УМК комбинеторика - Якутский медицинский колледж

Министерство здравоохранения Республики Саха (Якутия)
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Якутский базовый медицинский колледж
Учебно-методический комплекс
По дисциплине «Математика»
Тема: «Общие правила комбинаторики. Классическое
определение вероятности»
Для студентов всех специальностей первого года обучения
Преподаватель:
Подрясова Сардаана Федоровна
Якутск 2011
Тема: Общие правила комбинаторики. Классическое
определение вероятности
Вид занятия: лпз
Место проведения: ауд.26
Продолжительность занятия: 90 минут
Курс: 1 год обучения
Специальность: все специальности
Цели занятия:
Образовательная цель: изучить способы подсчета числа элементов в
конечных множествах: размещения, перестановки, сочетания, и
исследовать математические модели случайных явлений и процессов
Студент должен знать: размещения, перестановки, сочетания. Закон
больших чисел. Случайные события и операции над ними
Студент должен уметь: Различать и решать задачи на размещения,
перестановки, сочетания. Использовать законы сложения и умножения
вероятностей и решать задачи
Воспитательная цель: Формирование умений анализировать проблему и
планировать способы ее решения, развитие навыков самостоятельной
работы с дополнительной литературой и развитие наблюдательности,
формировать
чувства
ответственности,
уверенности
в
себе,
взаимовыручки,
самоконтроля,
собранности,
организованности.
Воспитывать требовательность к себе, внимание, четкость выполнения
заданий.
Методическая
цель:
развитие
логического
мышления,
пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности
мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной
деятельности, для продолжения образования и самообразования;
Оснащение занятия: раздаточный материал
Литература для студентов:
1. Омельченко В.П., Курбатова «Математика», 1-е издание,
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное
пособие, 5-е изд. – М.: Высшая школа, 2002.
3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных
учебных заведений. – М.: Академия, 2003.
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:
Просвещение, 2007.
Литература для преподавателей:
5. Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: компьютерные
технологии в медицине» 2-е издание, 2010год
6. Зайцев В.М.,Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. «Прикладная
медицинская статистика» СПб ООО «Издательство Фоллиант», 2003
7. Морозов Ю.В. «Основы высшей математики и статистики:
учебник»-М;Медицина, 1998.
8. Киселева Л.В. Пособие по математике для студентов медицинских училищ
и колледжей. – М.: ФГОУ «ВУНМЦ Росздрава», 2005.
Структура занятия:
1. Организационный момент – 5 мин.
2. Целевая установка занятия – 5 мин.
3. Актуализация базовых знаний – 5 мин.
4. Формирование новых знаний – 30 мин
5. Самостоятельная работа- 40
6. Подведение итогов занятия -3 мин.
7. Задание на дом - 2 мин.
№
Этапы
занятия
1
Организац
ионный
2
Целевая
установка
3
Актуализа
ция
базовых
знаний
Формиров
ание
новых
знаний
4
5
6
7
Ориентировочная основа действий (ООД)
Врем Цели этапов Ориентировочны
я
е действия
преподавателя
5 мин Создание
Проверка
условий для
готовности
мотивации
студентов к
студентов к
занятию, отметка
изучению
присутствующих,
темы.
запись в журнале
5 мин Активизация Ознакомление с
мыслительной планом занятия.
деятельности Акцент на
основные вопросы.
5 мин Повторение и Фронтальный
закрепление
опрос
базовых
знаний
30
Формировани Раскрытие темы,
мин
е углубление
обсуждение
и закрепление основных вопросов
знаний,
темы, объяснение
правил
примеров решения
задач
Ориентировоч
ные действия
студентов
Рапорт
дежурного
Записывают
тему и цели
урока
Отвечают на
вопросы
преподавателя
Записывают
основные
определения,
правила,
формулы,
решение
примеров
Самостоят 40
Закрепление
Преподаватель
Решают
ельная
мин
теоретических раздает карточки с примеры,
работа
знаний
заданиями разных отвечают на
уровней
вопросы,
сложности.
дополняют,
Контролирует,
исправляют,
объясняет
анализируют.
Подведен 5 мин. Оценка
Выставление
Самооценка
ие итогов
знаний
оценки
усвоения
занятия
материала
занятия и
степени
удовлетворенн
ости от
занятия.
Задание
2 мин. УИРС
Объяснение
Запись
на дом
выполнения
домашнего
домашнего задания задания
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Тезисы лекций
Тема «Общие правила комбинаторики. Классическое
определение вероятности»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Тема: Общие правила комбинаторики. Классическое
определение вероятности
1.1.
Размещения, перестановки, сочетания
Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в
конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при
непосредственном вычислении вероятностей.
Элементарными
комбинаторными
конфигурациями
являются
сочетания, размещения, перестановки. Для подсчёта числа этих
конфигураций используются правила суммы и произведения.
Правило суммы:
Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно
выбрать k способами, то выбор элемента A или B можно осуществить m +
k способами.
Правило произведения:
Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора
элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную
пару элементов (A, B) можно выбрать m*k способами.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно
называют n-факториалом и пишут n!=123...(n-1)n.
Определение. Комбинации из n элементов, которые отличаются друг
от друга только порядком элементов, называются перестановками и
вычисляют по формуле Pn=n!
Пример. Число всех возможных перестановок букв а,в,с равно: а,в,с;
а,с,в; в,а,с; в,с,а; с,а,в; с,в,а. Всего 6 перестановок, что соответствует:
P3=3!=1*2*3=6.
Определение. Комбинации из n элементов по m элементов, которые
отличаются друг от друга или самими элементами или порядком
элементов, называются размещениями (здесь m и n - натуральные числа,
причем n m) Anm 
n!
( n  m)!
Пример. В конкурсе медсестер участвуют 12 человек. Имеется три
призовые места (1,2,3 место). Сколько имеется вариантов распределения
трех призовых мест.
Решение. Необходимо найти размещение из 12 элементов по 3.
À123 
12!
12!

 10  11  12  1320 .
(12  3)! 9!
Иногда возникает необходимость не учитывать порядок следования
элементов в размещении. Такие последовательности называются
сочетанием.
Определение. Сочетаниями называются все возможные комбинации
из n элементов по m, которые отличаются друг от друга по крайней мере
хотя бы одним элементом (здесь m и n - натуральные числа, причем n  m)
Cnm 
n!
( n  m)! m!
Сочетания и размещения широко используются при вычислении
классической вероятности случайных событий.
Пример. В корзине находятся 20 орехов, из которых 7 грецких.
Наудачу выбирают 5 орехов. Найти вероятность того, что среди
выбранных орехов содержатся 2 грецких.
Решение. Число исходов опыта n  C 205 . Случайное событие А - среди
пяти выбранных орехов содержатся 2 грецких ореха. Число исходов,
3
благоприятствующих событию A, равно:
. Искомая
m  C 72  C13
C 72  C133
вероятность: P( A) 
.
5
C 20
Треугольник Паскаля:
11
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
подмеченная закономерность сохранится и в общем случае, т. е. для
любого натурального значения п верна следующая формула:
a  bn  C 0n a n  C1n a n1b  C 2n a n2 b 2  ....  C nn b n
- формулой бинома
Ньютона (бином — двучлен), а коэффициенты C n , C n , C n , C n ,...C n —
биномиальными коэффициентами.
0
1.1.
1
2
3
n
Случайные события и операции над ними
Предметом теории вероятностей является построение и исследование
математических моделей случайных явлений и процессов, наблюдаемых в
статистических экспериментах. Теория вероятностей исследует только
математические модели, а вопрос о применимости получаемых
результатов к «действенному миру опыта» решается, как правило, за
рамками теории вероятностей (А.Н. Колмогоров).
Наиболее распространенными классами (или типами) математических
моделей, исследуемых теорией вероятностей, являются случайные
события, случайные величины, системы случайных величин, случайные
процессы.
Центральным, важнейшим понятием теории вероятностей является
понятие вероятности.
Изложение элементов теории вероятностей обычно начинается с
упоминания о случайных событиях, об экспериментах и их исходах.
Эксперимент включается в наблюдении за объектами или явлениями
в строго определенных условиях и измерении значений заранее
определенных признаков этих объектов (явлений). Эксперимент называют
статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных
условиях неограниченное число раз.
Исходом эксперимента называют значение наблюдаемого признака,
непосредственно полученное по окончании эксперимента. Каждый
эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.
Событие, наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода,
обладающего заранее указанным свойством. Поскольку таким свойством
могут обладать несколько исходов, то одно и то же событие может
появиться при разных исходах эксперимента, а при других исходах
событие не появится.
Пример. Какие предсказания могут сделать при бросании игрального
кубика? Например, такие:
а) произойдет событие А – выпадет цифра 1,2,3,4,5,или 6;
б) произойдет событие В – выпадет цифра 7,8 или 9;
в) произойдет событие С – выпадет цифра 1.
Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит.
Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют
достоверным событием.
Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это
просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не
может, называется невозможным событием.
Событие С, которое в данном случае может как наступить, так и не
наступить, называется случайным событием.
Определение вероятности события
Вероятность события – это число, характеризующее степень
возможности появления событий при многократном повторении события.
Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого
опыта следует:
1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2) принять предположение о равновероятности (равновозможности)
всех этих исходов;
3) найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие
А;
4) найти частное
N ( A)
; оно и будет равно вероятности события А.
N
Итак, вероятностью события А при проведении испытания называют
отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А,
к общему числу равновероятных между собой исходов этого испытания
(классическое определение вероятности).
Вероятность события А принято обозначать Р(А), и равна: Р(А)=
N ( A)
.
N
Пример. Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 3
карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?
N ( A) C 335 11
Решение: P( A) 

 .
3
N
12
C36
Ответ:
11
.
12
А как изменилось бы решение этого примера, если бы нас
интересовала вероятность того, что среди выбранных трех карт есть
пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно подсчитать: надо из
числа всех исходов N вычесть все те исходы, в которых дамы пик нет, т.е.
вычесть найденное в примере число N(A). Затем эту разность N-N(A) в
соответствии с классической вероятностной схемой следует поделить на
N. Получим
1-Р(А)=
1
. Итак,
12
Р(В)=1- Р(А), т.е. Р(А)+Р(В)=1.
Определение 1. Событие В называют противоположным событию А,
если событие В происходит тогда и только тогда когда не происходит
событие А, и обозначают: В= А .
Теорема 1. Вероятность противоположного события А вычисляется
по формуле Р( А)  1  Р( А) .
Пример. Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 5
карт. какова вероятность того, что среди выбранных карт будет хотя бы
одна карта бубновой масти?
Решение: Из множества в 36 элементов производим выбор 5
элементов, причем их порядок не важен. Значит, возможно получение
5
N  C 36 исходов.
А - интересующее нас событие, то противоположное событие A
состоит в том, что среди выбранных 5 карт нет ни одной бубновой. Но это
значит, что все 5 карт выбраны из других карточных мастей, т.е. из 365
9=27 карт. Значит, N ( A)  C 27 и вероятность противоположного события A
вычисляется довольно просто. Затем, можно найти и вероятность самого
события А:
N ( A)
P( A) 

N
C
C
5
27
5
 0,214 ;
P( A)  1  P( A)  0,786 .
Ответ:  0,786 .
36
Рассмотрим «урновую схему»:
Пример. В урне лежит 10 белых и 11 черных шаров. Случайным
образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5
шаров ровно 3 белых?
Решение: Считаем шары в урне неразличимыми. Из 21 шара
случайным образом производят выбор 5 шаров, причем порядок выбора не
5
важен. Значит, существует N  C 21 способов такого выбора. Считаем все
эти способы равновероятными между собой.
Интересующее нас событие А наступает, когда 3 и 5 шаров – белые, а
3
2 оставшихся – черные. Из 10 белых шаров 3 шара можно выбрать С 10
способами, а из 11 черных шаров 2 шара можно выбрать С 11 способами.
Выбор разноцветных шаров считаем независимыми. По правилу
умножения получаем, что нужный нам состав можно выбрать
2
N ( A) C10  C11
P( A) 

 0,324 .
5
N
C
3
N ( A)  C10  C11
3
2
способами.
Значит,
2
21
Ответ:  0,324
Определение 2. Событие А и В называют несовместимыми, если они
не могут происходить одновременно.
Типичный пример несовместных событий дают любое событие А и
противоположное к нему событие А .
Теорема 2. Вероятность наступления хотя бы одного из двух
несовместных событий равна сумме их произведений.
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух данных
событий А и В, называют суммой событий А и В и обозначают А+В.
Пример. В урне лежат 10 белых и 11 черных шаров. Случайным
образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди них есть 4
белых шара?
5
Решение: Всего имеется N  C 21 исходов данного испытания.
Обозначим буквой С интересующее нас событие. Возможны два случая:
может случиться, что среди 5 выбранных шаров будет ровно 4 белых
шара, обозначим это событие буквой А; может случиться, что все 5
выбранных шаров – белые, а черных нет вовсе, обозначим это событие
буквой В. Тогда А и В – несовместные события, в сумме дающие событие
С. Значит, P(C )  P( A  B)  P( A)  P( B) .
C  C  0,114.
C
N ( B) C
P( B) 

 0,012.
N
C
N ( A)
Вероятность события А: P( A) 

N
4
1
10
11
5
21
5
Для Р(В) подсчет аналогичен:
10
5
21
Значит, P(C )  P( A)  P( B)  0,114  0,012  0,126.
Ответ:  0,126 .
Теорема сложения вероятностей
Зная вероятности одних событий, можно вычислить вероятности
других событий, если они связаны между собой. Теорема сложения
вероятностей позволяет определить вероятность появления одного из
нескольких случайных событий.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В
равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Теорема. Вероятность суммы конечного числа попарно
несовместимых событий À1 , À2 , À3 .... Àn равна сумме вероятностей этих
событий, т.е. Ð( À1  À2  ...  Àn )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) .
Следствие 1. Если события À1 , À2 , À3 .... Àn образуют полную группу, то
сумма их вероятностей равна единице, т.е. P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  1 .
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице, т.е. P( A)  P( À)  1 .
Пример. Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании
игральной кости.
Решение. Событие А – выпадение цифры 2, вероятность этого
1
6
события Ð( À)  . Событие В – выпадение цифры 3, вероятность этого
1
.
События
6
1 1 2 1
Ð( À  Â)  Ð( À)  Ð( Â)     .
6 6 6 3
события
Ð( Â) 
несовместные,
поэтому
В том случае, если события А и В являются совместными,
справедлива следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух
совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности
их
совместного
наступления,
т.е.
Ð( À  Â)  Ð( À)  Ð( Â)  Ð( À * Â) .
Пример. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,65
второго – 0,6. Определить вероятность поражения мишени при
одновременных выстрелах двух стрелков.
Решение. Так при стрельбе возможно попадание в мишень двумя
стрелками,
то
эти
события
совместные.
Следовательно:
Ð( À  Â)  Ð( À)  Ð( Â)  Ð( À * Â)  0,65  0,6  0,39  0,86 .
Теорема умножения вероятностей
Событие А называется независимым от события В, если вероятность
осуществления события А не зависит от того, произошло событие В или
нет.
В случае зависимых событий А и В вводится понятие условной
вероятности, под которой понимается вероятность события А при условии,
что событие В произошло. Обозначается Р(А/В).
Пример. В урне находятся 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Первым
был вынут черный шар, найти вероятность того, что второй шар будет
черным.
Решение. Вероятность появления черного шара первый раз равна
3
; а вероятность появления его второй раз, при условии, что
10
2
событие В произошло, равна Ð( À / Â)  . Так как в урне осталось 9 шаров,
9
Ð( Â ) 
из них 2 черных.
Рассмотрим закон умножения вероятностей для независимых
событий.
Произведением двух событий А и В называют событие С=А*В,
состоящее в совместном осуществлении этих событий.
Теорема. Вероятность произведения 32 независимых событий А и В
равно
произведению
вероятностей
этих
событий:
Ð( Àè )  Ð( À * Â)  Ð( À) * Ð( Â) .
Этот закон справедлив и для n независимых событий.
Пример. В билете 3 раздела. Из 40 вопросов первого раздела студент
знает 30 вопросов, из 30 вопросов второго – 15, из 30 вопросов третьего –
10. Определить вероятность правильного ответа студента по билету.
Решение. Учитывая, что ответ на каждые разделы есть независимые
события À1 , À2 èÀ3 , а их вероятности соответственно равны: Ð( À1 ) 
30 3
 ;
40 4
15 1
10 1
 ; Ð( À3 ) 
 . Тогда вероятность правильного ответа на
30 2
30 3
3 1 1 1
билет Р(В) можно найти Ð( Â)  Ð( À1 )  Ð( À2 )  Ð( À3 )      0,125 .
4 2 3 8
Ð( À2 ) 
Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В
равна произведению одного из них на условную вероятность второго,
вычисленную при условии, что первое событие осуществилось.
Ð( Àè )  Ð( À * Â)  Ð( À)  Ð(  / À) .
Пример. В группе из 20 человек 5 студентов не подготовили задание.
Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад,
будут не готовы к ответу.
Решение. Вероятность того, что первый студент не готов к ответу,
5
; вероятность того, что и второй студент также не подготовлен,
20
4
как и первый, Ð( Â / À)  . Тогда для ответа на вопрос воспользуемся
19
Ð( À) 
формулой:
Ð( Àè )  Ð( À * Â)  Ð( À)  Ð(  / À) 
5 4
20
 
 0,05 .
20 19 380
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Практические работы
Тема «Общие правила комбинаторики. Классическое
определение вероятности»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Задачи по комбинаторике
Часть А
1. Сколько различных трехзначных чисел без повторения цифр можно
составить из цифр 1,2,3,4,5,6?
2. Двое размещаются в пустом четырехместном купе; каждый выбирает
себе место. Сколькими способами они могут это сделать?
3. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в
четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
4. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную
кассу?
5. Сколько есть четырехзначных чисел, в записи которых две цифры 1 и
по одной цифре 2,3?
6. Сколько есть четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
6, в которых цифры не повторяются, а цифры 1 и 2 встречаются ровно по
одному разу?
7. Из четырех тузов поочередно выбирают два.
а) в скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз?
б) в скольких случаях вторым выбранным будет туз пик?
8. Группа в составе 20 человек выделяет из своей среды для
встречи командующего почетный караул: командира караула, его
заместителя, знаменосца и эскорт в количестве 4 человек. Сколькими
способами можно выделить почетный караул?
9. В волейбольной команде есть 6 номеров, у каждого
номера свои обязанности (пасующий, либеро, блокирующий и т. д.)
У тренера в распоряжении 12 волейболистов-универсалов, т. е
способных сыграть любого номера. Сколько вариантов состава
команды тренер может выпустить на поле?
10. В распоряжении врача 18 медсестер - универсалов. Надо послать три
команды на три разные медицинские учреждения. Сколько вариантов
трех команд есть у врача?
Часть В
1. Из колоды в 36 карт сдается 5 карт. Найдите:
а) число всех возможных вариантов;
б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4
туза;
в) число вариантов, при которых все полученные карты —
пики;
г) число вариантов, при которых все полученные карты —
одной масти.
2. Среди 28 студентов группы 15 девушек и 13 юношей. Нужно
выбрать двух дежурных по группе. Сколькими способами это
можно сделать:
а) при условии, что пару дежурных обязательно должны
составить юноша и девушка;
б) без указанного условия?
3. Среди 28 студентов группы 15 девушек и 13 юношей. Нужно
выделить группу из трех человек для посещения заболевшего
сокурсника. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) все члены этой группы — девушки;
б) все члены этой группы — юноши;
в) в группе 1 девушка и 2 юноши;
г) в группе 2 девушек и 1 юноша?
4. В больнице 10 ассистентов и 8 хирургов, а одновременно
могут провести операцию 5 ассистентов и 3 хирурга. Сколько
существует
различных
исполнительских
составов
без
дополнительных условий, если известно, что:
а) ассистенты А и Б ни за что не будут работать вместе?
б) ассистент А будет работать тогда и только тогда, когда будет
работать хирург В?
5. В чемпионате России по футболу в высшей лиге участвует 16
команд. Перед началом чемпионата газета «Спорт» провела
Интернет - опрос читателей, задав им два вопроса: 1) какая команда получит золотые, какая — серебряные и какая — бронзовые
медали? 2) какие две команды займут два последних места?
Читатели в своих ответах указали все возможные варианты и
при ответе на первый, и при ответе на второй вопрос.
а) Сколько вариантов состава неудачников указали участники
опроса?
б) Сколько из них тех, в которые входит команда «Динамо»?
в) Сколько вариантов тройки призеров указали участники
опроса?
г) Сколько из них тех, в которые входят «Спартак» и «Зенит».
6. В группе учатся 16 юношей и 12 девушек. Для прохождения
практики требуется выделить четырех юношей и трех девушек.
Сколькими способами это можно сделать?
7. Двенадцать человек-медиков надо разбить на три бригады по
4 человека.
а) Сколько может быть различных составов бригад?
б) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся
вместе?
в) Сколько из них тех, в которых рабочие Д и Е окажутся
вместе?
г) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся и
трех разных бригадах?
Ответы
Часть А
1. 120; 2. 12; 3. А43  24 ; 4. 9!=362880; 5. 12; 6. 144; 7. а) 6, б)3; 8.
20  19  18  С174 ; 9. А126 ; 10. А186  А126 .
Часть В
1. а) 376992, б) 32, в) 126, г) 504; 2. а) 195, б) 378; 3. А) 445, б) 220, в) 990,
г) 1260; 4. а) 14112, б) 10976; 5. а) 120; б) 15; в)3360; г) 84; 6.
3
С164  С12
 400400 ; 7. а)34650; б)630; в)3150; г) 1680.
Вопросы для самоконтроля
1. Как называется геометрическая модель правила умножения?
2. Покажите на примерах перестановки, размещения и сочетания.
3. В чем суть треугольника Паскаля? Приведите формулы получаемые с
помощью треугольника Паскаля.
Задачи по теории вероятности
Часть А
1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является:
невозможным, достоверным или случайным. Случайным образом
открывается учебник литературы и находится второе слово на левой
странице. Это слово начинается: 1) с буквы «к»; 2) с буквы «ъ».
2. Перечислить все элементарные равновозможные события, которые
могут произойти в результате:
1) Подбрасывания 1 монеты;
2) Подбрасывания игрального кубика;
3) Подбрасывания тетраэдра с гранями, занумерованными числами
1,2,3,4;
3. Витя забыл две последние цифры номера телефона приятеля и набрал
их наугад. С какой вероятностью этот звонок попадет к приятелю?
4. В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1200
вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность:
1) вещевого выигрыша;
2) денежного выигрыша;
3) какого-либо выигрыша?
5. В мешке содержатся жетоны с номерами от 1 до 50 включительно.
Какова вероятность того, что извлеченный наугад из мешка жетон
содержит только одну цифру 3?
6. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова
вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1)
однозначный номер; 2) двузначный номер?
7. На столе лежат 28 костей домино. Наугад берут одну кость. 1) найдите
вероятность того, что взятая кость содержит 6 очков. 2) Докажите, что
вероятность взять кость с числом очков 5 равна вероятности взять кость с
числом очков 4.
8. Наугад называется натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность
того, что это число: 1) 6; 2) не 6; 3) кратно 6; 4) не кратно 6; 5) простое
число; 6) квадратное число.
9. В доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже, а 6 – на
последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность
того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или на
последнем этаже?
10. Из 40 деталей, лежащих в ящике, три – бракованные. Из ящика наугад
вынимают одну деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется
без брака?
11. В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Из мешка наугад
вынимают один жетон. Какова вероятность того, что номер вынутого
жетона не делится ни на 2, ни на 3?
12. На полке стоит 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад
снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся
учебниками?
13. В ящике лежат 6 красных шаров и 4 зеленых. Наугад вынимают 3
шара. Какова вероятность того, что 2 шара из них окажутся красными, а
один – зеленым?
14. Среди 1500 приборов, 120 приборов с дефектами. Какова вероятность
того, что один взятый прибор из 1500 окажется с дефектом?
15. Чтобы открыть сейф, надо набрать в определенной последовательности
пять цифр (без повторения):1,2,3,4,5. Какова вероятность того, что если
набирать цифры в произвольном порядке, то сейф откроется?
16. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на одном
кубике выпадет одно очко, а на другом – более трех очков?
17. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты.
Найдите вероятность того, что: а) обе карты – тузы черной масти; б)
вторая карта – пиковый туз; в) первая карта – туз красной масти; г) среди
выбранных есть бубновый туз.
18. В партии из 23 шприцов находятся 10 бракованных. Вынимают из
партии наудачу два шприца. Используя классическое определение теории
вероятностей определить, какова вероятность того, что оба шприца
окажутся бракованными.
Часть В
1. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, 5 из которых заперты. Вы
выбираете две двери. Найдите вероятность того, что через одну из этих
дверей можно выйти из зала, но через другую вернуться уже нельзя.
2. Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две
карты. Найдите вероятность того, что: а) обе карты – тузы черной масти;
б) среди выбранных карт есть пиковый туз; в) среди выбранных карт есть
туз красной масти; г) среди выбранных нет бубнового туза.
3. В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из
ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей
определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым) ?
4. В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают
ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту.
Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов
есть хотя бы один, на который он знает ответ.
5. На складе находятся 26 пробирок из которых 13 стандартные. Рабочий
берет наугад две пробирки. Пользуясь теоремой умножения вероятностей
зависимых событий определить вероятность того, что обе пробирки
окажутся стандартными.
6. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26
белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных
шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить
вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.
Ответы
Часть А. 1. – 2. 1) 2, 2)6, 3) 4; 3. 0,01; 4.1) 0,012, 20 0,008, 3) 0,02; 5. 13/50;
6. 1) 9/25, 2) 16/25; 7. 1)1/7, 2)3/28; 8. 1) 1/30, 2)29/30, 3)1/6, 4)5/6, 5) 11/30,
6) 1/6; 9. 84/93; 10. 37/40; 11. 1/3; 12.8/33; 13.1/2; 14. 0,08; 15. 1/120; 16.
1/6; 17. а) 1/6; б) ¼; в) ½; г) ½. 18. 0,178.
Часть В. 1. 5/9; 2. а) 1/6; б) ½; в) 5/6; г) ½. 3. 0,871. 4. 0,9375. 5. 0,24. 6.
0,75.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называют экспериментом, испытанием, событием? Привести
пример.
2. Приведите примеры достоверного, невозможного и случайного
событий.
3. Дайте классическое определение теории вероятностей.
4. Дайте определение противоположному событию. Приведите пример.
5. Какие события называются несовместимыми? Привести пример.