Монотонность (возрастание и убывание) функций Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2)>f(x1). Например, функция у=2х является возрастающей на всей числовой оси; Функция называется убывающей на некотором промежутке, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2)<f(x1). Функция у=3х2 является убывающей на промежутке ( - ∞; 0] и возрастающей на промежутке [0; +∞). Функцию f называют нестрого возрастающей (нестрого убывающей) на Х, если из х1<х2 (х1, х2Х) следует f(x1)f(x2) (f(x1)f(x2)). Функции, возрастающие или убывающие на Х, называют монотонными на Х. Функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют нестрого монотонными на Х. 1) Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа с функция f+c тоже возрастает на Х; 2) Если функция f возрастает на множестве Х и с>0, то функция fc тоже возрастает на Х; 3) Если функция f возрастает на множестве Х, то функция – f убывает на этом множестве; 1 4) Если функция f возрастает и сохраняет знак на множестве Х, то функция убывает на этом множестве; 𝑓 5) Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве; 6) Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их произведение fg тоже возрастает на Х; 7) Если функция f возрастает и неотрицательна на Х и n – натуральное число, то функция fn тоже возрастает на Х; 8) Если функция f возрастает на множестве Х, а функция g возрастает на множестве значений E(f) функции f, то композиция g◦f этих функций возрастает на Х. Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. f(x)>0 или f(x)<0), называются промежутками знакопостоянства. Значения аргумента xD(y) при которых функция f(x)=0 называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох. Непрерывность функции Если в данной точке у функции разрыв, то это означает, что при маленьком изменении аргумента значение функции совершает скачок. Функция непрерывна в данной точке, если при маленьком изменении аргумента мало будут меняться ее значения. Пусть функция f монотонна на конечном промежутке [a; b]. Пусть f(a)=c и f(b)=d. Непрерывность функции означает, что при изменении аргумента от a до b она принимает без пропусков все промежуточные значения от с до d. Монотонная функция промежуточные значения. непрерывна, если она принимает все Примеры решения задач Пример 1. Доказать, что функция 1 𝑥 4 +3𝑥 2 +2 убывает на отрезке [0; +∞). Решение. Так как функция х неотрицательна и возрастает на [0; +∞), то теми же свойствами обладают и функции х4 и 3х2, следовательно, функция х4+3х2+2 тоже возрастает на [0; +∞). Отсюда функция 1 𝑥 4 +3𝑥 2 +2 убывает на этом промежутке. Пример 2. Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция 𝑓(𝑥) = (𝑎2 − 4)𝑥 + 𝑎 − 1 где xR монотонно возрастает. Решение. Пусть x2>x1. Функция монотонно возрастает, если выполняется условие f(x2)>f(x1) или f(x2) – f(x1)=0. Это означает, что f(x2) – f(x1)= (𝑎2 − 4)𝑥2 + 𝑎 − 1- (𝑎2 − 4)𝑥1 − 𝑎 + 1=(𝑎2 − 4)(𝑥2 − 𝑥1 )>0. Поскольку x2 – x1>0 последнее неравенство выполняется, если a2 – 4>0 т.е. a( - ∞; - 2)(2; +∞). Ответ: a( - ∞; - 2)(2; +∞) 1, 𝑥 < −1, Пример 3. Дана функция {𝑥 2 , −1 ≤ 𝑥 < 2,. Определить промежутки 𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 2 знакопостоянства функции, нули функции. Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно, D(y)=R. 1. Исследуем функцию при x< - 1. На данном промежутке функция принимает значение, равное 1, т. е. она знакоположительна и нулей функции нет. 2. Пусть −1 ≤ 𝑥 < 2. При таком условии функция задается формулой y=x2 и x2>0, x[ - 1; 2). Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль x=0. 3. Пусть x2. Очевидно, что при этом условии y>0 так как y=x+2. Нулей функции на этом промежутке нет. Упражнения 1. Исследуйте на возрастание и убывание функции: 1) (𝑥 − 2)2 + 1 5) 9) 2) 1 6) 𝑥 2 −4𝑥+5 1 −1 𝑥 2 −6𝑥+8 1 (𝑥 2 −6𝑥+8)2 10) 𝑥 2 +4 3) 7) 𝑥 2 −8𝑥+15 4) 3(𝑥 − 2)4 + 2(𝑥 − 2)2 + 5 𝑥 2 −8𝑥+17 𝑥2 8) 𝑥 8 + 6𝑥 4 + 5𝑥 2 + 7 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 2 +4 2. Укажите для функции промежутки возрастания (убывания), если: 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 2) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6 3) 𝑓(𝑥) = −𝑥 4 4) 𝑓(𝑥) = − 7 5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 7) 𝑓(𝑥) = |𝑥| 9) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑥 8) 𝑓(𝑥) = 6 𝑥 3. Функция является возрастающей в области определения. Сравните значения функции: 1) 𝑓(5) и 𝑓(−2) 1 5) 𝑓(√2) и 𝑓(√3) 1 1 9) 𝑓 (2 ) и 𝑓(2 ) 3 4 2) 𝑓 ( ) и 𝑓( ) 3 4 1 3) 𝑓(2√2) и 𝑓(√11) 4) 𝑓 (− 1) и 𝑓(− 2) 6) 𝑓(−8) и 𝑓(8) 7) 𝑓 (− ) и 𝑓(− ) 5 7 10) 𝑓(1,02) и 𝑓(1,2) 5 4 5 5 8) 𝑓(3√2) и 𝑓(√19) 4. Функция является убывающей в области определения. Сравните значения функции: 1) f(29) и f(30) 2 4 2) 𝑓 (− ) и 𝑓(− ) 3 5 3) 𝑓(√2) и 𝑓(√3) 5) 𝑓 (− ) и 𝑓(− ) 5 7 6) f( - 100) и f(200) 7) 𝑓 ( ) и 𝑓( ) 7 21 9) 𝑓(1,03) и 𝑓(1,3) 10) 𝑓 ( ) и 𝑓( ) 7 21 4 5 1 5 4) 𝑓(3√2) и 𝑓(√19) 17 8) 𝑓(−7) и 𝑓(7) 2 5. Укажите промежутки знакопостоянства функции: 1) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 7𝑥 2) 𝑓(𝑥) = 4 − 3√6 − 𝑥 4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3𝑥 2 5) 𝑓(𝑥) = 7) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 5𝑥 8) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 − 10,15 1 𝑥+3 −1 3) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥−5 +2 6) 𝑓(𝑥) = 8 − (𝑥 + 2)3 9) 𝑓(𝑥) = 3 − 5√2 − 𝑥 10) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 2 + 12𝑥 6. Докажите, что функция: 1) f(x)=x3 – 3x убывает на отрезке [ - 1; 1] 2) f(x)=x3 – 3x2 убывает на отрезке [0; 2] 2 3) f(x)=3x -2x возрастает на отрезке [2; 3] 2 4) f(x)=22х-x убывает на отрезке [2; 3] 5) f(x)=x3 – 3x возрастает на промежутках ( - ∞; 1] и [1; +∞) 6) f(x)=x3 – 3x2 возрастает на промежутках ( - ∞; 0] и [2; +∞) 7) 𝑓(𝑥) = 3 2𝑥+1 убывает на промежутке ( - ∞; - 0,5) 8) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 2 + 6𝑥 + 19 возрастает на промежутке ( - ∞; 0,6) 9) 10) 7. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности: 2, 𝑥 < −5, 1) 𝑦 = {|𝑥 − 4|𝑥| + 3|, −5 ≤ 𝑥 ≤ 6, 2 − (𝑥 + 1)2 , 𝑥 > 6 2 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 8. Найдите промежуток убывания функции: 𝑎2 +2 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1) 𝑦 = 10) 𝑥+4