Принцип Дирихле

Принцип Дирихле
Принцип Дирихле утверждает следующее:
Если m>n, то при отнесении каждого из m предметов к одному из n
классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.
В популярной литературе принцип Дирихле объясняется на примере
«зайцев и клеток»: если в клетках больше nk зайцев, то хотя бы в одной клетке
сидит больше n зайцев.
Подобные соображения
доказательства существования.
используются
в
различных
задачах
для
Самая популярная задача на прямое применение принципа Дирихле
такова: на Земле живет 3 млрд. человек, у каждого на голове – не более
миллиона волос. Нужно доказать, что обязательно найдутся два человека с
одинаковым числом волос. Приняв в качестве «классов» возможное число
волос от 0 до 1000000 (всего 1000001 класс), а в качестве «предметов»
население Земли (всего 3000000000 предметов) и применив принцип Дирихле,
получим, что обязательно найдутся, по крайней мере, 2000 людей, имеющих
одинаковое число волос на голове.
Приведем еще несколько похожих на принцип Дирихле утверждений,
используемых в геометрических и аналитических задачах.
Утверждение 2. Если сумма площадей нескольких фигур меньше S, то
ими нельзя покрыть фигуру площади S.
Утверждение 3. Если на отрезке длины 1 расположено несколько
отрезков с суммой длин L, то найдется точка, покрытая не более чем L этими
отрезками.
Утверждение 4. Если среднее арифметическое нескольких чисел больше
a, то хотя бы одно из этих чисел больше a.
Задача 1. В розыгрыше кубка по футболу (в один круг) участвуют 30
команд. Доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие
одинаковое число игр.
Решение. Рассмотрим два случая.
1. Хотя бы одна из 30 команд не сыграла еще ни одной игры.
2. Каждая команда сыграла хотя бы одну игру.
Докажем утверждение для 1-го случая.
Так как хотя бы одна из 30 команд не сыграла еще ни одной игры, то
число игр у любой команды не более 28, то есть возможное число игр у каждой
из команд может быть: 0, 1, 2, …, 28 (всего 29 чисел), а команд по условию 30.
Тогда по принципу Дирихле, приняв в качестве «классов» числа проведенных
игр (всего 29 «классов»), а в качестве «предметов» - команды (всего 30
«предметов»), получим, что хотя бы 2 команды будут соответствовать одному
числу проведенных игр, а значит, хотя бы 2 команды сыграли одинаковое число
игр.
Докажем утверждение для 2-го случая.
Так как каждая из 30 команд сыграла хотя бы одну игру, то число
проведенных игр может принимать значения: 1, 2, …, 29 (всего 29), я команд
30, тогда по принципу Дирихле найдутся хотя бы 2 команды, сыгравшие
одинаковое число игр.
Задача 2. Доказать, что среди шести любых чисел найдутся два, разность
которых делится на пять.
Решение. Из теории делимости известно, что разность чисел (a – b)
делится на m тогда и только тогда, когда a и b при делении на m дают
одинаковые остатки. Учитывая это утверждение, переформулируем задачу:
Доказать, что среди шести любых чисел найдутся два числа, которые при
делении на пять, дают одинаковые остатки.
Докажем это утверждение: По теореме о делении с остатком, при делении
числа на пять может быть один из пяти остатков: 0, 1, 2, 3, 4. При этом
рассматриваются шесть любых чисел.
6>5, по принципу Дирихле получаем, что, приняв в качестве «классов» –
остатки, в качестве «предметов» - числа, учитывая, что хотя бы два числа из
шести имеют одинаковые остатки при делении на пять, а значит, их разность
делится на пять.
Задача 3. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два
четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что, по
крайней мере, три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Решение. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат либо на два
прямоугольника, либо на две трапеции.
1
2
Площадь трапеции равна S  hC , где h – высота трапеции (в нашем
случае сторона квадрата), C – длина средней линии трапеции (отрезок на
средней линии квадрата).
Так как по условию площади получившихся трапеций или
прямоугольников делятся как 2:3, то в том же отношении (п.2) прямая делит и
среднюю линию квадрата.
Таких точек, которые делят одну из средних линий квадрата в отношении
2:3 всего 4, прямых по условию 9, и каждая из них должна пройти через одну из
этих точек.
И так «классов» – 4, «предметов» –9>24, тогда по принципу Дирихле,
найдется три прямых проходящих через одну из этих четырех точек.
Задача 4. Доказать, что найдется число вида 200120012001…2001001…0,
которое делится на 2002.
Решение.
Рассмотрим
2001 … 2001
⏟
.
2002
числа
2001,
20012001,
…,
число 2001 повторено 2002 раза
Рассмотрим остатки от деления каждого числа на 2002: ни одно из этих
чисел не делится на 2002, так как это число четное, а числа п.1 нечетные,
поэтому возможные остатки: 1, 2, …, 2001 (всего 2001).
Так как чисел из п.1 больше чем возможных остатков, то по принципу
Дирихле найдутся хотя бы два из этих чисел, которые при делении на 2002
дадут одинаковые остатки.
Разносить чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на 2002,
делится на 2002 и имеет вид 20012001…2001000…0.
Задача 5. В классе 30 учеников. Саша Иванов в диктанте сделал 13
ошибок, а остальные – меньше. Докажите что, по крайней мере 3 ученика
сделали ошибок поровну (может быть по 0 ошибок)
Решение. В качестве «зайцев» будем рассматривать учеников. Под
«клетками» будем подразумевать – число сделанных ошибок.
В клетку 0 «посадим» всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 –
тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 – две… и так до клетки 13, куда попал
только Саша Иванов.
Теперь применим принцип Дирихле. Докажем утверждение задачи от
противного. Предположим, что никакие три ученика не сделали по
одинаковому числу ошибок, т.е. в каждую из «клеток» 0, 1, 2, …,12 попало
меньше трех школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а
всего в этих «клетках» не более 2·12=26 человек. Добавив Сашу Иванова, все
равно не наберем 30 ребят. Противоречие.
Следовательно, утверждение задачи верно, по крайней мере, трое
учеников сделали поровну ошибок.
Задача 6. Выберем любым способом 5 человек. Докажите, что, по
крайней мере, двое из них имеют одинаковое число знакомых среди
выбранных.
Решение. Построим 5 «клеток» с номерами 0, 1, 2, 3, 4. Пусть номер
«клетки» равняется числу знакомых у «содержащихся» в ней людей.
Возможны два случая: есть человек, ни с кем из остальных не знакомый,
или же такого человека нет, то есть каждый знаком хотя бы с одним из
выбранных. В первом случае в «клетке» 4 никого нет (иначе сидящие в 4 и 0
были бы знакомы между собой), и 5 человек размещены по 4 «клеткам». Во
втором случае «клетка» 0 пуста, и снова 5 человек размещены по 4 «клеткам».
По Принципу Дирихле хотя бы двое находятся в одной «клетке».
Задача 7. В строку выписано 5 натуральных чисел: а1, а2, а3, а4, а5.
Докажите, что либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких рядом
стоящих чисел делится на 5.
Решение. Рассмотрим 5 чисел а1, а1+ а2, а1+ а2+ а3, а1,+а2+ а3+ а4,
а1,+а2+ а3+ а4+ а5 Если одно из них делится на 5, то утверждение справедливо.
В противном случае при делении на 5 они дают в остатке какие-то из четырех
чисел: 1, 2, 3, 4.
По принципу Дирихле остатки, по крайней мере, двух из выписанных 5
чисел совпадают. Тогда их разность делится на 5. Но разность эта – одно из
чисел, данных в задаче, или сумма нескольких из них, стоящих рядом.
Задача 8. Двадцать одна девочка и двадцать один мальчик принимали
участие в математическом конкурсе. Каждый участник решил не более шести
задач. Для любых девочки и мальчика найдётся хотя бы одна задача, решённая
обоими. Докажите, что была задача, которую решили не менее трёх девочек и
не менее трёх мальчиков.
Решение: Предположим, что нашлась задача, которую решили не более
двух девочек или не более двух мальчиков.
Будем считать задачу «красной», если её решили не более двух девочек и
«чёрной» в противоположном случае (тогда её решили не более двух
мальчиков).
Представим шахматную доску с 21-й строкой, каждая из которых
соответствует девочке, и 21-м столбцом, каждый из которых соответствует
мальчику.
Тогда каждая клетка соответствует паре «мальчик–девочка». Каждую
клетку покрасим в цвет какой-нибудь задачи, которую решили и мальчикстрока и девочка-столбец.
По принципу Дирихле в каком-нибудь столбце найдётся 11 чёрных
клеток, или в какой-нибудь строке найдутся 11 красных клеток (потому что
иначе получится, что всего клеток не более чем 21 • 10 + 21 • 10 < 21²).
Рассмотрим, например, девочку-строку, содержащую хотя бы 11 чёрных
клеток. Каждой из этих клеток соответствует задача, решённая максимум двумя
мальчиками.
Тогда мы можем указать не менее 6 различных задач, решённых этой
девочкой. В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но
тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой,
что противоречит второму условию.
Точно также разбирается случай, если в каком-нибудь столбце найдутся
11 красных клеток.
Задача 9. В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них
найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же
буквы?
Решение: да
Задача 10. В пионерском отряде 22 пионера. Можно утверждать, что
среди пионеров найдутся хотя бы два, имена которых начинаются с одной и той
же буквы?
Решение: нет
Задача 11. В школе 400 учеников, Почему среди учащихся этой школы
обязательно найдутся хотя бы два ученика, родившихся в один и тот же день
года?
Решение: потому, что в году 365 дней
Задача 12. В школе 735 учащихся. Почему можно утверждать, что по
крайней мере три ученика должны отмечать день своего рождения в один и тот
же день?
Решение: если бы в каждый день года родились два ученика, то всего в
школе было бы не более чем 2·366=732 учащихся