Принцип Дирихле – 0

Принцип Дирихле – 0
1. В коробке лежат шарики двух цветов. Сколько шариков достаточно наугад вынуть из
коробки, чтобы среди них заведомо нашлись два одного цвета?
2. В лесу растет миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 400 000 иголок.
Докажите, что в лесу найдутся по крайней мере три ёлки с одинаковым числом иголок.
3. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Сколько шаров надо вынуть, не
глядя, чтобы наверняка достать 2 шара одного цвета ?
4. Вынос из темной комнаты.
a. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 черных и 24 синих носка.
Сколько носков следует взять из шкафа, чтобы из них заведомо можно было
составить по крайней мере одну пару носков одного цвета?
b. Сколько надо взять носков, чтобы заведомо можно было составить хотя бы одну
пару носков черного цвета?
c. Как изменится решение задачи, если в ящике лежат 12 пар черных и 12 пар синих
ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а) и пару черного
цвета (как в пункте б) ?
Обобщенный принцип Дирихле:
Если в N клетках сидит не менее kN+1 кролик,
то найдется клетка, в которой сидит не менее k+1 кролика.
Заметим, что при k =1 обобщенный принцип Дирихле превращается в обычный принцип Дирихле.
5. Школа с учениками.
a. В школе 400 учеников. Верно ли, что хотя бы двое их них родились в один день
года?
b. Верно ли, что в группе из 10 человек всегда найдутся двое, родившиеся в один
день недели?
c. Верно ли, что в классе из 25 человек всегда найдутся трое, родившиеся в один
месяц?
6. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали
яблоки одного сорта. Найдутся ли 9 ящиков одного сорта?
7. У человека на голове не более 400 000 волос, в Москве более 8 млн. жителей. Докажите,
что найдутся 20 москвичей с одинаковым числом волос.
8. В классе 30 человек. Андрей сделал в диктанте 13 ошибок, а остальные – меньше.
Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну.
9. Семья из семи человек ела торт. Его разделили на 7 частей разного размера. Докажите,
что кто-то съел не меньше 1/7 торта.
10. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст – 332 года. Докажите, что из них можно
выбрать трёх человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.
11. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся 2 точки на расстоянии 1метр
друг от друга, раскрашенные в один цвет.
12. Докажите, что среди любых шести человек всегда найдутся либо трое попарно знакомых,
либо трое попарно незнакомых.
13. Марсианин Вася, имеющий, как и остальные марсиане, три руконожки, собирается на
банкет. В темном шкафу лежат его носкоперчатки: 10 белых, 10 красных и 10 зеленых.
Сколько носкоперчаток ему надо вынуть, чтобы в любом случае надеть на себя две белых
и одну красную носкоперчатку? (У марсиан нет «левых» или «правых» руконожек – они у
них одинаковые!)
14. Какое наибольшее число клеток доски 6х6 можно покрасить так, чтобы никакие две
закрашенные клетки не соприкасались (даже в одной точке)?