Принцип Дирихле Работу выполнил ученик 6 «А» класса Клишин Антон

Принцип
Дирихле
Работу выполнил ученик 6 «А»
класса Клишин Антон
Формулировка









При́ нцип Дирихле́ — утверждение, устанавливающее связь между
объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при
выполнении определённых условий.
Формулировки
Предположим m кроликов рассажены в n клетках. Наиболее
распространена следующая формулировка этого принципа:
Предположим, некоторое число кроликов рассажены в клетках.
Если число кроликов больше, чем число клеток, то хотя бы в одной
из клеток будет больше одного кролика.
Наиболее общая формулировка звучит так:
Предположим, m кроликов рассажены в n клетках. Тогда если m >
n, то хотя бы в одной клетке содержится не менее n : m кроликов,
а также хотя бы в одной другой клетке содержится не более n : m
кроликов.
Возможны также несколько формулировок для частных случаев:
Если число клеток больше, чем число кроликов, то как минимум
одна клетка пуста.
Пусть задана функция и мощность множества A больше мощности
B, то есть | A | > n | B | , где . Тогда некоторое своё значение
функция f примет, по крайней мере n + 1 раз.
Примечание:


Принцип Дирихле известен также как принцип голубей и ящиков, когда
объектами являются голуби, а контейнерами — ящики. Это название
распространено в английском и некоторых других языках.
9 клеток вмещают 7 голубей, значит, хотя бы 9-7=2 клетки свободны
ЗАДАЧИ:
№1
№2
№4
№6
№3
№5
№7
Задача № 1

Шесть школьников съели семь конфет.
а) Докажите, что один из них съел не менее
двух конфет.
б) Верно ли, что кто-то съел ровно две
конфеты?
Ответ
Задача № 2
В классе 15 учеников. Найдется ли
месяц, в котором отмечают свои дни
рождения не меньше, чем два ученика
этого класса ?
Ответ
Задача № 3

В ковре размером 4 х 4 метра моль
проела 15 дырок. Докажите, что из него
можно вырезать коврик размером 1 х 1
метр, не содержащий внутри себя
дырок. (Дырки считаются точечными).
Ответ
Задача № 4
На финальном матче школьного
первенства по баскетболу команда 6А
забила 9 мячей. Докажите, что найдутся
два игрока этой команды, забившие
поровну мячей. (В команде было
5 игроков.)
Ответ
Задача № 5


В Москве проживает более 10 000 000
людей. На голове у каждого человека
не может быть более 300 000 волос.
Докажите, что наверняка найдутся
34 москвича с одинаковым числом
волос на голове.
Ответ
Задача № 6


За победу в турнире Архимеда команда из 8
человек получила 12 конфет. Дети поделили
конфеты между собой, не разламывая их.
Определите, верны ли следующие
утверждения: «кому-то досталось по крайней
мере 2 конфеты»; «кому-то досталось по
крайней мере 3 конфеты»; «двум людям
досталось по крайней мере две конфеты»;
«каждому досталась хотя бы одна конфета».
Ответ
Задача № 7


. На планете Земля океан занимает
больше половины площади
поверхности. Докажите, что в мировом
океане можно указать две
диаметрально противоположные точки.
Ответ
Решение
а) Указание: примените принцип
Дирихле, считая, что, "клетки" √ это
школьники, а "кролики" √ это конфеты.
б) Не обязательно: например, все семь
конфет мог съесть один школьник.
Решение

Да, найдется: всего месяцев 12, а
учеников 15 ) 12. Здесь "кролики" √ это
ученики, а "клетки" √ это месяцы.
Решение

Разрежем ковер тремя вертикальными и
тремя горизонтальными разрезами на
16 одинаковых ковриков размером 1 х 1
метр. Поскольку 16 > 15, то один из
ковриков будет без дыр.
Решение

Предположим, что возможен случай, когда такие два
игрока не найдутся. Тогда все пять игроков забили
разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего
не забил, второй игрок забил один мяч, третий игрок
забил два мяча, четвёртый — три, пятый — четыре.
Тогда всего игроки забили десять мячей. Если же
кто-то из игроков забил больше мячей, чем мы
предположили, то и всего игроки забили больше
мячей. Поскольку по условию игроки забили всего
девять мячей, наше предположение неверно. Значит,
существуют два игрока команды, забившие поровну
мячей.
Решение

На голове может быть 0, 1, …, 300 000
волос — всего 300 001 вариант. Каждого
москвича отнесём к одной из 300 001 групп в
зависимости от количества волос. Если
34 москвича с одинаковым количеством волос
не найдутся, то это значит, что в любую из
созданных групп входит не более 33 человек.
Тогда всего в Москве живёт не более 33·300
001=9 900 033 < 10 000 000 человек, что
противоречит условию. Значит, такие
34 москвича обязательно найдутся.
На список
Решение

Первое утверждение верно, все
остальные — нет.
Решение

Отразим океан симметрично
относительно центра Земли. Поскольку
сумма площадей океана и его образа
превышает площадь земной
поверхности, то существует точка,
принадлежащая океану и его образу.
Возьмем эту точку вместе с
противоположной к ней.