Математическая олимпиада школьников г. Омска имени Г.П

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ Г. ОМСКА
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
второй (городской) этап
23.12.06  9 класс
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ Г. ОМСКА
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
второй (городской) этап
23.12.06  9 класс
Решением Оргкомитета имя профессора Г.П. Кукина, основателя и
бессменного председателя жюри городской олимпиады, присвоено
математической олимпиаде школьников г. Омска.
Решением Оргкомитета имя профессора Г.П. Кукина, основателя и
бессменного председателя жюри городской олимпиады, присвоено
математической олимпиаде школьников г. Омска.
1.
При каких значениях а уравнения x3  ax  1  0 и x 4  ax 2  1  0 имеют хотя
бы один общий корень?
1.
При каких значениях а уравнения x3  ax  1  0 и x 4  ax 2  1  0 имеют хотя
бы один общий корень?
2.
В треугольнике АВС проведена медиана BD, а на продолжении стороны ВС за
точку В отмечена точка F. Прямая FD пересекает сторону АВ в точке Е, причем
площади треугольников FBE и AED оказались равными. Докажите, что равны
площади треугольников FEC и АЕС.
2.
В треугольнике АВС проведена медиана BD, а на продолжении стороны ВС за
точку В отмечена точка F. Прямая FD пересекает сторону АВ в точке Е, причем
площади треугольников FBE и AED оказались равными. Докажите, что равны
площади треугольников FEC и АЕС.
3.
Натуральные числа от 1 до 100 выписаны по одному на карточках. Вася
составляет наборы из трех карточек так, чтобы в каждом наборе одно из чисел
равнялось произведению двух других. Какое наибольшее количество таких
наборов могло получиться у Васи?
3.
Натуральные числа от 1 до 100 выписаны по одному на карточках. Вася
составляет наборы из трех карточек так, чтобы в каждом наборе одно из чисел
равнялось произведению двух других. Какое наибольшее количество таких
наборов могло получиться у Васи?
4.
Простые
4.
Простые
числа
x, y, z
подобраны
так,
что
выполнено
равенство
x  xy  y  z . Докажите, что эти числа равны.
2
5.
2
2
Сторона ВС треугольника АВС равна полусумме двух других сторон. Докажите,
что вершина А треугольника, середины сторон АВ и АС, а также центры
вписанной и описанной окружностей треугольника лежат на одной окружности.
6. Три
приведенных
квадратных
g ( x)  x2  p2 x  q2
трехчлена
f ( x)  x2  p1 x  q1 ,
и h( x)  x2  p3 x  q3 подобраны так, что при всех
значениях
аргумента
выполнены
неравенства
и g ( x)  f ( x)  h( x)  0 . Докажите неравенство
f ( x)  g ( x)  h( x)  0
p1  q1  p2  q2  p3  q3  4 .
числа
x, y, z
подобраны
так,
что
выполнено
равенство
x  xy  y  z . Докажите, что эти числа равны.
2
5.
2
2
Сторона ВС треугольника АВС равна полусумме двух других сторон. Докажите,
что вершина А треугольника, середины сторон АВ и АС, а также центры
вписанной и описанной окружностей треугольника лежат на одной окружности.
6. Три
приведенных
квадратных
трехчлена
f ( x)  x2  p1 x  q1 ,
g ( x)  x2  p2 x  q2
и h( x)  x2  p3 x  q3 подобраны так, что при всех
значениях
аргумента
выполнены
неравенства
и g ( x)  f ( x)  h( x)  0 . Докажите неравенство
f ( x)  g ( x)  h( x)  0
p1  q1  p2  q2  p3  q3  4 .
© Оргкомитет, 2006