенный интеграл: 5. Найти неопределенный интеграл: 1 IV. Определенные интегралы Z1 1. Найти определенный интеграл: (x3 − 2x + 3)dx. 0 π Z4 sin 2xdx. 2. Найти определенный интеграл: 0 Z2 3. Найти определенный интеграл: √ xdx . 1 + 3x2 0 Z1 4. Найти определенный интеграл: (x2 − 1)dx. −1 5. Удельная производительность предприятия в течение первого года работы в каждый момент t составляла 12t − 4t3 (тыс. усл. ед. /год). Найти объем произведенной продукции за первый год. V. Исследование функций x2 + 3x 1. Задана функция y(x) = . Найти интервалы монотонности и экстремумы. x−1 2. Найти наибольшее значение функции y(x) = x 2 + на отрезке [1; 6]. 8 x 3. Найти наибольшее значение y = x3 − 6x2 + 9x + 1 на отрезке [−1; 2]. x3 . 4. Исследовать на монотонность и экстремумы: y(x) = 1 + x2 x 5. Исследовать на монотонность и экстремумы: y(x) = 2 . x −1 6. Исследовать на экстремум функцию двух переменных: z = x2 − xy + y 2 + 3x − 2y + 1. 7. Исследовать на экстремум функцию двух переменных: z = x3 + y 3 − 3xy. VI. Приложения интеграла 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x(x − 1) и осью абсцисс. 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 − 1 и осью абсцисс. 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = (x − 5)(1 − x), y = 4, x = 1. √ 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x, y = 2 − x, y = 0. 2 VII. Приложения производной 1. Найти касательную к графику функции y = ln(x3 ) такую, которая проходит через начало координат. 2. Составить уравнение касательной к кривой y = x2 − 2x в точках пересечения её с прямой 3x + y − 2 = 0. 3. Составить уравнение касательной к кривой y = ln(x − 1) в точке x = 2. √ 4. К графику функции f (x) = −4 x + 7 найти касательную, параллельную прямой y = 1−x. VIII. Сходимость числовых и степенных рядов 1. Исследовать на сходимость числовой ряд: ∞ X n · 5n n! n=1 2. Исследовать на сходимость числовые ряды: ∞ X n=1 3. Исследовать на сходимость степенной ряд: ∞ X ∞ X (−1)n √ √ и . n2 + 1 n=1 n2 + 1 1 (−1)n+1 n=1 4. Исследовать на сходимость степенной ряд: ∞ X xn n=0 3 . n! . (2x)n . n