A /III М А

МАТЕРИАЛЫ К ЭКЗАМЕНУ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»
Ч.2: УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
( 5 -ый к ур с сп ец и ал ь н о ст ей 0 7 . 1 1 . 0 0 , 0 7 . 1 1 . 0 2 , 2 0 0 9 - ве сн а/ 2 0 0 9 -о с ен ь уч . г о д )
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (с выводом)
1. Определение устойчивости движения по Ляпунову. Первый и второй методы Ляпунова.
2. Определение устойчивости по Пуассону и Лагранжу. Орбитальная устойчивость (устойчивость по Пуанкаре – самостоятельно!)
3. Первый метод Ляпунова, уравнения в вариациях. Примеры.
4. Теорема Лагранжа-Дирихле и её применение к исследованию устойчивости положений
равновесия консервативных механических систем. Примеры.
5. Классификация сил в механике. Влияние структуры сил на устойчивость движения. Основные теоремы механики о влиянии диссипативных и гироскопических сил на устойчивость движений потенциальных систем. Основные теоремы (самостоятельно!).
6. Статическая бифуркация положений равновесия (бифуркация Эйлера). Условие трансверсальности. Закритическое поведение. Примеры.
7. Динамическая бифуркация (бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа). Закритическое
поведение. Примеры. Условие трансверсальности
8. Неустойчивость стойки под действием следящей силы. (Задача Циглера). Парадокс Циглера.
9. Определение периодических движений в области основного резонанса и исследование их
устойчивости при моногармоническом возбуждении динамических систем, описываемых
уравнениями Ван дер Поля, Релея, Дуффинга. Применение метода многомасштабных
разложений.
10. Неустойчивость крыла в стационарном дозвуковом потоке воздуха. (Теория классического флаттера с учётом сил аэродинамического демпфирования – последняя лекция).
11. Динамическая бифуркация в задаче о неустойчивости вращающегося вала (механизм дестабилизации, связанный с внутренним трением).
12. Эффект самоцентрирования вала с дисбалансом, анализ устойчивости.
13. Влияние гироскопических моментов на устойчивость вала с внутренним трением.
14. Динамическая бифуркация в задаче о неустойчивости плохообтекаемой конструкции в
дозвуковом потоке газа. Закритическое поведение.
15. Неустойчивость механической системы под действием циркуляционных сил (самостоятельно!).
16. Матрица монодромии, мультипликаторы, нормальные решения в линейных параметрических системах. Критерий устойчивости.
17. Типы бифуркаций в линейных параметрических системах. Теорема Флоке – Ляпунова об
общем виде решения и приводимости (самостоятельно!).
18. Критические частоты для уравнения Хилла.
19. Построение границ областей динамической неустойчивости для уравнения Матьё методом возмущений.
20. Приближенное определение Т – периодических и Т – антипериодических границ областей динамической неустойчивости методом Галеркина.
21. Аналитическое определение матрицы монодромии и мультипликаторов для уравнения
Мейсснера, уравнения Дирака.
22. Теория параметрической стабилизации на примере обратного маятника.
A /III
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (без вывода)
1. Типы динамических систем. Уравнения движения в возмущениях. Примеры.
2. Критерий Рауса – Гурвица и его применение.
3. Примеры динамических систем, теряющих устойчивость положений равновесия через
динамическую бифуркацию.
4. Примеры динамических систем, теряющих устойчивость положений равновесия через
статическую бифуркацию.
5. Суть парадокса Циглера.
6. Примеры динамических параметрически возбуждаемых систем. Определение параметрического резонанса.
7. Групповое свойство матрицы Коши линейных систем.
8. Алгоритмы определения матрицы монодромии и мультипликаторов.
9. Вычисление матрицы монодромии для уравнения Мейсснера.
10. Спектр критических частот для уравнения Хилла, главный параметрический резонанс.
11. Применение метода Релея – Галёркина для определения границ зон неустойчивости в линейных параметрических системах.
12. Понятие о пороге параметрического возбуждения.
13. Объяснить суть теории параметрической стабилизации.
14. Критерий устойчивости решений линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Связь с первым методом Ляпунова. Понятие
критического случая.
15. Критерий устойчивости решений линейных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с периодически меняющимися коэффициентами. Связь с первым методом Ляпунова.
ТИПЫ ЗАДАЧ
1. Применение теоремы Лагранжа-Дирихле к исследованию устойчивости положений равновесия консервативных механических систем.
2. Применение критерия Рауса- Гурвица к исследованию устойчивости положений равновесия стационарных динамических систем по первому методу Ляпунова.
3. Применение второго метода Ляпунова к исследованию устойчивости положений равновесия в случае, когда функция Ляпунова задана.
4. Определение типа бифуркации: динамическая, статическая.
5. Нахождение периодических движений в автономных и неавтономных квазилинейных
динамических системах (любым асимптотическим методом, например, методом многомасштабных разложений) и исследование их устойчивости (например, для уравнений типа Ван дер Поля, Дуффинга, Релея или их комбинации).
6. Для заданной механической системы уметь проводить классификацию действующих сил.
7. Определение границ зон динамической неустойчивости в параметрически возбуждаемых
линейных системах методом Галёркина.
8. Для нулевой зоны динамической неустойчивости (уравнение Матье) уметь рассчитывать
эффект параметрической стабилизации (маятник Капицы, задача Беляева).
B /III
СПИСОК РЕКО МЕ НДУЕ МОЙ ЛИТЕ РАТУРЫ
Основная литература
1. Н.А. Алф утов. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. Библиотека расчётчика. - М.: Машиностроение, 1991.
2. В.В. Болотин. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. - М.: Физматгиз, 1961.
3. А.С. Вольмир. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967.
4. П.С. Ланда. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. - М.:
Наука, 1980.
5. Д.Р. Меркин. Введение в устойчивость движения. – М.: Наука, 1987. 304 с.
6. Д.Р. Меркин, С.М. Бауэр, А.Л. Смирнов. Задачи по теории устойчивости.– МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 128 с.
7. Ю.И. Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы. - М.: Наука, 1978.
8. Я.Г. Пановко, И.И. Губанова . Устойчивость и колебания упругих систем. - М.:
Наука, 1979.
9. В.Н. Р убановский, В.А. Самсонов . Устойчивость стационарных движений. В примерах и задачах. - М.: Наука, 1988.
10. В.А. Светлицкий, И.В. Стасенко . Сборник задач по теории колебаний. - М.: Высшая
школа, 1979.
11. В.А. Як убович, В.М. Старжинский . Параметрический резонанс в линейных системах. - М.: Наука, 1987.
Дополнительная литература
1. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский . Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.
2. Вибрации в технике. Справочник. В 6-ти т./ Ред. Совет: В.Н. Челомей (пред.) - М.: Машиностроение, 1979-Т.2 Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И.И.
Блехмана
3. Б.П. Демидович. Лекции по математической устойчивости. - М.: Наука, 1967.
4. В.Ф. Ж уравлёв. Основы теоретической механики. - М.: Наука - Физматлит, 1997.
5. П.С. Ланда. Нелинейные колебания и волны. - М.: Наука – Физматлит, 1997.
6. А.М. Ляп унов. Общая задача об устойчивости движения. - М.: Гостехиздат, 1950.
7. И.Г. Малкин. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966.
8. Ф. М ун. Хаотические колебания. - М.: Мир, 1990.
9. М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков . Введение в теорию колебаний и волн. – М. –
Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.
10. Y. A. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcation Theory. Springer-Verlag New-York,
Berlin. 1995.
11. Ali H. Nayfeh, Balakumar Balachandran . Applied Nonlinear Dynamics. John Wiley &
Sons, Inc.1995.
А.М. Гуськов, декабрь 2009
C /III