Алгоритм нахождения экстремумов функции и интервалов ее монотонности с помощью первой производной 1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна. 2. Найти производную функции f '(x). 3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f '(x) обращается в нуль или не существует. 4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x). 5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума. Помни: критическая точка x0 есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x)<0, от промежутка, в котором f '(x)>0, и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x0, знак производной не меняется, то в точке x0 функция экстремума не имеет. 6. Вычислить значения функции в точках экстремума. 7. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы. ____________________________________________________________________________ Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x3–3x2 и найти ее промежутки монотонности. Решение: 1) Функция определена для всех х R. Найдем производную: f '(x)=3x2–6x. 2) Из уравнения 3x2–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x1=0 и x2=2. 3) Так как при переходе через точку x1=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. 4) При переходе через точку x2 =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке x2 = 2 у функции минимум. 5) Составим таблицу: x ( ;0] 0 [0; 2] 2 [2; + ) f '(x) + 0 – 0 + f (x) ↑ fmax(0) = 0 ↓ fmin(2) = – 4 ↑ 6) Таким образом, данная функция в промежутке от < x 0 возрастает, в промежутке от 0 x 2 убывает, а в промежутке от 2 x < + опять возрастает. Ответ: (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума; функция возрастает ( ;0] и [2; + ), функция убывает [0; 2]. Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = х и найти ее промежутки х 4 2 монотонности. Решение: 1) Функция определена для всех х R, кроме х 2. 2) Найдем производную: f '(x)= 1 х2 4 х 2х х 2 4 2 х2 4 х 2 4 2 х2 4 х 2 4 2 . 3) Заметим, что производная не обращается в ноль и отрицательна для всех х R, кроме х 2 . Значит, точек экстремума нет, и функция является убывающей на всей области определения. 4) Таким образом, данная функция убывает на промежутках: < x <-2; -2<x<2 и 2<x< + . Ответ: точек экстремума нет; функция убывает ( ;-2) , (-2; 2) и (2; + ). Пример 3. Исследовать на экстремум функцию f(x) = lg( x 2 9) и найти ее промежутки монотонности. Решение: 1) Функция определена если x 2 9 0 , т.е. на интервалах (- ; -3) и (3; + ). 2x 2) На каждом из этих интервалов функция имеет производную f ( x) . ( x 3)( x 3) 3) Заметим, что производная не обращается в ноль на интервалах (- ; -3) и (3; + ), значит, точек экстремума нет. 4) Так как f ( x) 0 для любых x >3 и f ( x) 0 для x < -3, то функция убывает на промежутке (- ; -3) и возрастает на промежутке (3; + ). Функция не определена на отрезке [-3; 3]. Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (- ; -3), возрастает (3; + ). Пример 4. Исследовать на экстремум функцию f(x) = 25 х 2 и найти ее промежутки монотонности. 1) Функция определена, если 25 x 2 0 , т.е. на промежутке [-5; 5]. 2x х 2) Найдем производную функции f ( x) . 2 25 х 2 25 х 2 3) f ( x) 0 при х = 0, значит 0 – критическая точка. 4) Так как при переходе через точку x =0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. 5) Таким образом, данная функция в промежутке от -5 x 0 возрастает, в промежутке от 0 x 5 убывает. Ответ: (0; 5) – точка максимума; функция возрастает [-5;0] и функция убывает [0; 5]. Приложение. Схематическое изображение графиков функций, рассмотренных в примерах 1-4. Пример 1. Пример 3. Пример 4. Пример 2.