Принцип Дирихле

Принцип Дирихле
В простейшем виде его выражают так: Если десять кроликов сидят в девяти
клетках, то в некоторой клетке сидит не меньше двух кроликов.
Общая формулировка: Если N кроликов сидят в K клетках, то найдется клетка, в
котором сидит не меньше чем N/K кроликов, и найдется клетка, в которой
сидит не больше чем N/K кроликов. Заметим, что если получится, например, что в
клетке не меньше 5/3 кроликов, значит, их не меньше двух.
Принцип Дирихле бывает непрерывным: Если N кроликов съели M кг травы, то
какой-то кролик съел не меньше M/N кг и какой-то съел не больше M/N кг травы.
Здесь кролики играют роль «клеток», а трава – роль «кроликов».
Математический принцип Дирихле состоит в предложение, утверждающем,
что в случае m  n при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов
хотя бы в один класс попадёт не менее двух предметов.
ЗАДАЧИ
1.
В классе 40 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают
свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
2.
На планете Альфа суша занимает больше половины площади поверхности.
Докажите, что на этой планете можно указать две диаметрально
противоположные точки суши.
3.
21 мальчик вместе собрали 200 орехов. Докажите, что какие-то два
мальчика собрали одинаковое число орехов.
4.
На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольных
работы. За каждую ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся
два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?
5.
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность
которых делится на 11.
6.
а) Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами и нулями,
есть число, которое делится на 2007. б) Докажите, что среди чисел,
записываемых только единицами, есть число, которое делится на 2007.
7.
Можно ли в клетках квадратной таблицы nn расставить числа 1, –1, 0 так,
чтобы все суммы – в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из двух
диагоналей – были различны?
8.
Из чисел 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 выбрано 51 число. Докажите, что среди
выбранных чисел всегда найдутся два числа, из которых одно делится на другое.
9. Доказать, что среди 82 кубиков, каждый из которых выкрашен в
определенный цвет, всегда можно выбрать 10 кубиков так, что либо все они
выкрашены в разные цвета, либо все они одного цвета.
10.
В ковре размером 44 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого
ковра можно вырезать коврик размера 11 метр, в котором нет ни одной дырки.
11.
Докажите, что из 52 целых чисел можно выбрать два, сумма или разность
которых делится на 100.
Задача 8. Из чисел 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 выбрано 51 число. Докажите, что среди
выбранных чисел всегда найдутся два числа, из которых одно делится на другое.
Решение. Разобъем все числа на 50 классов таким образом, чтобы из любых двух чисел
одно делилось на другое. Это можно сделать следующим образом.
Для нечетных чисел, кроме 1, меньших 50 определяем класс по правилу: {a, 2a, 4a, …}
таких чисел 24. Кроме того, для простого числа 2 класс определим таким же образом. Тогда все
четные числа от 1 до 100 попадут в один из вышеперечисленных классов.
Нечетных чисел от 50 до 100 также 20 штук, для них класс определим как {a,1}.
Таким образом, образовалось 50 классов с заранее заявленным свойством.
По принципу Дирихле существует класс, из которого выбрали не менее двух чисел, так
как
51
 1 . Следовательно, одно из этих чисел делится на другое по построению классов.
50
Принцип Дирихле: применение в геометрии
Некоторые задачи, в особенности геометрические, решаются при использовании
принципа Дирихле в следующих формулировках:
a) Если на отрезке длиной l расположены несколько отрезков, сумма длин
которых больше l, тогда по крайней мере два отрезка имеют общую внутреннюю
точку;
б) Если внутри фигуры площадью S расположены фигуры, сумма площадей
которых больше S, тогда среди них существуют хотя бы две фигуры, имеющие
общую внутреннюю точку;
в) Если фигуры F1, F2, ... , Fn (S1, S2, ... , Sn – соответственно их площади)
расположены в фигуре F площадью S и S1 + S2 + ... + Sn > k⋅S, тогда какие-то
(k + 1) из фигур F1, F2, ... , Fn имеют общую внутреннюю точку.
Действительно: допустим, каждая точка фигуры F покрыта не более чем k раз
какими-то фигурами F1, F2, ... . Тогда площадь S1 + S2 + ... + Sn может увеличиться,
по сравнению с площадью S, не более чем в k раз, т.е. неравенство
S1 + S2 + ... + Sn > k⋅S не будет выполнено.
Задача 1. В квадрате площадью S расположены 2011 фигур, сумма площадей
которых больше 2010⋅S. Докажите, что у этих фигур есть общая внутренняя
точка.
Задача 2. Внутри квадрата со стороной 1 находятся несколько окружностей,
сумма длин которых равна 10. Показать, что существует прямая, пересекающая не
менее четырех из этих окружностей.
Задача 3. Докажите, что в круге радиуса 1 нельзя выбрать более 5 точек,
попарные расстояния между которыми больше 1.
Задача 4. Дана фигура площади больше N. Доказать, что в ней найдутся N+1
точек, разности соответствующих координат которых – целые числа.
Задача 5. На плоскости даны n попарно непараллельных прямых. Показать, что
среди них есть прямые, угол между которыми составляет не больше 180/n
градусов.
Задача 6. В прямоугольнике 5 × 6 закрашено 19 клеток. Докажите, что в нём
можно выбрать квадрат 2 × 2 , в котором закрашено не менее трёх клеток.
Задача 7. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 лежат 5 точек.
Доказать, что найдутся две точки из пяти, расстояние между которыми меньше
0,5.
Задача 8. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя
меньшими равносторонними треугольниками.
Задача 9. В круг радиуса 3 произвольным образом помещены несколько кругов,
сумма радиусов которых равна 25. Доказать, что найдётся прямая, которая
пересекает не менее девяти из этих кругов.