1 Исследование функции на экстремум. 1.Условия возрастания и убывания функции. 2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. 3.Достаточные признаки существования экстремума. Введение. Основным содержанием данной лекции является исследование функции и построение графиков. Это важнейшие практические результаты математической теории. Аппарат дифференциального исчисления представляет возможность для создания более совершенных методов исследования функции. С помощью производных первого и второго порядка можно, оказывается, достаточно быстро и полно выяснить все наиболее характерные особенности в поведении той или иной функции. 1.Условия возрастания и убывания функции. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в промежутке (а, в) ,если большему значению аргумента в этом промежутке соответствует большее (меньшее) значение функции. Это значит, что для любых x1 и x 2 в промежутке (а, в) в случае возрастания функции неравенству x1 x2 соответствует неравенство y 0 ,а в случае убывания неравенство f f( x1 )>f( x 2 ),т.е. x 0 и ( x1 )>f( x 2 ),т.е. x 0 и y 0 . Теорема 1.(Необходимый признак возрастания (убывания) функции в данном промежутке) Если функция y=f(x) дифференцируема в промежутке (а, в),то при всех значениях а<x<в её производная неотрицательна (неположительная) . Из графика возрастающей функции видно, что касательные к кривой наклонены к оси Ох под острым углом, а убывающей под тупым углом. Такое расположение касательных определяет неотрицательные 2 (неположительные) значения угловых коэффициентов, что приводит к условию tg 0 ( tg 0 ), которое равносильно y 0( y 0) . Теорема 2.(Достаточные признаки возрастания (убывания) функции в данном промежутке) Если дифференцируемая в промежутке (а, в) функция y=f(x) имеет при любом значение а<x<в положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) в данном промежутке. 1. 2. 3. 4. Для исследования функции на возрастание и убывание необходимо: Найти область определения функции. Найти её производную. Найти значения х, при которых f x 0 . Разбить всю область существования функции найденными значениями х на отдельные промежутки и для каждого из них найти знак производной: если f x 0 то на данном промежутке функция возрастает, если f x 0 - функция убывает. Пример. Исследовать на возрастание и y=2 x 2 3x 2 36 x 15 1) Д(у)=R 2) y 6 x 2 6 x 36 6( x 2 x 6) 3) y 0 x 2 x 6 0; x1 3; x2 2 x (-∞; -3) -3 (-3; 2) I y + 0 y Возраст. Убывающ. убывание 2 0 функцию (2; +∞) + Возраст. 2. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Говорят, что функция у=f(х) имеет максимум (минимум) при x x1 , если для всех значений x x1 и достаточно близких к x1 выполняется неравенство f(x)<f( x1 );(f(x)>f( x1 )) 3 Точки кривой близки точки максимума расположены выше этой точки( f x1 f ( x) ). Максимум и минимум функции называются экстремумами, точка x1 точка экстремума. Теорема 1.(Необходимое условие экстремума) Если функция, у=f(х) дифференцируема в промежутке (а, в) , имеет в некоторой точке x 0 внутри этого промежутка экстремум, то её производная в этой точке равна нулю, т.е f ( x0 ) 0 (1) Теорема позволяет установить отсутствие у функции экстремума, если производная исследуемой функции не имеет критических точек, т.е. действительных корней. Условие (1) означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции f(x) касательная параллельна оси Ох. Функция может иметь экстремум и в точках, где производная не существует, например, графиком такой функции имеет узлом. Значение аргумента при которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Таким образом, если функция имеет экстремум , то он может быть только в критических точках. 3.Достаточные признаки существования экстремума. Из того факта ,что f x0 0 , ещё не следует,что функция f(х) имеет экстремум при х= x 0 . 4 Из графика видно, что в точке х=0 экстремума нет, касательная пересекает кривую. Таким образом, не для всякого критического значения аргумента функция f(х) имеет место экстремум этой функции. Поэтому наряду с необходимым условием дадим достаточные условия экстремума в точке. Теорема2. Пусть функция f(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может самой точки x 0 .Если при переходе аргумента слева на право через точку x 0 производная f x меняет знак с + на -, то функция в этой точке имеет максимум; если знак меняется с – на +, то функция имеет минимум. Замечание. Если для дифференцируемой функции f (x) её производная f ( x0 ) 0 , но при переходе через это значение производная сохраняет постоянный знак, то при x x0 функция f (x) экстремума не имеет. Правило1. Исследования функции на экстремум. Найти область определения функции. Найти производную функции f (x) . Найти критические точки. Установить знак производной вблизи критических точек и определить характер экстремума. 5) Вычислить значение функции в точках экстремума. 1) 2) 3) 4) Пример. Исследовать на экстремум функцию y x 3 ( x 1) 2 1) D( y ) R . 5 2 3 1 2) y 1 ( x 1) 3 1 33 x 1 33 x 1 2 2 8 19 3 3 0 ; 3 x 1 2 0 ; x 1 ; x 1 ; x 3 27 27 33 x 1 33 x 1 y - не существует при x 1. 3) y 0; 1 4) 2 2 0; x (-∞; 19 ) 19 27 I y y + ↑ 27 ( 0 19 ; 1) 1 27 ↓ 31 27 max 0 1 (1; +∞ + ↑ min 31 27 1 19 27 1 Достаточные условия существования экстремума можно проверить и с помощью второй производной, если исследуемая функция дифференцируема не менее двух раз. Теорема3. Если для дифференцируемой функции f (x) в некоторой точке x 0 её первая производная f ( x0 ) 0 , а вторая производная существует и f ( x0 ) 0 , то, если 1) f ( x0 ) 0 , то f ( x 0 ) - минимум функции f (x) ; 2) если f ( x0 ) 0 , то f ( x 0 ) - максимум функции f (x) . Правило2. Исследование функции на экстремум. 1) 2) 3) 4) 5) Найти D( y ) Найти y Найти x , при которых y 0 Найти y Найти знак второй производной в критических точках. Пример. Исследовать функцию y x 3 6 x 2 9 x 5 на экстремум. 1) D( y ) R 2) y 3x 2 12 x 9 3( x 2 4 x 3) ; 6 3) y 0; x 2 4 x 3 0; x1 1; x2 3 . 4) y 6 x 12 y (1) максимум y (1) 6 12 6 0 y (1) 9; 5) y (3) минимум y (3) 18 12 6 0 y (3) 5 Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Теория экстремумов функции имеет многочисленные практические применения. Пусть функция непрерывна на отрезке a; b. Тогда на этом отрезке функция f (x) достигает наибольшего и наименьшего значений (на основании свойств непрерывных функции). Функция может достигать своего наименьшего или набольшего значения внутри отрезка, или на концах отрезка. Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. 1) Найти все максимумы и минимумы функции на отрезке. 2)Найти значения функции на концах отрезка, т.е. f (a), f (b) . 3)Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее Пример. На отрезке 3; найти наименьшее и наибольшее значение 2 3 функции y x 3 3x 3 . 1) y 3x 2 3; y 0; 3x 2 3 0; x1,2 1 . y 6 x; y (1) 6 0 y max (1) 5 y(1)6 0; ymin (1) 1. 3 15 2) y (3) 15; y ( ) 2 8 3 2 1) Итак. y (3) 15; y (1) 5; y (1) 1; y ( ) 15 - следовательно 8 y наиб y max (1) 5; y наим y(3) 15 . Заключение. Из самых различных областей науки и техники возникает большое количество практических задач, решение которых связано с исследованием функций и, в частности, с нахождением наибольших и наименьших значений. Вместе с тем рассматриваемые в лекции вопросы будут неоднократно встречаться и при дальнейшем изучении математического анализа. Следует обратить особое внимание на практическую сторону вопроса, то есть на методику исследования функций, построения графиков и решения задач.