Что нужно знать. 1. Основные геометрические факты: a. Признаки равенства треугольников. b. Признаки подобия треугольников, отношения площадей. c. Где располагается центр описанной, вписанной окружностей в треугольнике. i. Особенно: где располагается центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике! d. Факты про углы и параллельные прямые. e. Факты углы и окружность: i. Вписанный угол ii. Угол между касательной и хордой iii. Вписанный четырехугольник f. Средняя линия: треугольник, трапеция. 2. Основные формулы: a. Формулы площади треугольников (ВСЕ!): 𝑎ℎ𝑎 𝑎𝑏 sin 𝛾 , 2 2 , √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), 𝑝𝑟, 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 b. Формулы площади трапеции, параллелограмма: (𝑎+𝑏)ℎ 2 , 𝑎ℎ𝑎 , 𝑑1 𝑑2 sin 𝛼 2 c. Теоремы: синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора. d. Биссектриса и отношение сторон. e. «Степень точки» относительно окружности: i. Теорема о хордах ii. Теорема о секущей и касательной iii. Теорема о секущих iv. Равенство касательных 3. Негеометрические умения: a. Уметь выражать sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼 через одно из них Особенно: разобраться со знаками этих выражений. b. Уметь выражать тригонометрические функции двойных и половинчатых углов. c. Уметь ПРАВИЛЬНО И С ПЕРВОЙ ПОПЫТКИ складывать и вычитать, умножать, делить не сильно большие правильные дроби. d. Иметь интуитивное мышление «ой, кажется я уже накосячил, давайте ещё раз вернусь к предыдущему пункту и попытаюсь ещё раз посчитать перепроверить, а не буду пытаться продолжать дальше» Многовариантность. 1. «Прямая проходит через вершину трапеции и …» - какую вершину? 2. «Точка делит сторону в отношении 1:3…» - с какой стороны? 3. «В равнобедренном треугольник со сторонами 3 и 4 на боковой стороне…» - и что из этого боковая сторона, 3 или 4? 4. «Окружность радиуса 2 касается катета AB прямоугольного треугольника ABC в точке B…» - где прямой угол? в какую сторону касается? 5. «Ромб вписан в треугольник …» - точно единственным образом? 6. «Две окружности касаются…» - как, внешне, внутренне? 7. «Общая касательная…» - внешняя или внутренняя? Мораль 1. – найдите сразу, где возможна многовариантность. P.S> 3 балла – решение; 2 балла – 1 вариант; 1 балл – арифметический косяк. Мораль 2. Знаете, что не умеете считать? Не замахивайтесь на многовариантность. Задача 1 Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 600. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN. Задача 2 Окружности радиусов 1 и 4 с центрами О1 и О2 соответственно касаются внешним образом в точке С, АО1 и ВО2 - параллельные радиусы этих окружностей, причем угол АО1О2 равен 600. Найдите АВ. Задача 3 Радиусы окружностей с центрами О1 и О2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой О1О2, если О1О2 =21. Задача 4 Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM. Задача 5 Точка О - центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 14√3. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников АОВ, COD и EOF. Задача 6 Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника АВС пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке Е. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую АС в точке F, отличной от А. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АС=8, AF=3, угол ВАС равен 450 . Домашнее задание Задача 1. Окружность радиуса 6√2 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N.Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найти MN. Задача 2. Угол С треугольника АВС равен 300, D - отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:6. Найдите синус угла А. Задача 3. В треугольнике АВС известны стороны АВ=7, ВС=8, АС=9. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка KL. Задача 4. На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, взята точка Е, удаленная от вершины А на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС=6, АС=4? Задача 5. В параллелограмме ABCD 1 AB= 2, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что : BM MN = 1 :7. Найдите BC. Задача 6. В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда 8 AB = . Точка C лежит на хорде AB так, что : 1:2 AC BC = . Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C. Задача 7. В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так, что BM:MN = 1:7. Найти ВС. Задача 8. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 20, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 13 10 .