Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет УГТУ-УПИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендована методическим Советом ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
для специальностей и направлений подготовки:
Код
Направление
Код
Специальность
Код
Наименование
230100
Системы
автоматизированного
проектирования
230104
Системы
автоматизированного
проектирования
65
Специалист
230100
Системы
автоматизированного
проектирования
230105
Программное
обеспечение
вычислительной
техники и
автоматизированных
систем
65
Специалист
Екатеринбург
2007
Программа составлена в соответствии с Государственным
образовательным стандартом высшего и среднего профессионального
образования по направлению подготовки 230105 – ПРОГРАММНОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И
АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ степень (квалификация)
СПЕЦИАЛИСТ
Программу составила Матвеева Татьяна Анатольевна, доцент,
к.ф.-м.н., кафедра высшей математики
Программа одобрена на заседании кафедры высшей математики
31.01.2007 г., протокол № 316
Заведующий кафедрой
Соболев А.Б.
Программа одобрена на заседании Методической комиссии строительного
факультета
"______"__________2007 г., протокол №______.
Председатель Методической комиссии
А. А. Антипин
АННОТАЦИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина посвящена изучению основ математического анализа,
которые включают в себя главные вопросы дифференциального и интегрального
исчисления.
1. Цели и задачи дисциплины
Изучение дисциплины требует от студентов знания курса элементарной математики в
объеме средней школы.
Цели дисциплины заключаются в следующем:
- изучение основных определений и теорем курса математического анализа,
- приобретение практических навыков при решении математических задач.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- знать основные понятия, определения и теоремы математического анализа,
- уметь применить полученные знания в процессе дальнейшего обучения и своей
профессиональной деятельности.
3. Объем дисциплины и виды учебной работы
Виды учебной работы
Всего часов
Семестры
Общая трудоемкость дисциплины
340
170
170
Аудиторные занятия
144
72
72
Лекции
64
32
32
Практические занятия (ПЗ)
80
40
40
Самостоятельная работа
196
98
98
Расчетно-графические работы
40
20
20
Домашняя работа
56
28
28
Другие виды самостоятельных занятий
100
50
50
Экзамен
Экзамен
Вид итогового контроля
4. Содержание дисциплины
4.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№
п/п
Раздел дисциплины
Лекции
час.
ПЗ,
час.
С,
час.
2 семестр
32
40
98
1.1. Введение в математический анализ
3
3
7
1.2. Предел и непрерывность функции
3
3
7
1.3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
6
6
16
6
6
14
2
2
8
1.6. Интегральное исчисление функций одной переменной. 6
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.
6
22
1
1.4
Основы математического анализа
Исследование функций и построение их графиков
1.5. Теория многочленов и комплексные числа
Несобственные интегралы
1.7. Функции нескольких переменных. Дифференциальная 4
геометрия кривых и поверхностей, элементы топологии
4
16
3 семестр
32
40
98
2.
Дифференциальные уравнения
8
10
28
3.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
8
10
20
4.
Векторный анализ и элементы теории поля
8
8
20
5.
Теория рядов
7
12
30
12
Заключение
1
4.2. Содержание разделов дисциплины
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1.1. Введение в математический анализ.
Элементы математической логики. Множество вещественных чисел. Конкретные
множества: отрезок, интервал, -окрестность точки. Верхние и нижние грани множества.
Множества, ограниченные сверху и снизу. Неограниченное множество. Точные верхняя и
нижняя грани. Теорема о существовании точных граней у ограниченного множества.
Наибольший и наименьший элементы множества.
Числовые последовательности. Предел последовательности. Бесконечно большая и
бесконечно малая последовательность. Теорема о связи последовательности, имеющей предел,
и бесконечно малой последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся
последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
Монотонные
последовательности.
Ограниченность
любой
монотонной
последовательности. Теорема о существовании предела ограниченной монотонной
n
(1+ n1 )
последовательности.
Число
е
как
предел
последовательности
Подпоследовательности числовых последовательностей. Теорема Больцано - Вейерштрасса.
1.2.
.
Предел и непрерывность функции.
Понятие функции. Способы задания функции. Предельная точка множества. Предел
функции в точке. Определение предела по Коши и определение предела по Гейне. Предел
функции в бесконечности. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела
функции в точке. Ограниченные функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей
предел в некоторой точке. Бесконечно большие функции.
Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций. Связь между
бесконечно малой и бесконечно большой функциями. Теорема о разложении функции,
имеющей предел, на постоянную и бесконечно малую. Арифметические операции над
функциями, имеющими предел. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о пределе
промежуточной функции.
Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.
Порядок бесконечно малых, эквивалентные бесконечно малые. Теорема о пределе отношения
эквивалентных бесконечно малых функций. Ряд эквивалентных бесконечно малых функций.
Раскрытие неопределенностей.
Непрерывность функций в точке. Определения. Точки разрыва функций.
Классификация точек разрыва 2-го и 3-го рода. Точки устранимого разрыва. Непрерывность
функции на отрезке. Кусочно-непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных
функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Сложная функция, ее
непрерывность. Монотонные функции. Обратная функция. Теорема о существовании
обратной функции для строго монотонной непрерывной функции. Непрерывность
элементарных функций.
1.3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная. Определение. Вычисление производной по определению. Механический
смысл производной. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к
графику функции. Основные правила дифференцирования. Производная обратной функции.
Производные обратных тригонометрических функций. Теорема о производной сложной
функции. Логарифмическое дифференцирование. Таблица производных. Производные
высших порядков. Производные 1-го и 2-го порядка неявных функций и функций, заданных
параметрически.
Понятие дифференцируемости функции в точке. Теорема о связи между
дифференцируемостью
и
непрерывностью
функции.
Дифференциал
функции.
Геометрический смысл дифференциала функции. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях. Линеаризация функций. Инвариантность формы первого
дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы анализа о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема
Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши.
0 ¥
, ,¥ - ¥ ,00 ,¥ 0 ,1¥ .
0 ¥
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей
Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для функции. Формула Маклорена.
Запись остаточного члена в форме Лагранжа и Пеано. Разложение по формуле Маклорена
ex ,
sin x,
cos x,
ln (1 + x ),
m
(1 + x ) . Приближенное вычисление значений функции по
формуле Маклорена. Оценка погрешности вычислений.
1.4. Исследование функций и построение их графиков.
Интервалы возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия экстремума. Исследование
функции на экстремум с помощью второй производной. Наибольшее и наименьшее значение
функции на отрезке.
Выпуклость функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции.
Точки перегиба. Необходимое условие для точки перегиба. Достаточные условия перегиба.
Асимптоты графика функции. Критерий существования асимптоты. Асимптотические
разложения.
Общая схема полного исследования функции и построения графика.
Кривизна плоской кривой. Круг кривизны.
1.5. Теория многочленов и комплексные числа
Комплексные числа, арифметические действия с ними. Изображение комплексных
чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная
форма записи комплексного числа. Возведение комплексного числа в степень и извлечение
корней из комплексного числа.
Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными
коэффициентами на линейные и квадратичные множители.
Разложение рациональных дробей на простейшие.
1.6. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Первообразная функции. Свойства первообразных. Геометрическая интерпретация.
Неопределенный интеграл, свойства неопределенного интеграла. Таблица основных
интегралов. Теорема об инвариантности формул интегрирования относительно замены
независимой переменной на функцию. Замена переменных в неопределенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Основные типы интегралов,
берущихся по частям. Возвратные интегралы.
Общая схема интегрирования рациональной функции. Интегрирование простейших
dx
дробей
вида
dx
ò x - a ,ò (x -
k
a)
.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен,
dx
Ax + B
Ax + b
dx,
ò ax 2 + bx + c ,ò ax 2 + bx + c dx,ò 2
l
x + px + q
(
Интегрирование
ò R (x, x
mn
,...x r s
)
ò
dt
(t
2
+m
2 l
)
иррациональных
,ò
dx
Ax + b
,ò
dx.
ax + bx + c
ax 2 + bx + c
выражений.
æ æax + b öm n æax + b ör s ö
÷
ç
÷
÷
÷dx.
ç
dx, ò R ççx,çç
÷
÷
÷
÷ ,...èçç cx + d ø
÷ ÷
çè çè cx + d ø
÷
ø
Интегралы
вида
)
выражений, содержащих квадратный трехчлен, вида
(
Интегрирование
ò
иррациональных
ax + bx + cdx, ò a + x dx,ò a 2 - x 2 dx.
2
)
2
(
)
2
(
)
ò
ò
Интегрирование выражений вида ò
с
помощью тригонометрических подстановок. Обратная тригонометрическая подстановка для
R x, ax 2 + bx + c dx,
ò
dx
p
(mx + n)
ax 2 + bx + c
R x, a 2 ± x 2 dx,
R x, x 2 - a 2 dx
.
интегралов вида
Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Определение интегральной
суммы и ее геометрический смысл. Определение определенного интеграла, его
геометрический смысл и свойства. Оценка интеграла. Теорема о среднем.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Теорема Барроу. Формула
Ньютона - Лейбница. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
Интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегралы от четных и нечетных
функций в симметричных пределах.
Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской
фигуры в декартовой системе координат; ограниченной кривой, заданной параметрически.
Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
Вычисление длины дуги кривой для кривой, заданной в декартовых координатах,
параметрически и в полярной системе координат. Вычисление объема тела вращения.
Вычисление площади поверхности вращения.
Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников,
трапеций, Симпсона, оценки их погрешностей.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Определение. Применение
основной формулы интегрального исчисления. Теоремы сравнения. Абсолютная и условная
сходимости. Признак сходимости Абеля.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Определение. Применение
основной формулы интегрального исчисления. Теоремы сравнения. Признак сходимости
Коши.
1.7. Функци нескольких переменных
Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции.
Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными.
Инвариантность формы полного дифференциала. Дифференциальная геометрия кривых и
поверхностей, элементы топологии. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл полного дифференциала.
РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования
и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в
квадратурах. Особое решение.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения,
допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие
общего решения.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения
с правой частью специального вида.
РАЗДЕЛ 3. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Двойные интегралы, их свойства и вычисление. Замена переменных в двойном
интеграле.
Тройные интегралы, их свойства и вычисление. Замена переменных в тройном
интеграле.
Криволинейные интегралы 1 и 2 рода и их вычисление. Ориентация плоскости.
Формула Грина. Площадь кривой поверхности.
Поверхностные интегралы 1 и 2 рода и их вычисление. Ориентация поверхностей и
пространства.
Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.
РАЗДЕЛ 4. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Обзорная лекция. Задачи и структура курса.
Понятие векторной функции. Операции над векторными функциями. Пределы
векторных функций.
Непрерывность векторных функций. Производные и дифференциалы векторных
функций. Интегрирование векторных функций.
Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента в подвижной системе
координат. Векторные функции векторного аргумента.
Скалярное и векторное поле. Поверхности уровня. Векторные линии. Линейный
интеграл. Потенциал. Производная по данному направлению. Градиент одного вектора по
другому.
Поток
вектора
через
поверхность.
Дивергенция
вектора.
Теорема
Гаусса-Остроградского. Источники и стоки. Циркуляция вектора по контуру. Ротор вектора.
Теорема Стокса.
Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Векторные
функции в криволинейных координатах.
Определение вектора по его ротору и дивергенции. Поверхностные дивергенция и
ротор.
РАЗДЕЛ 5. ТЕОРИЯ РЯДОВ
Обзорная лекция. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Признаки сходимости
рядов с положительными членами.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость
рядов. Признак Лейбница. Действия с абсолютно сходящимися рядами.
Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости ряда. Равномерная
и неравномерная сходимость. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
Степенные ряды. Радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды.
Умножение рядов. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Использование рядов в приближенных вычислениях. Метод последовательных
приближений.
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Повторные и
двойные ряды. Степенные ряды с несколькими переменными. Бесконечные произведения.
Методы суммирования расходящихся рядов.
Независимые системы тригонометрических функций. Ряды Фурье.
Применение рядов Фурье в исследовании сложных колебательных процессов. Основы
гармонического анализа.
Применение гармонического анализа в задачах механики.
РАЗДЕЛ 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
6.1. Рекомендуемая литература
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Курс математического анализа. М: Наука, 1973.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа Т.1,2. М.: Высш.шк., 1988.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука,1988.
Пискунов, т.1,2.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике, ТР, М.: Высш.шк., 1983.
Сборник задач по математике для втузов/ под ред. Ефимова А.Ф., Демидовича Б.П./ т.1-4.
Смирнов. Курс высшей математики.
Мантуров О.В. Курс высшей математики. М: Высш.шк.,1991.-448с.
Колмогоров А.И., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М:
Наука,1981.
10. Люстерник Л.А. ,Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М: Наука,1982.
11. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости. М: Наука,1981.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.