Тема 13. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности

Тема 13. Уравнения и неравенства с одной переменной, их
системы и совокупности
Равенство вида f ( x)  g ( x) называется уравнением с одной
переменной, или с одной неизвестной.
Областью допустимых значений переменной x уравнения (ОДЗ
уравнения) называется множество всех тех значений x, при которых
имеют смысл обе части уравнения. Область допустимых значений
уравнения совпадает c пересечением областей определения функций f
и g.
Решением (корнем) уравнения называется такое число x0 из ОДЗ
уравнения, которое при подстановке его вместо x в уравнение
обращает его в верное числовое равенство.
Решить уравнение означает найти все его решения или доказать,
что уравнение решений не имеет.
Рассмотрим два уравнения f ( x)  g ( x) (1) и f1 ( x)  g1 ( x) (2).
Если каждое решение уравнения (1) является решением
уравнения (2), то говорят, что уравнение (2) – следствие уравнения
(1), обозначают это так f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x). Можно сказать,
что из уравнения (1) следует уравнение (2).
Другими словами, уравнение-следствие (2) имеет множество
корней, содержащее как подмножество множество корней уравнения
(1), т.е. при переходе к уравнению-следствию множество корней
может только расширится, т.е. могут появиться новые корни, которые
не были корнями первого уравнения. Такие корни обычно называют
посторонними для уравнения (1).
Два уравнения f ( x)  g ( x) (1) и f1 ( x)  g1 ( x) (2) называются
равносильными (эквивалентными) если их множества решений
совпадают. Обозначается это так f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) .
1
Очевидно, что два уравнения будут равносильными тогда и
только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Примеры. 1) Уравнения x  1 и x  1 являются равносильными,
т.к. их множества решений совпадают: 1 . Заметим, что области
допустимых значений уравнений различны, т.е. равносильные
уравнения не обязательно имеют одну область допустимых значений.
2) Уравнения x  1 и x2  1 не являются равносильными, т.к.
x0  1 является корнем второго уравнения, но не является корнем
первого. Второе уравнение является следствием первого. Заметим,
что в этом случае области допустимых значений обоих уравнений
одинаковы и совпадают с множеством всех действительных чисел.
Понятие равносильности обладает свойством транзитивности,
т.е. если уравнение 1 равносильно уравнению  2  , а уравнение  2 
равносильно
уравнению
 3 ,
то
уравнение
1
равносильно
уравнению  3  .
Замена уравнения ему равносильным, или замена уравнения
равносильной ему системой (совокупностью) уравнений называется
равносильным переходом.
При решении уравнений часто пользуются понятием
равносильности уравнений на множестве. Два уравнения называются
равносильными на множестве А, если совпадают множества их
корней, принадлежащих множеству А.
Уравнения могут не быть равносильными, но могут оказаться
равносильными нам множестве А. Например, уравнения x  1 и x  1
не являются равносильными, но они будут равносильными на
множестве положительных чисел.
Процесс решения уравнений, как правило, состоит в
последовательной замене уравнения более простым уравнением или в
замене его совокупностью (неравенств, систем уравнений). Делая
2
преобразования в одной или обеих частях уравнения, необходимо
четко отслеживать, является ли это преобразование равносильным,
или в его результате мы переходим к уравнению-следствию, а, быть
может, вообще в процессе преобразования возможна потеря корней.
Следует обращать внимание на то, как выполняемые преобразования
влияют на область допустимых значений переменной: при ее
сужении возможна потеря корней, а при расширении – приобретение
посторонних.
5
5

 11  4 x после
x2 x2
приведения подобных слагаемых в левой части заменяется
уравнением 7  2 x  11  4 x , ему не равносильным. Действительно,
число x  2 является единственным корнем второго уравнения, но не
является корнем исходного уравнения. При выполнении
преобразования произошло расширение области допустимых
значений переменной только на одно число 2, которое и оказалось
корнем второго уравнения.
Примеры. 1) Уравнение
7  2x 
5
5

 26  x после приведения
x2 x2
подобных слагаемых заменяется на уравнение 5  2 x  26  x , которое
равносильно исходному: оба имеют один корень x  7 .
2). Уравнение 5  2 x 
x2  1
 2 после сокращения левой части
Пример 3. Уравнение
x 1
на множитель x  1 заменяется уравнением x  1  2 , не равносильным
исходному, т.к. число x  1 является корнем второго уравнения, но не
является корнем первого. Приобретение постороннего корня
произошло за счет расширения области допустимых значений
переменной.
При решении уравнений нужно применять либо равносильные
преобразования, либо преобразования, которые могут привести к
уравнению-следствию. Во втором случае необходимо обязательно
3
делать проверку найденных корней, подставляя их в исходное
уравнение.
При выполнении преобразований уравнений нужно понимать,
какие преобразования являются равносильными. Сформулируем
основные равносильные преобразования.
Утверждения о равносильности уравнений
1. Уравнения f ( x)  g ( x) и f ( x)  g ( x)  0 равносильны.
2. Уравнения f ( x)  g ( x) и f ( x)    g ( x)   равносильны при
любом  .
3. Уравнения f ( x)  g ( x) и  f ( x)   g ( x) равносильны при
любом   0 .
f ( x)
 a g ( x ) (a  0, a  1) и f ( x)  g ( x) равносильны.
4. Уравнения a
5.
6.
Пусть функции y  f ( x) и y  g ( x) неотрицательны на
некотором множестве А. Тогда на этом множестве уравнения
f ( x)  g ( x) и f n ( x)  g n ( x) равносильны при любом n  N .
Пусть функция y   ( x) определена и не обращается в ноль ни
в одной точке множества А, содержащемся в ОДЗ уравнения
f ( x)  g ( x) . Тогда на множестве А уравнения будут
равносильны f ( x)  g ( x) и  ( x) f ( x)   ( x) g ( x).
7. Уравнение f 2n ( x)  g 2m ( x)  0 равносильно системе уравнений
1.
2.
 f ( x)  0,

 g ( x)  0.
Утверждения о следствии
Уравнение f 2 n ( x)  g 2 n ( x) является следствием уравнения
f ( x)  g ( x) . То есть при возведении обеих частей уравнения в
четную степень можно получить уравнение, имеющее
посторонние корни. Необходима проверка корней.
Уравнение f ( x)  g ( x) является следствием уравнения
log a f ( x)  log a g ( x), (a  0, a  1) .
3. Уравнение f ( x)  g ( x) ( x) является следствием уравнения
4
f ( x)
 g ( x)
 ( x)
.
4.
5.
Уравнение f ( x)  g ( x) является следствием уравнения
f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x).
 f ( x)  0,
Совокупность уравнений 
является следствием
g
(
x
)

0

уравнения f ( x)  g ( x)  0.
Пример 4. Являются ли равносильными уравнения
x 2  x  5  x  1 и x2  x  5  x  1?
Решение. Множество корней второго уравнения состоит из двух
чисел x1  2, x2  2 . Число -2 не принадлежит ОДЗ первого
уравнения и потому не может быть его корнем. Значит, уравнения не
равносильны.
и
f ( x)  g ( x )
tg  f ( x)   tg  g ( x)  . а) Могут ли быть потеряны корни при переходе
Пример
5.
Даны
два
уравнения
от первого ко второму уравнению? б) Могут ли появиться
посторонние корни при таком переходе?
Решение. Покажем, что возможны как случай а), так и случай б).
Действительно, число  не является решением уравнения
x  2 x . Но является решением уравнения tgx  tg 2 x .
Наоборот, число 1 является решением уравнения
arcsin x  2 arcsin
x
, но не является решением уравнения
2
x 

tg (arcsin x)  tg  2arcsin
.
2

5
Если несколько уравнений рассматриваются совместно, то
говорят о системе уравнений. Система нескольких уравнений
 f1 ( x)  0,
 f ( x)  0,

обозначается фигурной скобкой  2
............. ,
 f n ( x)  0.
Решением системы уравнений называется такое число x0 ,
которое обращает в верное числовое равенство каждое уравнение
системы. То есть, чтобы найти решение системы уравнений
необходимо решить каждое ее уравнение, затем найти пересечение
полученных множеств.
Две системы уравнений называются равносильными, если их
множества решений совпадают. Преобразования уравнений системы,
приводящие к равносильной системе, называются равносильными
преобразованиями системы. При некоторых преобразованиях
уравнений системы получается система, множество решений которой
шире множества решений исходной системы. Тогда говорят, что
полученная система является следствием исходной.
Полезно помнить, что при сложении (вычитании) уравнений
системы получаются уравнения, являющиеся следствиями системы.
 f1 ( x)  0,
 f ( x)  0,
Запись  2
называется совокупностью уравнений.
............. ,

 f n ( x)  0
Решением совокупности уравнений называется такое число x0 ,
которое обращает в верное числовое равенство по крайней мере одно
из уравнений совокупности. То есть, чтобы найти решение
совокупности уравнений необходимо решить каждое уравнение и
найти объединение полученных множеств решений.
6
Аналогичные понятия вводятся для неравенств, их систем и
совокупностей. Приведем основные из них.
Выражение вида f ( x)  g ( x) называется неравенством с одной
переменной, или с одной неизвестной. Такие неравенства называются
строгими. Нестрогие неравенства f ( x)  g ( x) можно определить
через уже известные конструкции:
 f ( x)  g ( x),
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  g ( x).
Областью допустимых значений переменной x неравенства
(ОДЗ неравенства) называется множество всех тех значений x, при
которых имеют смысл обе части неравенства. Область допустимых
значений неравенства совпадает c пересечением областей
определения функций f и g.
Решением неравенства называется такое число x0 из ОДЗ
неравенства, которое при подстановке его вместо x в неравенство
обращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство означает найти все его решения или
доказать, что неравенство решений не имеет.
Рассмотрим два неравенства f ( x)  g ( x) (1) и f1 ( x)  g1 ( x) (2).
Если каждое решение неравенства (1) является решением
неравенства (2), то говорят, что неравенство (2) – следствие
неравенства (1), обозначают это так f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x).
Можно сказать, что из неравенства (1) следует неравенство (2).
Другими словами, множество решений неравенства-следствия
содержит как подмножество множество решений неравенства (1).
Если в процессе преобразования неравенства переходить к
неравенству-следствию, то могут появиться посторонние решения.
Однако, в отличие от уравнений их не всегда можно проверить,
поскольку, как правило, это множество – бесконечное. Отсюда
7
вывод: при решении неравенств необходимо пользоваться только
равносильными переходами.
Два неравенства f ( x)  g ( x) (1) и f1 ( x)  g1 ( x) (2) называются
равносильными (эквивалентными) если их множества решений
совпадают. Обозначается это так f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) .
Пример 6. Неравенство x2  9 является следствием неравенства
x  3 , т.к. его множество решений  ;  3   3;    содержит как
подмножество множество решений второго неравенства.
Неравенства x2  9 и x  3 являются равносильными, так как их
множества решений совпадают и равны  ;  3   3;    .
Понятие равносильности обладает свойством транзитивности,
т.е. если неравенство 1 равносильно неравенству  2  , а неравенство
 2
равносильно неравенству  3 , то неравенство 1 равносильно
неравенству  3  .
Замена неравенства ему равносильным, или замена неравенства
равносильной ему системой (совокупностью) неравенств называется
равносильным переходом.
При решении неравенств часто пользуются понятием
равносильности неравенств на множестве. Два неравенства уравнения
называются равносильными на множестве А, если совпадают
множества их решений, принадлежащих множеству А.
Процесс решения неравенств состоит в последовательной
замене неравенства уравнения более простым равносильным ему
неравенством или в замене его равносильной ему совокупностью
(системой) неравенств.
8
Пример 7. Неравенство
 g ( x)  0,

f ( x)  g ( x)   f ( x)  0,
 f ( x)  g 2 ( x).

Пример 8. Выяснить, являются ли равносильными неравенства
x3
 0 и  x  3 5  x   0 ?
5 x
Решение.
Множество
решений
первого
 ; 3   5;    , а множество решений второго
неравенства
неравенства
 ; 3  5;    . Число 5 не удовлетворяет первому неравенству, т.к.
не попадает в его ОДЗ, а второму неравенству удовлетворяет.
Неравенства неравносильны, второе является следствием первого.
Утверждения о равносильности неравенств
1. Неравенства f ( x)  g ( x) и f ( x)  g ( x)  0 равносильны.
2. Неравенства f ( x)  g ( x) и f ( x)    g ( x)   равносильны для
любого числа  .
3. Неравенства f ( x)  g ( x) и  f ( x)   g ( x) равносильны для
любого числа   0 . Неравенства f ( x)  g ( x) и  f ( x)   g ( x)
равносильны для любого числа   0 .
4. Неравенства a f ( x )  a g ( x ) (a  1) и f ( x)  g ( x) равносильны.
5. Неравенства a f ( x )  a g ( x ) (0  a  1) и f ( x)  g ( x) равносильны.
6. Пусть функции y  f ( x) и y  g ( x) неотрицательны на
некотором множестве А. Тогда на этом множестве неравенства
f ( x)  g ( x) и f n ( x)  g n ( x) равносильны при любом n  N .
7. Пусть функция y   ( x) определена и строго положительна на
множестве А, содержащемся в ОДЗ неравенства f ( x)  g ( x) .
Тогда на множестве А неравенства
f ( x )  g ( x) и
 ( x) f ( x)   ( x) g ( x) равносильны.
9
8. Неравенство f 2n ( x)  g 2m ( x)  0 равносильно системе уравнений
 f ( x)  0,

 g ( x)  0.
Хотя при решении неравенств необходимо применять
равносильные переходы, полезно знать, какие из часто
применяемых преобразований приводят неравенство к его
следствию.
Утверждения о следствии
1. Неравенство f 2 n ( x)  g 2 n ( x) является следствием неравенства
f ( x)  g ( x). То есть при возведении обеих частей неравенства в
четную степень можно получить неравенство, имеющее
посторонние решения.
2. Неравенство f ( x)  g ( x) является следствием неравенства
f ( x)  h( x)  g ( x)  h( x).
По аналогии с уравнениями определяются
совокупности неравенств, множества их решений.
системы
и
Если несколько неравенств рассматриваются совместно, то
говорят о системе неравенств. Система нескольких уравнений
 f1 ( x)  0,
 f ( x)  0,

обозначается фигурной скобкой  2
............. ,
 f n ( x)  0.
Решением системы неравенств называется такое число x0 ,
которое обращает в верное числовое равенство каждое неравенство
системы. То есть, чтобы найти решение системы неравенств
необходимо решить каждое ее неравенство, затем найти пересечение
полученных множеств.
Две системы неравенств называются равносильными, если их
множества решений совпадают. Преобразования неравенств системы,
приводящие к равносильной системе, называются равносильными
10
преобразованиями системы. При некоторых преобразованиях
неравенств системы получается система, множество решений которой
шире множества решений исходной системы. Тогда говорят, что
полученная система является следствием исходной.
 f1 ( x)  0,
 f ( x)  0,
Запись  2
называется совокупностью неравенств.
............. ,

 f n ( x)  0
Решением совокупности неравенств называется такое число x0 ,
которое обращает в верное числовое неравенство по крайней мере
одно из неравенств совокупности. То есть, чтобы найти решение
совокупности неравенств необходимо решить каждое неравенство и
найти объединение полученных множеств решений.
Часто одно неравенство при решении заменяется равносильной
ему конструкцией, в качестве которой может выступать система
неравенств, совокупность неравенств, смешанная система или
совокупность (т.е. содержащая как уравнения, так и неравенства), а
также более сложные конструкции.
Приведем пример замены иррационального неравенства на
равносильную ему совокупность систем неравенств
  g ( x)  0,

2
 f ( x)  g ( x),

f ( x)  g ( x) 
  g ( x)  0,

  f ( x)  0.
В заключение приведем примеры решений задач, аналогичных
задачам ДСР.
Пример 8. Являются ли равносильными неравенства
log 2  x 2  4   2 и log 2  x  2   log 2  x  2   2.
11
Решение. Выполним равносильные переходы для первого
неравенства:
 x 2  4  4,
 x 2  8,
log 2  x  4   2   2
 2
 2  x  2 2.
 x  4  0.
 x  4.
2
Сделаем то же самое для второго неравенства
 x  2  0,

log 2  x  2   log 2  x  2   2   x  2  0,


2
log 2  x  4   2.
 x  2,
 x  2; 2 2  .
 2
 x  8.

Очевидно, что множество решений первого неравенства шире,
чем множество решений второго неравенства, т.к.
 
2  x  2 2  x  2 2;  2  2; 2 2  .
Следовательно,
второго.
первое
неравенство
является
следствием
f ( x)
0 и
g ( x)
f ( x)  0 являются а) равносильными; б) первое является следствием
второго; в) второе является следствием первого?
Пример 9. Привести пример, когда уравнения
Решение. а) Уравнение
f ( x)
 0 равносильно конструкции
g ( x)
 f ( x)  0,
, а эта система будет равносильна уравнению f ( x)  0

g
(
x
)

0

12
только тогда, когда ни один корень уравнения f ( x)  0 не является
x2
 0  x  2  0.
корнем знаменателя. Приводим пример: 2
x 1
б) Такого примера привести нельзя, т.к. все корни первого
уравнения – это либо корни второго уравнения, либо некоторые из
них (те, которые не являются нулями знаменателя), т.е. множество
корней первого уравнения либо равно, либо шире, чем множество
корней второго уравнения.
x2  4
 0  x 2  4  0.
в) Приведем сразу пример:
x2
Задания для аудиторного занятия
1. Найти область допустимых значений уравнений и неравенств
а)
x 2  5 x  6  3x  8; б) arcsin
2  4x
 arcsin x ;
x 1
   x  3 
x 
в) log 3  2  5 x   log 3  2  5 x   log 3 x 2 ; г) tg 
  tg 
.
4
 4 


2. Выяснить, являются ли данные уравнения (неравенства)
равносильными. На каком множестве они будут равносильны?
а) 18  x  x 2   4 x  8   18  x  x 2  1  x  и 4 x  8  1  x;
2
2
 2 
3
2
0 и 
б)
  0 ; в) x  1 и x  1 ; г) x  1 и
1 x
1 x 
2
2
 2
x  1; д) 2
и x2  4 x  x2  4 ; е) log5  x  5 x  2   2 и
x  4 x  4x
log5  x  5  log5  x  2   2.
13
2. Выяснить, являются ли равносильными уравнения. Если нет,
то является ли одно из них следствием другого. Ответ
обосновать.
а) log3 f 2 ( x)  5 и log 3 f ( x)  2,5 ;
б) log 3 f ( x)  g ( x)  3 и log3 f ( x)  log3 g ( x)  3 ;
f ( x)
 10 и log 3 f ( x)  log 3 g ( x)  10 ;
g ( x)
г) f ( x)  g ( x) и arcsin f ( x)  arcsin g ( x) .
3. Доказать, что заданные неравенство и (неравенство)
конструкция равносильны:
  f ( x)  0,

 x  D( g ),
f ( x) g ( x)  0  
а)
  g ( x)  0,

  x  D( f ).
в) log 3
б)
  f ( x)  0,

  x  D ( g );
  g ( x)  0,

  x  D ( f );
f ( x) g ( x)  0  
  f ( x)  0,
  g ( x)  0;

  f ( x)  0,
  g ( x)  0.

14