  Ç í

1-й уровень
1. Известно, что x 2  4 x  = 2x – 4. Выберите правильное утверждение.


А. Есть такие значения х, при которых производная функции х2 – 4х не
существует.
Б. Критической точкой для функции х2 – 4х является х = 2.
В. Производная функции х2 – 4х равна нулю при х = –2.
Г. Производная функции х2 – 4х ни при каких значениях х не равна нулю.
2. Известно, что производная некоторой функции f (x) имеет такие знаки,
как на рисунке
Ç
íà
ê
f
13x
Учитывая, что на тех промежутках, где производная отрицательна,
функция f (x) убывает, выберите правильное утверждение.
А. Нет такого промежутка, где заданная функция убывает.
Б. Функция убывает на промежутке (3; +).
В. Функция убывает на промежутке (–; 1).
Г. Функция убывает на промежутке (1; 3).
3. На рисунке изображен график некоторой функции y = f (x).
y
–2
2
0
4
x
Выберите правильное утверждение.
А. хо = 4 — точка минимума.
Б. хо = 2 — точка максимума.
В. хо = – 2 — точка максимума.
Г. хо = 0 — точка минимума.
2-й уровень
4. Задана функция f (x) = х3 – 27х. Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. f(x) = 3х2 – 27.
Б. f(x) существует при всех действительных значения х.
В. Производная функции f (x) равна нулю при х = 3 и при х = –3.
Г. Заданная функция имеет только одну критическую точку: х = 3.
5. Функцию f (x) = х 3 – 3х исследуют на возрастание и убывание.
Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а
какие — неправильные.
А. f(x) = 3х2 – 3.
Б. f(x) = 0 только при х = 1.
В. f (x) > 0 на промежутке (–1; 1).
Г. Функция возрастает на промежутке (–1; 1).
6. Известно, что производная функции f (x) = х3 – 75х имеет такие знаки,
как на рисунке, и f(–5) = f(5) = 0
Ç
íà
ê
f
–
55x
Учитывая, что максимум или минимум функция может иметь только в
своих критических точках, отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. В точке максимума производная заданной функции меняет знак с
“+” на “–” (при движении слева направо).
Б. Точка х = 5 является точкой максимума функции f (x).
В. В точке минимума производная заданной функции меняет знак с “–
” на “+” (при движении слева направо).
Г. Точка х = 5 является точкой минимума функции f (x).
3-й уровень
7. Задана функция f (x) = 6 x  3 x 2 . Отметьте, какие из следующих
четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Областью определения заданной функции является промежуток [0; 2].
6  6x
Б. f(x) =
.
2 6 x  3x 2
В. На области определения заданной функции (в выделенных на рисунке
интервалах) знаки производной будут такими, как на рисунке
0 1 2x
Г. Заданная функция убывает на промежутке (0; 1) и возрастает на
промежутке (1; 2).
8. Задана функция f (x) = – х3 + 12х. Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. f(x) = 0 при х = 2 и при х = –2.
Б. Заданная функция имеет три критические точки.
В. На области определения знаки производной и поведение заданной
функции будут такими, как на рисунке:
Ç
íà
ê
f
(
x
)
–
2
2
x
ó
ò
á
á
å
û
à
Ïî
â
å
ä
å
íè
å
fx
() ó
â
ò
â
à
ñ
m
xû
à
à a
å
å
ò
ò
ð
îç
â
m
i
n
Г. График заданной функции имеет такой вид:*
y
16
–2
x
0 2
–16
4
задана на отрезке [1; 3]. Отметьте, какие из
x
следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Заданная функция f (х) непрерывна на отрезке [1; 3].
Б. На заданном отрезке функция имеет две критические точки.
В. Заданная функция принимает свое наибольшее значение на отрезке
[1; 3] в критической точке, которая лежит посредине этого отрезка.
Г. Наименьшее значение f (х) на отрезке [1; 3] – это f (1) = 5.
9. Функция f (х) = х +
4-й уровень
10. Задано уравнение x – sin x = . Функцию, которая стоит в его левой
части, обозначили через f (х): f (х) = х – sin x. Отметьте, какие из
следующих четырех утверждений правильные, а какие —
неправильные.
А. Функция f (х) убывает на всей области определения заданного
уравнения.
Б. Функция f (х) может принимать значение 2 в двух точках.
В. Заданное уравнение f (х) =  может иметь два корня.
Г. Корнем заданного уравнения является только одно значение х = .
11. Задана функция f (х) = 3 x 2 . Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. При х = 0 значение f(х) существует.
* Масштаб по осям x и y разный.
Б. х = 0 — точка минимума заданной функции.
В. График функции y =
3
x 2 имеет вид:
y
1
x
–1 0 1
Г. В точке минимума заданной функции можно провести касательную к
графику функции.
12. Число 48 записывают в виде суммы трех положительных чисел, два из
которых равны между собой, таким образом, что произведение всех
трех слагаемых наибольшее. Одно из двух равных слагаемых
обозначили через х. Отметьте, какие из следующих четырех
утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Одно из трех слагаемых равно 48 – 3х.
Б. Произведение трех слагаемых можно записать так: f (х) = х2 (48 – 2х).
В. Уравнение f(х) = 0 имеет только один положительный корень.
Г. Произведение трех слагаемых будет наибольшим, если одно
из слагаемых будет равно 24.