текстовые задачи на работу

1
Тема проекта:
«Разработка методических рекомендаций подготовки учащихся к ЕГЭ по
решению текстовых задач на работу»
Петрова Т.А.,
учитель математики
2
Оглавление
Введение………………………………………………………….………………...3
1.Теоретическая часть………………………………………………………….…5
1.1. Задачи и их решения…………………………………………………………5
1.2. Основные методы решения текстовых задач…………………………..…..7
1.4. Алгоритм решения текстовых задач……………………………………….13
2. Виды задач и способы их решения………………………………………..…16
2.1. Решение задачи на работу с использованием алгоритма решения текстовых
задач………………………………………………………………………………16
2.2 Задачи на работу с помощью одной формулы……………………………20
2.3. Решение задачи на планирование…………………………………………23
3. Практическая часть. Отработка навыков при решении задач на работу…
Заключение…………………………………………
Список литературы…………………………………………
Введение
3
«Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если
бы смог передать ученику гибкость ума, которая дала бы ему в дальнейшем
возможность самостоятельно решать задачи»
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту же
задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные
задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путём сравнения
выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт
решения задач.»
У.У.Сойер
Математика проникает почти все области деятельности человека, что
положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В
связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую
подготовку подрастающего поколения.
С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно
помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже
выяснить различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, даёт
возможность применять изучаемые теоретические положения.
В «Федеральном компоненте образовательного стандарта основного
общего образования по математике» представлен «обязательный минимум
содержания основных общеобразовательных программ», среди которых есть и
умение решать текстовые задачи:
1. Арифметика: «…Проценты. Нахождение процента от величины,
величины по её проценту. Текстовые задачи (на движение, работу, стоимость,
смеси и др.) Решение текстовых задач арифметическим способом»
2. Алгебра: «… Составление уравнений, неравенств и их систем по
условиям задач. Решение задач алгебраическим способом».
4
В «Требованиях к уровню подготовки выпускников основной школы»
сказано, что ученик должен уметь:
Арифметика: «,,, Решать текстовые задачи, включая задачи на движение и
работу; задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин;
основные
задачи
на
дроби
и
проценты;
задачи
с
целочисленными
неизвестными.
Алгебра:
«,,,
Решать
текстовые
задачи
алгебраическим
методом,
интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, учитывать
ограничение целочисленности, диапазона изменения величин.»
В «Примерной программе основного общего образования по математике»
дана «Общая характеристика учебного предмета», в которой отмечено, что «…
одной
из
основных
задач
изучения
алгебры
является
развитие
алгоритмического мышления». А изучение основных типов текстовых задач и
является одной из составляющих в развитии алгоритмизации мышления.
Состояние
математического
развития
учащихся
наиболее
ярко
характеризуется их умением решать задачи. Задачи – это основное средство
оттачивания мысли каждого школьника.
Актуальность выбранной темы заключается в том, что понимание и
решение тестовых задач, поможет учащимся переводить реальные предметные
ситуации в различные математические модели и тем самым способствует
применению полученных навыков и умений в жизненных ситуациях.
Цель работы является разработка методических рекомендаций подготовки
учащихся к ЕГЭ по решению текстовых задач на работу. Для достижения
поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:
1. Дать теоретические основы решения текстовых задач.
2. Научить применять решение текстовых задач в повседневной жизни.
5
1. Теоретическая часть
Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо
ответить, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.
Следует учесть, что научиться решать задачи школьники смогут, лишь
решая их.
Решение задач занимает в математическом образовании огромное место.
Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания (уже в первом
классе учащиеся начинают решать текстовые задачи). Связи с ведением ЕГЭ в
11 классе и экзаменом в новой форме в 9 классе умение решать текстовые
задачи стало ещё более актуальным. Умение решать ту или иную задачу
зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться
различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.
1.1. Задачи и их решения
Задача – это требование или вопрос, на который надо найти ответ,
опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.
Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, требование (вопрос)
задачи.
Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить,
установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых
надо её решать. Всё это называется анализом задачи.
Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:
1-й этап: анализ;
2-й этап: схематическая запись;
3-й этап: поиск способа решения;
4-й этап: осуществление решения:
5-й этап: проверка решения;
6-й этап: исследование задачи;
7-й этап: формулировка ответа;
8-й этап: анализ решения.
6
Но чтобы решить задачу, нужно определить её вид и тип. По отношению к
теории существует два вида задач: стандартные и нестандартные (рис. 1).
По типам задачи делятся: «на пропорциональность», «на сравнение
величин», «на работу», «на части и проценты» и т. д.
Существует три класса нестандартных задач: «на работу», «на проценты», «на
смеси и сплавы».
Рис. 1.Виды задач
Далее приведем классификацию задач, которая представлена на рис. 2.
7
1.2. Основные методы решения текстовых задач
Для решения текстовых задач применяются следующие методы:
• арифметический метод
• алгебраический метод
• комбинированный метод
• практический метод
• геометрический метод
• метод подобия
Рассмотрим некоторые методы более подробно.
I. Арифметический метод.
Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор
условия задачи и составление плана её решения. Этот этап решения задачи
сопровождается максимальной мыслительной деятельностью.
Вторым этапом является решение задачи по составленному плану. Этот
этап решения проводится учащимися без особых затруднений и в большинстве
случаев носит тренировочный характер.
Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения
задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при
решении задачи, замена её проверкой ответов снижает роль решения задачи в
процессе развития логического мышления учащихся.
При решении текстовых задач арифметическим методом у учащихся
вырабатываются определённые умения и навыки, которые в процессе
дальнейшего обучения должны совершенствоваться и закрепляться.
II. Алгебраический метод.
Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод
решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения
уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы
неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение
задачи бывает очень сложным.
8
При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная
деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе
условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.
Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы
уравнений, неравенства или системы неравенств.
Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи,
которая проводится по условию задачи.
III. Комбинированный метод.
Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод
решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с
помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем
неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение
текстовых задач значительно упрощается.
1.3. Алгоритм решения текстовых задач
1. Работа с текстом.
 внимательно прочитать условие задачи.
 уяснить неизвестные термины, если они есть.
 выделить в тексте условия (данные величины) и основной вопрос (цель
решения).
 найти ключевые слова и понять ситуацию в целом (о чем идет речь: опоздал,
догнал, скорость, время и т.д.)
2. Анализ содержания задачи
 исследовать исходные данные
 отделить существенное от несущественного.
Существенным является:
-количество, числовые данные и соотношения между величинами;
-направление движения;
-наличие остановок, изменение скорости или направления;
-была ли встреча…
9
Несущественным будет:
-как назывались персонажи (мы будем считать быстрый, медленный,
пункт А, пункт В и т.д.)
-неважно зачем, почему персонажи поехали, название городов, погодные
условия…
Эта информация украшает сюжет, делает привлекательным, но к делу не
относится, поэтому является не существенной.
 выяснить логический смысл задачи.
 уметь читать между строк, т.е. вносить условия, спрятанные в тексте задачи
(информация таится в словах середина пути, половина, вернуться обратно,
втрое…).
 обратить
внимание
на
соответствие
единиц
измерения.
(обычно
несоответствие касается скорости и времени).
3. Записать краткое условие задачи, выбрав его модель (таблица, схема,
чертеж ….) Составить аналитическую цепь умозаключений начинающейся с
вопроса задачи и заканчивающейся данными её условия.
Отбросить лишнее и, выбрав только необходимое, составить модель.
Удачно составленная модель краткой записи условия наталкивает ученика на
путь решения, а возникающая необходимость переформулировки условия,
представления его в более удобном для работы виде, является, по существу,
первым шагом решения.
4. Осуществление плана решения. Используя основные формулы (V,S,P и
другие) вывести производные формулы в общем виде, найти необходимую
величину для решения задачи, определить зависимости между величинами.
5. Нахождение искомой величины. В выведенную производную формулу
подставить данные условия и вычислить искомую величину.
6. Составление ответа Поиск решений этой же задачи другим способом,
сопоставление
полученного
ответа
с
совместимостью
(например: путь не может быть отрицательным…)
условия
задачи
10
2. Виды задач и способы их решения
2.1. Решение задачи на работу с использованием алгоритма решения
текстовых задач
Рассмотрим
на
примере
процесс
решения
задачи
на
работу
с
использованием алгоритма решения текстовых задач .
Задача 1. Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй
рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 192
деталей, на 4 чаа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ,
состоящий из 224 таких же деталей. Сколько деталей делает в час
второй рабочий?
1-й этап: отобразить условие задачи с помощью рисунка (рис.5)
И опять, несмотря на то, что тема задачи не связана с движением, рисунок
удобно выполнить «в стиле движения». Производительность работы в этом
случае можно рассматривать и обозначать как некую скорость работы
(детали/час). А количество деталей в заказе похоже на пройденный путь
(количество километров.
2-й этап: найти простой, содержащийся в условии задачи факт (идею).
И снова идею, порождающую уравнение, проще всего связать со временем:
t1=t2-4
3-й этап: записать выбранный факт в виде более подробного уравнения,
используя обозначения из рисунка
11
Задача 2. Для наполнения плавательного бассейна водой имеются три насоса.
Первому насосу для наполнения бассейна требуется времени в три
раза меньше, чем второму, и на 2 ч больше, чем третьему. Три
насоса, работая вместе, наполнили бы бассейн за 3ч, но по
условиям эксплуатации одновременно должны работать только
два насоса. Определите минимальную стоимость наполнения
бассейна, если 1ч работы любого из насосов стоит 140 рублей.
12
Алгоритм решения задачи
1. Внесем в таблицу известные величины ( работу примем за 1)
2. Одну из неизвестных величин обозначим за х.
3. Остальные неизвестные величины выразим через х, используя условие
задачи или формулы.
4. Составим уравнение.
5. Решим уравнение и ответим на главный вопрос задачи.
Решение: Эту задачу удобно решать с помощью таблицы.
Работа
Время, час
производительность
1 насос
1
х+2
1/х+2
2 насос
1
3(х+2)
1/3(х+2)
3 насос
1
х
1/Х
вместе
1
3
1/3
Получаем уравнение:
1/х+2 + 1/3(х+2) + 1/х = 1/3
Решив уравнение, мы найдем х=6
6ч- время наполнения бассейна третьим насосом.
Тогда время первого насоса 8ч, второго 24ч.
Значит минимальное время работы двух насосов – это время работы 1 и3
насосов ,т.е. 14ч
Определим минимальную стоимость наполнения бассейна двумя насосами.
140*14=1960 (руб.)
Ответ: 1960 руб.
2.2 Задачи на работу с помощью одной формулы
Далее рассмотрим решения задач на работу. Такой тип задач включен при
выполнения ЕГЭ задания В 13. Такие задачи решаются с помощью однойединственной формулы.
13
Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является
скоростью работы, носит специальное название — производительность.
Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например,
Вася красит забор. Количество метров, которые он красит за час — это и есть
его производительность. Продавец в супермаркете надувает воздушные
шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его
производительность.
Правила решения задач на работу.
1. А = р * t , то есть работа = производительность * время. Из этой формулы
легко найти t или p.
2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих
его найти — работа принимается за единицу.
Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар.
А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды
— работа как раз и равна этому количеству.
3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...)
или трое (не важно) — их производительности складываются. Очень логичное
правило.
4. В качестве переменной х удобно взять именно производительность. Так же,
как в задах на движение мы за х принимаем скорость. Вы убедитесь, что задачи
на работу и движение очень схожи.
Покажем, как все это применяется на практике.
Задача 1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее,
чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если
известно, что первый за час делает на 1 деталь больше? (Прототип
задания B13 (№ 26592))
Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.
14
В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110.
В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть
какова его производительность. Примем ее за x . Тогда производительность
первого рабочего равна x+1 (он делает на одну деталь в час больше).
Поскольку,
время работы первого рабочего равно
время работы второго равно
p
t
A
первый рабочий
x+1
110
второй рабочий
x
110
Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно , t1
на
1 меньше, чем t2 , то есть t1 = t2 – 1
Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:
x2 + x - 110 = 0
Дискриминант равен 441. Корни уравнения: x1 = 10, x2 = -11.
Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной —
ведь он производит детали, а не уничтожает их.
Значит, отрицательный корень не подходит.
Ответ: 10.
Задача 2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней.
За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый
рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую
второй — за три дня?
15
В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это
работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.
А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную
x удобно обозначить производительность. Пустьx
— производительность
первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится,
и ее мы обозначим за y .
По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую
второй — за три дня. Значит, 2x= 3 y. Отсюдаy=2/3x .
Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной
работе производительности складываются, значит, (x+y ) * 12= 1,
20x=1
X=
Итак, первый рабочий за день выполняет
всей работы.
Значит, на всю работу ему понадобится 20 дней.
Ответ: 20.
2.3. Решение задачи на планирование
К задачам на работу относятся так же задачи на планирование, в которых
объем работы, который необходимо выполнить либо известен, либо его
необходимо определить (в отличие от задач на совместную работу). При этом
работа, которая должна быть выполнена по плану, сравнивается с работой,
которую выполнили в действительности, т.е. фактически.
Основными элементами задач на планирование, так же, как и в задачах на
совместную работу, являются:
а) работа, выполненная в действительности и запланированная;
16
б) фактическое время выполнения работы и запланированное;
в) реальная производительность труда и запланированная.
Замечание. В некоторых задачах на совместную работу вместо времени
выполнения некоторой работы дается количество рабочих, участвующих в ее
выполнении.
Задача 1. Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении
нескольких месяцев сделает 1000 насосов. В результате реконструкции
оборудования предприятие стало изготавливать ежемесячно на 20
насосов больше, чем планировалось, и на 1 месяц раньше срока
перевыполнило задание на 8%. Сколько насосов в месяц стало
выпускать предприятие?
Решение. Пусть по плану предприятие должно было выпускать x насосов в
месяц, а выпускало (x + 20) насосов. Тогда 1000/x месяцев – это срок
выполнения плана. Предприятие выпустило 1000 + 0,08 · 1000 = 1080 насосов
за 1080/(x + 20) месяцев.
По условию задачи известно, что 1000/x – 1080/(x + 20) = 1.
Решим полученное уравнение.
1000/x – 1080/(x + 20) -1 = 0;
(1000(x + 20) – 1080x – x(x + 20))/(x(x + 20)) = 0.
Раскроем скобки в числителе дроби, получим:
(1000x + 20000 – 1080x – x2 + 20x)/(x(x + 20)) = 0;
(– x2 – 100x + 20000)/(x(x + 20)) = 0.
Домножим дробь на (-1), получим: ( x2 + 100x - 20000)/(x(x + 20)) = 0.
Полученная дробь будет равна нулю, если будут выполняется следующие
условия (запишем их в виде системы):
{ x2 + 100x – 20000 = 0,
{ x(x + 20) ≠ 0.
Таким образом, из первого уравнения имеем, что x = -200 или x = 100, а из
второго: х ≠ 0, x ≠ -20.
Следовательно, предприятие стало выпускать 100 + 20 = 120 насосов.
17
Ответ: 120 насосов.
Прототип задания B13 (№ 99616)
Задача 2. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Володя и Паша красят забор
за 12 часов а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики
покрасят забор, работая втроем?
В таких задачах удобно всю работу (покраску забора) принять за 1.
Пусть производительность Игоря х, Паши -y, Володи – z.
Заполняем 3 таблицы согласно трем условиям.
P
t
A
Володя z
18
Игорь
18
х
P t
A
P
18z
Игорь х 9
9x
Володя z 12 12z
18х
Паша
9y
Паша
y 9
Володя и Паша красят забор за 12 часов
Володя и Игорь — за 18 часов
Т.к. в каждом случае они вместе выполняли всю работу, то
Значит, весь забор они покрасят за 8 часов.
A
y 12 12y
Игорь и Паша красят забор за 9 часов
Итак, вместе за 1 час они покрасят 1/8 часть забора.
t
18
3. Практическая часть.
Отработка навыков при решении задач на работу
Задачи на работу обычно содержат следующие величины:
t – время, в течение которого производится работа,
k– производительность труда, работа, произведенная в
(возможны и другие обозначения N, W);
A – работа, произведенная за время t
Равенства, связывающее эти три величины:
Прототип задания B13 (№ 26593)
Прототип задания B13 (№ 26594)
единицу времени
19
Прототип задания B13 (№ 26595)
Прототип задания B13 (№ 26597)
20
Прототип задания B13 (№ 26599)
21
Заключение
С термином "задача" люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни,
как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас
приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем
задачами. Это могут быть общегосударственные задачи (освоение космоса,
воспитание подрастающего поколения, оборона страны и т.п.), задачи
определённых коллективов и групп (сооружение объектов, выпуск литературы
и т.п.), а также задачи, которые стоят перед отдельными личностями.
Математические задачи являются одной из главных составляющих
содержания учебного предмета математика.
В процессе решения задач у учащихся вырабатываются умения применять
теоретические знания на практике, выделять общие способы решения,
переносить их на новые задачи. Отдельная задача может нести в себе
различную информацию из различных областей знаний, расширять кругозор,
воздействовать на познавательные возможности. Решение задач позволяет
учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность,
самостоятельность; формирует познавательный интерес; развивает внимание,
мышление, память, воображение; помогает вырабатывать и отстаивать свою
точку зрения, воспитывать достоинство личности. Поэтому решение задач
является основной деятельностью при обучении математике.
Проблема решения и чисто математических задач, и задач, возникающих
перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности,
изучается издавна. Однако до настоящего времени нет общепринятой
трактовки самого понятия "задача". Термин "задача" употребляется достаточно
широко. Задачу понимают и как проблему, которую требуется решить, и как
проблемную ситуацию.
Решить задачу в широком смысле этого слова - это значит раскрыть связи
между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами;
определить последовательность применения общих положений математики
22
(правил, законов, формул и т.п.); выполнить действия над данными задачи,
используя общие положения; получить ответ на требование задачи или
доказать невозможность его выполнения.
В связи с переходом к новым формам аттестации учеников девятых и
одиннадцатых классов формирование умений решать текстовые задачи стало
ещё актуальным.
Для того, чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их
решения путем многократного повторения операций, действий, составляющих
предмет изучения.
Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи.
Помощь учителя не должна быть чрезмерной, но и не быть слишком малой.
Навыки решения текстовых задач формируются на основе осмысленных знаний
и умений. Для формирования навыков нужна тщательно продуманная система
упражнений и задач «от простого к сложному».
Знания учащихся по математике должны совершенствоваться с решением
каждой новой задачи. Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки
ученики получали при наименьших затратах времени. Следует учитывать
индивидуальные особенности и возможности учащихся.
В результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи
на работу решаются по одной общей формуле (А=P*t) и в большинстве случаев
решаются путём составления систем уравнений.
При подготовке к ЕГЭ ученики научатся решать такие задачи как на работу.
Имея богатый опыт решения текстовых задач не только с помощью
составления уравнений, но и арифметическим способом они
выбирают
наиболее рациональный способ решения задачи.
Кроме того, вовлекая их в создание разнообразных математических моделей
решения, достигается одна из основных целей обучения математике:
воспитание гармонично развитой личности.
23
Считаю важным при подготовке к ЕГЭ:
• развитие
вычислительных
навыков.
Пользоваться
калькулятором
не
рекомендую, объясняя его вред. Показываю детям разные способы быстрого
умножения чисел, возведения в степень и др.
• обязательное знание правил и формул.
• постоянное
совершенствование
учебных
навыков
с
использованием
компьютерной программы "Репетитор", в которую включён необходимый
теоретический
материал,
образцы
решения
заданий,
задания
для
самостоятельного решения с ответами и комментариями.
• проверка знаний и умений учащихся. Выполнение тренировочных и
диагностических работ, представленных в сети Интернет.
Таким образом, можно сделать вывод, что систематическое применение
различных методов и приемов решения текстовых задач различного уровня
позволяет сформировать у учащихся умение находить свой оригинальный
способ решения задач, воспитывает стремление вести самостоятельный поиск
решения новой задачи, той, которая раньше не встречалась, осуществлять
контроль своей учебной деятельности. Решение текстовых задач способствует,
с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с
другой стороны, развитию логического мышления учащихся.
24
Список литературы
1. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач:
Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. - М.: Издательский центр
"Академия", 2002. - 288 с.
2. Шевкин А. В. Текстовые задачи в школьном курсе математики.-М.:
Педагогический университет «Первое сентября».2006.
3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируемый школьный курс алгебры и
начала анализа [Текст] / В.С. Крамор. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.
4.http://ege2011.mioo.ru/rf1011/index.htm-
Тексты
диагностических
и
тренировочных работ по программе СтатГрад
5.Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по
математике [Текст] / А.Н. Рурукин. – М.: «Вако», 2006. – 304 с.
6. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы B/ Под
редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, 2011.
7. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие / Под
редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону, Легион-М, 2010.
8. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010 / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко,
С. Ю. Кулабухова. -Ростов-на-Дону, Легион-М, 2009.
10. Математика: 50 типовых вариантов экзаменационных работ/авт.-сост. А.П.
Власова, Н.В.Евсеева, Н.И. Латанова и др. –М.:АСТ: Астрель; Владимир:
ВКТ,2010.-318 с. (полный комплект пособий для подготовки е единому
государственному экзамену)
11. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней
школы. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. / под ред. В.И. Благодатских. – М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-416с.
12. http://mathege.ru - Открытый банк заданий ЕГЭ по математике.
13. http://www.alleng.ru