Labano3 - BSUIR Helper

Учреждение образования
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра ЭВС
(Дисциплина ТО САПР)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.
« ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ»
Выполнили:
студенты 2 курса ФКП
гр. 010701
Проверил:
Станкевич А.В.
Минск, 2012
Цель: изучить метод конечных разностей и использовать его для анализа
процессов переноса теплоты теплопроводностью в ЭВС.
Исходные данные.
Задана плоская стенка толщиной 4 мм. Теплофизические свойства стенки:
коэффициент температуропроводности 10 -6 м2/c, коэффициент
теплопроводности 10 Вт/(моС). Начальное распределение температуры –
линейное с градиентом температуры 10 0С/мм в направлении нарастания
пространственной координаты от значения t(0,0)=300С. В момент времени
=0 первая поверхность стенки поддерживается при температуре 600С,
другая - при температуре 200С.
Задача №1
Решить стационарную одномерную задачу теплопроводности методом
конечных разностей с заданными граничными условиями. Число точек сетки
выбрать равным пяти-шести.
1.На основании уравнения теплопроводности, граничных условий и
одномерного шаблона составим систему уравнений метода конечных
разностей:
t0  20
( t2  2 t1  t0)
( x )
( t3  2t2  t1)
( x )
2
( t4  2t3  t2)
( x )
2
( t5  2t4  t3)
( x )
0
2
2
0
0
0
t5  60
Граничные условия
t0  20
t5  60
2.После составления систем уравнений метода конечных разностей
необходимо численно решать эти системы. Решим эти системы с помощью
итерационных методов, для вычисления используется блок решения
уравнений Given и функция Find(var1, var2, ...), где var1, var2, ...
неизвестные системы уравнений.
 20 
 28 
 
36
Find ( t0 t1 t2 t3 t4 t5)   
 44 
 52 
 
 60 
Задача№2
Решить нестационарную одномерную задачу теплопроводности явным и
неявным методом конечных разностей с заданными краевыми условиями.
Сравнить полученные результаты. Построить графические зависимости
изменения температуры от времени.
3.Решение нестационарной одномерной задачи явным методом.
Коэффициент температуропроводности 10 -6 м2/c
Для явного метода значение температуры в следующий момент времени
рассчитывается по значениям температуры в предыдущие моменты времени:
t i 1, j  2t i , j  t i 1, j
ti , j 1  a
 ti , j .
x 2
Шаг по времени:   0.3
Для явного метода значение температуры в следующий момент времени
рассчитывается по значениям температуры в предыдущие моменты времени:
  0.3
(   0.5)
j  0 3
t00  30
t10  40
t20  50
t11  40
t01  60
t21  50
t12  40
t02  60
t22  50
t13  40
t03  60
t23  50
t30  60
t40  70
t31  60
t41  20
t32  60
t42  20
t33  60
t43  20
Given
t11  a  
t20  2 t10  t00
x
t31  a  
t13  a  
t23
2
2
t22  2 t22
t32
t12  t12
t02
x
2
t30  2 t20  t10
 t30
t12  a  
 t21
 t22
t12
2
t21  2 t11  t01
x
t31  2 t21  t11
x
t21  a  
x
t40  2 t30  t20
x
t22  a  
2
 t10
t32  a  
2
 t11
t41  2 t31  t21
x
t33  a  
 t20
2
t42  2 t32  t22
x
2
 t31
 t32
 40 
 50 
 60 


 54.063 
Find ( t11 t21 t31 t12 t22 t32 t13 t23 t33)   50 
 36.563 


 54.941 
 45.605 
 35.098 
 60
 40

t   50
 60

 20



50 50 48.2 
60 45 39 

20 20 20 
60 60 60
40 49 52.6
График распределения температуры.
t
4.Решение нестационарной одномерной задачи неявным методом.
Коэффициент температуропроводности 10 -6 м2/c
Разностная аппроксимация дифференциального уравнения теплопроводности
для i-й точки в момент времени j+1 для неявного метода будет иметь
следующий вид:
ti , j 1  ti , j

a
ti 1, j 1  2ti , j 1  ti 1, j 1
.
x 2
При такой аппроксимации необходимо составить систему уравнений для
точек сетки, которую потом нужно будет решать численными методами.
t00  30
t10  40
t20  50
t11  40
t01  60
t21  50
t12  40
t02  60
t22  50
t13  40
t03  60
t23  50
t30  60
t40  70
t31  60
t41  20
t32  60
t42  20
t33  60
t43  20
Given
t11  t10

t12  t11

t13  t12

t21  t20

a
t21  2 t11  t01
x
a
t22  2 t12  t02
x
a

a
t41  2 t31  t21
x
t32  t31

a
2
t42  2 t32  t22
x
2
t31  2 t21  t11
x
t31  t30
2
t23  2 t13  t03
x
a
2
2
t33  t32

a
2
t43  2 t33  t23
x
2
t23  t22

t22  t21

a
t33  2 t23  t13
x
a
2
t32  2 t22  t1
x
2
 46.937 
 48.674 
 47.582 


 50.143 
Find ( t11 t21 t31 t12 t22 t32 t13 t23 t33)   47.124 
 40.798 


 51.456 
 45.712 
 36.955 
60
60 
 60 60
 40 45.483 48.72 50.545 


t   50 49.244 48.227 47.177 
 60 50.483 44.345 40.311 


20
20 
 20 20
График распределения температуры.
t
Вывод:
В ходе лабораторной работы был изучен метод конечных разностей и
использован для анализа
процессов переноса теплоты теплопроводностью в ЭВС. Были решены
стационарная и нестационарная явным и неявным методом задачи. Явные
методы по сравнению с неявными имеют большие ограничения по
устойчивости.